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7. 如图,小彬同学在晚上由路灯A走向路灯C,当他走到P处时发现,他在路灯C下的影长BP为2 m,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了一段距离到Q处,此时他在路灯A下的影子QD恰好位于路灯C的正下方.已知小彬身高1.6 m,路灯C高8 m,路灯A的高与两路灯间的距离相等.
(1)求两路灯间的距离;
(2)求PQ的长度.
(1)求两路灯间的距离;
(2)求PQ的长度.
答案
7. (1) 根据题意,得$△ BEP∽ △ BCD$，
$\therefore \frac{EP}{CD}=\frac{BP}{BD},即\frac{1.6}{8}=\frac{2}{BD}$，
解得$BD=10\ \mathrm{m}$，经检验,符合题意。
答:两路灯间的距离为10 m。
(2) 根据题意,得$△ DFQ∽ △ DAB,\therefore \frac{FQ}{AB}=\frac{DQ}{DB}$。
$\because$路灯A的高与两路灯间的距离相等，
$\therefore AB=DB,\therefore FQ=DQ=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore PQ=BD-BP-QD=10-2-1.6=6.4(\mathrm{m})$。
答:PQ的长度为6.4 m.
$\therefore \frac{EP}{CD}=\frac{BP}{BD},即\frac{1.6}{8}=\frac{2}{BD}$，
解得$BD=10\ \mathrm{m}$，经检验,符合题意。
答:两路灯间的距离为10 m。
(2) 根据题意,得$△ DFQ∽ △ DAB,\therefore \frac{FQ}{AB}=\frac{DQ}{DB}$。
$\because$路灯A的高与两路灯间的距离相等，
$\therefore AB=DB,\therefore FQ=DQ=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore PQ=BD-BP-QD=10-2-1.6=6.4(\mathrm{m})$。
答:PQ的长度为6.4 m.
解析
【分析】
(1) 求两路灯间距时，先观察图形特征：身高EP和路灯CD都垂直于地面BD，可得EP//CD，从而证得△BEP∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的身高、路灯C高度、影长BP的数值，即可求出两路灯距离BD。
(2) 求PQ长度时，同理可得身高FQ平行于路灯AB，证得△DFQ∽△DAB，结合题干“路灯A的高与两路灯间的距离相等”的条件，可推出DQ的长度，再根据线段的和差关系即可计算PQ的长度。
【解析】
(1) 由题意得：$EP⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore EP// CD$，
$\therefore △ BEP ∽ △ BCD$，
$\therefore \frac{EP}{CD}=\frac{BP}{BD}$，
将$EP=1.6\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$BP=2\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{1.6}{8}=\frac{2}{BD}$，
解得$BD=10\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
(2) 由题意得：$FQ⊥ BD$，$AB⊥ BD$，
$\therefore FQ// AB$，
$\therefore △ DFQ ∽ △ DAB$，
$\therefore \frac{FQ}{AB}=\frac{DQ}{DB}$，
∵ 路灯A的高与两路灯间的距离相等，即$AB=BD$，
$\therefore FQ=DQ=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore PQ=BD-BP-QD=10-2-1.6=6.4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 两路灯间的距离为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) PQ的长度为$\boldsymbol{6.4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际光影问题中的典型应用，解题核心是通过垂直关系判定相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解，解题时要注意题干给出的特殊等量关系的转化运用。
【难度系数】
0.7
(1) 求两路灯间距时，先观察图形特征：身高EP和路灯CD都垂直于地面BD，可得EP//CD，从而证得△BEP∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的身高、路灯C高度、影长BP的数值，即可求出两路灯距离BD。
(2) 求PQ长度时，同理可得身高FQ平行于路灯AB，证得△DFQ∽△DAB，结合题干“路灯A的高与两路灯间的距离相等”的条件，可推出DQ的长度，再根据线段的和差关系即可计算PQ的长度。
【解析】
(1) 由题意得：$EP⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore EP// CD$，
$\therefore △ BEP ∽ △ BCD$，
$\therefore \frac{EP}{CD}=\frac{BP}{BD}$，
将$EP=1.6\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$BP=2\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{1.6}{8}=\frac{2}{BD}$，
解得$BD=10\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
(2) 由题意得：$FQ⊥ BD$，$AB⊥ BD$，
$\therefore FQ// AB$，
$\therefore △ DFQ ∽ △ DAB$，
$\therefore \frac{FQ}{AB}=\frac{DQ}{DB}$，
∵ 路灯A的高与两路灯间的距离相等，即$AB=BD$，
$\therefore FQ=DQ=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore PQ=BD-BP-QD=10-2-1.6=6.4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 两路灯间的距离为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) PQ的长度为$\boldsymbol{6.4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际光影问题中的典型应用，解题核心是通过垂直关系判定相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解，解题时要注意题干给出的特殊等量关系的转化运用。
【难度系数】
0.7
8. 某数学兴趣小组要测量某座塔的高度AB.如图,塔前有一棵小树的高度$CD=4\ \mathrm{m}$,发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上,测得$BD=51\ \mathrm{m}$,D,E之间有一个花园,距离无法直接测量.然后,在E处放置一平面镜,沿BE方向走到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像,$EG=2.4\ \mathrm{m}$,测量者眼睛到地面的距离FG为$1.6\ \mathrm{m}$.已知$AB⊥BG$,$CD⊥BG$,$FG⊥BG$,且点B,D,E,G在同一水平线上.
(1)请求出DE的长;
(2)请求出该塔的高度AB(平面镜的大小及厚度忽略不计).
(1)请求出DE的长;
(2)请求出该塔的高度AB(平面镜的大小及厚度忽略不计).
答案
8. (1) 根据题意,得$∠ CED=∠ FEG$，
$\because AB⊥ BG,CD⊥ BG,FG⊥ BG$，
$\therefore ∠ ABE=∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE∽ △ FGE,\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{EG},\therefore \frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
解得$DE=6\ \mathrm{m}$。
答:DE的长为6 m。
(2)$\because ∠ CED=∠ AEB,∠ ABE=∠ CDE=90°$，
$\therefore △ CDE∽ △ ABE,\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE},\therefore \frac{AB}{4}=\frac{51+6}{6}$，
解得$AB=38\ \mathrm{m}$。
答:该塔的高度AB为38 m.
$\because AB⊥ BG,CD⊥ BG,FG⊥ BG$，
$\therefore ∠ ABE=∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE∽ △ FGE,\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{EG},\therefore \frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
解得$DE=6\ \mathrm{m}$。
答:DE的长为6 m。
(2)$\because ∠ CED=∠ AEB,∠ ABE=∠ CDE=90°$，
$\therefore △ CDE∽ △ ABE,\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE},\therefore \frac{AB}{4}=\frac{51+6}{6}$，
解得$AB=38\ \mathrm{m}$。
答:该塔的高度AB为38 m.
解析
【分析】
（1）求解DE长度：首先根据平面镜反射规律，反射角等于入射角，可得$∠CED=∠FEG$；再结合题目给出的$CD⊥BG$、$FG⊥BG$，可知$△ CDE$和$△ FGE$均为直角三角形，两个角对应相等即可判定两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的CD、FG、EG的长度，即可计算出DE的长。
（2）求解塔高AB：已知点A、C、E共线，可得公共角$∠CED=∠AEB$；结合$AB⊥BG$、$CD⊥BG$，可知$△ CDE$和$△ ABE$均为直角三角形，两角对应相等即可判定两三角形相似；先求出$BE=BD+DE$，再代入相似三角形对应边成比例的式子，即可求出AB的高度。
【解析】
（1）根据平面镜反射原理，得$∠ CED=∠ FEG$，
$\because CD⊥ BG,FG⊥ BG$，
$\therefore ∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE∽ △ FGE$，
$\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{EG}$，
将$CD=4\ \mathrm{m},FG=1.6\ \mathrm{m},EG=2.4\ \mathrm{m}$代入上式，得$\frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
解得$DE=6\ \mathrm{m}$。
答：DE的长为6 m。
（2）$\because$ 点A、C、E在同一直线上，$\therefore ∠ CED=∠ AEB$，
又$\because AB⊥ BG,CD⊥ BG$，
$\therefore ∠ ABE=∠ CDE=90°$，
$\therefore △ CDE∽ △ ABE$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$，
其中$BE=BD+DE=51+6=57\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{AB}{4}=\frac{57}{6}$，
解得$AB=38\ \mathrm{m}$。
答：该塔的高度AB为38 m。
【答案】
(1) $DE=6\ \mathrm{m}$
(2) $AB=38\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题核心是通过反射规律、共线条件找到相等的角，准确判定相似三角形，再利用相似三角形的性质建立比例式求解未知量，是几何知识解决实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解DE长度：首先根据平面镜反射规律，反射角等于入射角，可得$∠CED=∠FEG$；再结合题目给出的$CD⊥BG$、$FG⊥BG$，可知$△ CDE$和$△ FGE$均为直角三角形，两个角对应相等即可判定两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的CD、FG、EG的长度，即可计算出DE的长。
（2）求解塔高AB：已知点A、C、E共线，可得公共角$∠CED=∠AEB$；结合$AB⊥BG$、$CD⊥BG$，可知$△ CDE$和$△ ABE$均为直角三角形，两角对应相等即可判定两三角形相似；先求出$BE=BD+DE$，再代入相似三角形对应边成比例的式子，即可求出AB的高度。
【解析】
（1）根据平面镜反射原理，得$∠ CED=∠ FEG$，
$\because CD⊥ BG,FG⊥ BG$，
$\therefore ∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE∽ △ FGE$，
$\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{EG}$，
将$CD=4\ \mathrm{m},FG=1.6\ \mathrm{m},EG=2.4\ \mathrm{m}$代入上式，得$\frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
解得$DE=6\ \mathrm{m}$。
答：DE的长为6 m。
（2）$\because$ 点A、C、E在同一直线上，$\therefore ∠ CED=∠ AEB$，
又$\because AB⊥ BG,CD⊥ BG$，
$\therefore ∠ ABE=∠ CDE=90°$，
$\therefore △ CDE∽ △ ABE$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$，
其中$BE=BD+DE=51+6=57\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{AB}{4}=\frac{57}{6}$，
解得$AB=38\ \mathrm{m}$。
答：该塔的高度AB为38 m。
【答案】
(1) $DE=6\ \mathrm{m}$
(2) $AB=38\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题核心是通过反射规律、共线条件找到相等的角，准确判定相似三角形，再利用相似三角形的性质建立比例式求解未知量，是几何知识解决实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
