1. 位似的概念
取定一个点 O,把一个图形上每一个点 P 对应到射线 OP(或射线 OP 的反向延长线)上的点 $P'$,使得$\frac{OP'}{OP}=|k|$,其中 k 是非零常数,当$k＞0$时,点$P'$在上,当$k＜0$时,点$P'$在上.
特别地,点 O 对应到它自身.我们把图形的这种变换称为位似,把这个图形与它在位似下的称为位似图形,这个点 O 叫作,常数 k 叫作.
2. 位似图形的性质
若两个图形是位似图形,则这两个图形不仅相似,而且对应点的连线,对应线段(或在同一条直线上).
3. 画位似图形的步骤
(1)确定位似中心;
(2)连接图形各顶点与位似中心(或延长);
(3)按位似比进行取点;
(4)顺次连接各点,所得图形就是所求的图形.

1. 射线 OP 射线 OP 的反向延长线 像 位似中心 位似比
2. 相交于一点 平行

【分析】
本题考查位似的基础概念与性质，属于识记类题目，解题时只需结合教材中位似的相关定义、性质逐一对应填空即可：①回忆位似变换中k的正负和对应点位置的关系，填写对应点所在射线；②回忆位似图形、位似中心、位似比的定义填写相关名称；③回忆位似图形的性质填写对应点连线、对应线段的特征。
【解析】
1. 根据位似的变换规则：当$k＞0$时，点$P'$与点P在点O的同侧，因此点$P'$在射线$OP$上；当$k＜0$时，点$P'$与点P在点O的异侧，因此点$P'$在射线$OP$的反向延长线上。
根据位似相关定义：一个图形和它在位似变换下的像称为位似图形，定点O叫作位似中心，非零常数k叫作位似比。
2. 根据位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，不仅相似，而且对应点的连线相交于位似中心，即相交于一点，对应线段互相平行（或在同一条直线上）。
【答案】
1. 射线$OP$；射线$OP$的反向延长线；像；位似中心；位似比
2. 相交于一点；平行
【知识点】
位似的定义；位似图形的性质
【点评】
本题是位似模块的基础题，重点考查核心概念的识记，熟练掌握位似的相关基础内容即可快速解答，是学习位似作图、位似应用等拓展内容的必备基础。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，$△ ACC'$是由$△ ABB'$经过位似变换得到的.
(1)求出$△ ACC'$与$△ ABB'$的位似比，并指出它们的位似中心.
(2)$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形吗？如果是，求出它们的位似比；如果不是，说明理由.

解:(1)$△ACC'$与$△ABB'$的位似比为 $CC':BB'=2:1=2$,它们的位似中心是点 A.
(2)$△AEE'$是$△ABB'$的位似图形,位似比为$EE':BB'=4:1=4$.

【分析】
本题考查位似图形的相关知识，解题思路如下：
(1) 求解位似比和位似中心：首先明确位似中心是位似图形所有对应点连线的公共交点，位似比是两个位似图形对应边的比值。先观察两个三角形对应点连线的公共交点确定位似中心，再结合网格数出对应边$BB'$和$CC'$的长度，计算比值得到位似比。
(2) 判断$△ AEE'$是否为$△ ABB'$的位似图形：根据位似图形的判定条件，即两个图形对应顶点的连线交于同一点、对应边互相平行（或共线），满足则是位似图形，再计算对应边的比值得到位似比。
【解析】
解：(1) 观察图形可知，$△ ACC'$由$△ ABB'$位似变换得到，两个三角形的对应点连线都经过点A，因此位似中心是点A。
设每个小方格的边长为1，数得$BB'$长度为2，$CC'$长度为4，因此$△ ACC'$与$△ ABB'$的位似比为$CC':BB'=4:2=2:1=2$。
(2) 首先判断位似关系：$△ AEE'$和$△ ABB'$的对应顶点连线都经过点A，且对应边互相平行，符合位似图形的定义，因此$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形。
数得$EE'$长度为8，因此位似比为$EE':BB'=8:2=4:1=4$。
【答案】
(1)$△ ACC'$与$△ ABB'$的位似比为 $CC':BB'=2:1=2$，它们的位似中心是点A。
(2)$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形，位似比为$EE':BB'=4:1=4$。
【知识点】
位似的定义，位似中心的确定，位似比的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的判定及相关概念的应用，解题时结合网格特征确定对应边的长度，再根据位似的性质分析即可，重点考查对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.8

【变式】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O.点A与点E对应，若$\frac{OA}{OE}=\frac{1}{3}$，四边形ABCD的面积为8，则四边形EFGH的面积为。

72

【分析】
遇到位似图形相关的计算问题，首先明确位似是特殊的相似，具备相似图形的所有性质：第一步，先根据位似的性质，得到两个四边形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$\frac{OA}{OE}=\frac{1}{3}$；第二步，回忆相似图形的面积比等于相似比的平方，可得到两个四边形的面积比；第三步，结合已知的小四边形面积，代入计算即可求出大四边形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，点A与点E是对应点
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，且相似比$k=\frac{OA}{OE}=\frac{1}{3}$
根据相似图形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形EFGH}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
已知$S_{四边形ABCD}=8$，代入上式得：
$\frac{8}{S_{四边形EFGH}}=\frac{1}{9}$
解得$S_{四边形EFGH}=8×9=72$
【答案】
72
【知识点】
位似的性质；相似图形面积比与相似比的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查位似与相似的关系及相关性质的应用，解题的关键是牢记位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，避免混淆相似比和面积比的关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7

【例2】如图，在$6×8$的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和$△ ABC$的顶点均在小正方形的顶点上.
(1) 以点O为位似中心，在网格图中作$△ A'B'C'$和$△ ABC$位似，且位似比为$\frac{1}{2}$；
(2)连接(1)中的$AA'$，求四边形$AA'C'C$的周长(结果保留根号).

解:(1)如图所示.
(2)连接$AA'$,图略.$A'C'=2\sqrt{2},AC=4\sqrt{2}$,
∴四边形$AA'C'C$的周长为$AA'+A'C'+C'C+CA=2+2\sqrt{2}+2+4\sqrt{2}=4+6\sqrt{2}$.

【分析】
(1) 位似作图首先明确三要素：位似中心为点O、位似比为$\frac{1}{2}$、位似图形与原图形在位似中心同侧。解题时先连接AO、BO、CO，分别取三条线段的中点得到对应点A'、B'、C'，顺次连接三点即可得到所求的位似图形。
(2) 求四边形周长需先求出四条边的长度：AA'和CC'可根据位似比直接求出；AC利用勾股定理在网格中计算，再根据位似图形对应边的比等于位似比得到A'C'的长度，最后将四条边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别连接AO、BO、CO；
② 分别取AO、BO、CO的中点，记为A'、B'、C'；
③ 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得$△ A'B'C'$即为所求的位似图形。
(2) 计算周长：
由位似比为$\frac{1}{2}$可知，$AA'=\frac{1}{2}AO=2$，同理$C'C=2$；
用勾股定理计算AC的长度：A到C横向相差4个单位，纵向相差4个单位，因此$AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
根据位似图形的性质，$A'C'=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$；
因此四边形$AA'C'C$的周长为$AA'+A'C'+C'C+AC=2+2\sqrt{2}+2+4\sqrt{2}=4+6\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 四边形$AA'C'C$的周长为$4+6\sqrt{2}$。
【知识点】
位似图形作图，勾股定理，位似图形的性质
【点评】
本题综合考查位似图形的作图方法、位似性质的应用以及网格中线段长度的计算，解题的关键是准确把握位似比的含义，熟练使用勾股定理计算斜线段的长度。
【难度系数】
0.7