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1. 若面积为12的正方形的边长为a，则a的值（
A.在3和4之间
B.在4和5之间
C.在5和6之间
D.在6和7之间
A
）。A.在3和4之间
B.在4和5之间
C.在5和6之间
D.在6和7之间
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形面积公式：正方形面积等于边长的平方，已知面积为12，可得到边长a满足a²=12，且边长为正数，因此a是12的算术平方根即√12。接下来要判断a的范围，只需找到两个连续正整数，使得它们的平方分别小于和大于12，利用“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质就能确定√12的范围，进而得到a的范围，选出正确选项。
【解析】
解：
∵正方形的面积为12，边长为a，
根据正方形面积公式$S=a^2$，可得：
$a^2=12$，
又
∵a是正方形的边长，
∴$a＞0$，
∴$a=\sqrt{12}$，
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$，
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，
即$3＜\sqrt{12}＜4$，
∴a的值在3和4之间。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1.正方形面积计算 2.算术平方根 3.无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过已知条件将边长转化为算术平方根，再通过比较相邻整数的平方来估算无理数的取值范围，掌握算术平方根的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆正方形面积公式：正方形面积等于边长的平方，已知面积为12，可得到边长a满足a²=12，且边长为正数，因此a是12的算术平方根即√12。接下来要判断a的范围，只需找到两个连续正整数，使得它们的平方分别小于和大于12，利用“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质就能确定√12的范围，进而得到a的范围，选出正确选项。
【解析】
解：
∵正方形的面积为12，边长为a，
根据正方形面积公式$S=a^2$，可得：
$a^2=12$，
又
∵a是正方形的边长，
∴$a＞0$，
∴$a=\sqrt{12}$，
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$，
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，
即$3＜\sqrt{12}＜4$，
∴a的值在3和4之间。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1.正方形面积计算 2.算术平方根 3.无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过已知条件将边长转化为算术平方根，再通过比较相邻整数的平方来估算无理数的取值范围，掌握算术平方根的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
2. 借助计算器可求得 $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，$\sqrt{44^2 + 33^2} = 55$，$\sqrt{444^2 + 333^2} = 555$，…，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想 
答案
2. D
解析
【分析】
本题属于数字规律探究题，解题时遵循从特殊到一般的思路：先观察题目给出的几个简单计算结果，找到被开方数中4、3的个数和计算结果中5的个数的对应关系，再将规律推广到2025个数字的情况即可求解。通过已知特例可发现，n个4的平方加n个3的平方开算术平方根，结果就是n个5，代入n=2025就能得到答案。
【解析】
观察已知的计算结果总结规律：
1. 当被开方数是1个4的平方加1个3的平方时：$\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5$，结果为1个5；
2. 当被开方数是2个4的平方加2个3的平方时：$\sqrt{44^2+33^2}=\sqrt{(11×4)^2+(11×3)^2}=\sqrt{11^2×(16+9)}=11×5=55$，结果为2个5；
3. 当被开方数是3个4的平方加3个3的平方时：$\sqrt{444^2+333^2}=\sqrt{(111×4)^2+(111×3)^2}=\sqrt{111^2×25}=111×5=555$，结果为3个5；
由此可归纳出规律：当被开方数是$n$个4的平方与$n$个3的平方的和时，算术平方根的结果为$n$个5。
本题中$n=2025$，因此结果为2025个5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根，规律探究，二次根式化简
【点评】
本题是数字规律类的典型题型，核心考查归纳推理能力，通过分析简单特例总结出数字个数的对应关系即可快速解题，无需进行复杂的大数运算。
【难度系数】
0.8
本题属于数字规律探究题，解题时遵循从特殊到一般的思路：先观察题目给出的几个简单计算结果，找到被开方数中4、3的个数和计算结果中5的个数的对应关系，再将规律推广到2025个数字的情况即可求解。通过已知特例可发现，n个4的平方加n个3的平方开算术平方根，结果就是n个5，代入n=2025就能得到答案。
【解析】
观察已知的计算结果总结规律：
1. 当被开方数是1个4的平方加1个3的平方时：$\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5$，结果为1个5；
2. 当被开方数是2个4的平方加2个3的平方时：$\sqrt{44^2+33^2}=\sqrt{(11×4)^2+(11×3)^2}=\sqrt{11^2×(16+9)}=11×5=55$，结果为2个5；
3. 当被开方数是3个4的平方加3个3的平方时：$\sqrt{444^2+333^2}=\sqrt{(111×4)^2+(111×3)^2}=\sqrt{111^2×25}=111×5=555$，结果为3个5；
由此可归纳出规律：当被开方数是$n$个4的平方与$n$个3的平方的和时，算术平方根的结果为$n$个5。
本题中$n=2025$，因此结果为2025个5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根，规律探究，二次根式化简
【点评】
本题是数字规律类的典型题型，核心考查归纳推理能力，通过分析简单特例总结出数字个数的对应关系即可快速解题，无需进行复杂的大数运算。
【难度系数】
0.8
3. 观察表2-2-1中的数据：
表2-2-1
由表格中的数据可知$\sqrt{12.69}$的值（
A.在3.4和3.5之间
B.在3.5和3.6之间
C.在35和36之间
D.在0.35和0.36之间
表2-2-1
由表格中的数据可知$\sqrt{12.69}$的值（
B
）。A.在3.4和3.5之间
B.在3.5和3.6之间
C.在35和36之间
D.在0.35和0.36之间
答案
3. B
解析
【分析】
要确定$\sqrt{12.69}$的取值范围，我们可以利用算术平方根的性质：正数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大。首先结合表格给出的整数平方值，将其转化为对应小数的平方值，再判断12.69落在哪两个小数的平方之间，即可推出$\sqrt{12.69}$的范围。
【解析】
由表格中的数据可得：$35^2=1225$，$36^2=1296$。
根据小数点移动规律，因数的小数点向左移动1位，积的小数点向左移动2位，因此：
$3.5^2=12.25$，$3.6^2=12.96$。
比较大小可得：$12.25＜12.69＜12.96$。
对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，因此：
$\sqrt{12.25}＜\sqrt{12.69}＜\sqrt{12.96}$，即$3.5＜\sqrt{12.69}＜3.6$。
因此$\sqrt{12.69}$的值在3.5和3.6之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 无理数的估算
【点评】
本题考查算术平方根的估算，解题关键是掌握平方运算和开方运算的互逆关系，结合被开方数的大小关系推导算术平方根的范围，是平方根相关知识的基础应用。
【难度系数】
0.7
要确定$\sqrt{12.69}$的取值范围，我们可以利用算术平方根的性质：正数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大。首先结合表格给出的整数平方值，将其转化为对应小数的平方值，再判断12.69落在哪两个小数的平方之间，即可推出$\sqrt{12.69}$的范围。
【解析】
由表格中的数据可得：$35^2=1225$，$36^2=1296$。
根据小数点移动规律，因数的小数点向左移动1位，积的小数点向左移动2位，因此：
$3.5^2=12.25$，$3.6^2=12.96$。
比较大小可得：$12.25＜12.69＜12.96$。
对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，因此：
$\sqrt{12.25}＜\sqrt{12.69}＜\sqrt{12.96}$，即$3.5＜\sqrt{12.69}＜3.6$。
因此$\sqrt{12.69}$的值在3.5和3.6之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 无理数的估算
【点评】
本题考查算术平方根的估算，解题关键是掌握平方运算和开方运算的互逆关系，结合被开方数的大小关系推导算术平方根的范围，是平方根相关知识的基础应用。
【难度系数】
0.7
4. 估计下面各数与哪个整数最接近：$\sqrt{29}$与
5
最接近；$\sqrt[3]{98}$与5
最接近。答案
4. 5 5
解析
【分析】
要判断无理数与哪个整数最接近，分两步思考：第一步先确定无理数位于哪两个相邻的整数之间，通过找相邻的完全平方数（针对平方根）或完全立方数（针对立方根）即可确定范围；第二步分别计算被开方数和两个完全平方/立方数的差值，差值更小的对应的整数就是最接近的数。
【解析】
1. 估算$\sqrt{29}$最接近的整数：
先找29相邻的完全平方数：$5^2=25$，$6^2=36$，因此$5＜\sqrt{29}＜6$。
计算差值：$29-25=4$，$36-29=7$，因为$4＜7$，说明$\sqrt{29}$距离5更近，所以$\sqrt{29}$与5最接近。
2. 估算$\sqrt[3]{98}$最接近的整数：
先找98相邻的完全立方数：$4^3=64$，$5^3=125$，因此$4＜\sqrt[3]{98}＜5$。
计算差值：$98-64=34$，$125-98=27$，因为$27＜34$，说明$\sqrt[3]{98}$距离5更近，所以$\sqrt[3]{98}$与5最接近。
【答案】
5；5
【知识点】
无理数大小估算；平方根估算；立方根估算
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是熟练掌握通过相邻完全平方数、完全立方数确定无理数范围的方法，再通过作差比较即可得到结果，是对基础估算能力的考察。
【难度系数】
0.8
要判断无理数与哪个整数最接近，分两步思考：第一步先确定无理数位于哪两个相邻的整数之间，通过找相邻的完全平方数（针对平方根）或完全立方数（针对立方根）即可确定范围；第二步分别计算被开方数和两个完全平方/立方数的差值，差值更小的对应的整数就是最接近的数。
【解析】
1. 估算$\sqrt{29}$最接近的整数：
先找29相邻的完全平方数：$5^2=25$，$6^2=36$，因此$5＜\sqrt{29}＜6$。
计算差值：$29-25=4$，$36-29=7$，因为$4＜7$，说明$\sqrt{29}$距离5更近，所以$\sqrt{29}$与5最接近。
2. 估算$\sqrt[3]{98}$最接近的整数：
先找98相邻的完全立方数：$4^3=64$，$5^3=125$，因此$4＜\sqrt[3]{98}＜5$。
计算差值：$98-64=34$，$125-98=27$，因为$27＜34$，说明$\sqrt[3]{98}$距离5更近，所以$\sqrt[3]{98}$与5最接近。
【答案】
5；5
【知识点】
无理数大小估算；平方根估算；立方根估算
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是熟练掌握通过相邻完全平方数、完全立方数确定无理数范围的方法，再通过作差比较即可得到结果，是对基础估算能力的考察。
【难度系数】
0.8
5. 比较下列各数的大小:(1)$-\sqrt{3}$
（填“＞”或“＜”）
＜
$-\sqrt{2}$；(2)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ＜
$\frac{5}{8}$；(3)$3\sqrt{5}$ ＜
$5\sqrt{3}$。（填“＞”或“＜”）
答案
5. (1)＜ (2)＜ (3)＜
解析
【分析】
(1)比较两个负无理数的大小，依据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先比较两个数的绝对值$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的大小，根据算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，得到$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，就能推出两个负数的大小关系；
(2)比较两个正分数的大小，采用通分法统一分母后比较分子即可：把两个分数通分为分母是8的分数，只需比较分子$4(\sqrt{5}-1)$和5的大小，再用平方法比较$4\sqrt{5}$和9的大小，即可得到结果；
(3)比较两个带系数的正二次根式的大小，可将根号外的系数平方后移入根号内，转化为比较两个算术平方根的大小，只需对比被开方数的大小就能得出结论。
【解析】
(1) 因为被开方数越大，算术平方根越大，所以$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-\sqrt{3} ＜ -\sqrt{2}$；
(2) 先通分：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{4(\sqrt{5}-1)}{8}=\frac{4\sqrt{5}-4}{8}$，两个分数分母相同，只需比较分子$4\sqrt{5}-4$和$5$的大小，即比较$4\sqrt{5}$和$9$的大小。
对两个正数分别平方：$(4\sqrt{5})^2=16×5=80$，$9^2=81$，因为$80＜81$，所以$4\sqrt{5}＜9$，则$4\sqrt{5}-4＜5$，因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜\frac{5}{8}$；
(3) 将根号外的系数移入根号内：$3\sqrt{5}=\sqrt{3^2×5}=\sqrt{45}$，$5\sqrt{3}=\sqrt{5^2×3}=\sqrt{75}$，因为被开方数$45＜75$，所以$\sqrt{45}＜\sqrt{75}$，即$3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$。
【答案】
(1)＜；(2)＜；(3)＜
【知识点】
实数大小比较，二次根式化简，平方法比较大小
【点评】
本题考查实数大小比较的常用技巧，针对不同类型的实数可选择对应的比较方法：负实数比较可通过绝对值判断，带根号的数可通过平方法、移入根号内比较被开方数等方法判断，熟练掌握这些技巧能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1)比较两个负无理数的大小，依据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先比较两个数的绝对值$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的大小，根据算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，得到$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，就能推出两个负数的大小关系；
(2)比较两个正分数的大小，采用通分法统一分母后比较分子即可：把两个分数通分为分母是8的分数，只需比较分子$4(\sqrt{5}-1)$和5的大小，再用平方法比较$4\sqrt{5}$和9的大小，即可得到结果；
(3)比较两个带系数的正二次根式的大小，可将根号外的系数平方后移入根号内，转化为比较两个算术平方根的大小，只需对比被开方数的大小就能得出结论。
【解析】
(1) 因为被开方数越大，算术平方根越大，所以$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-\sqrt{3} ＜ -\sqrt{2}$；
(2) 先通分：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{4(\sqrt{5}-1)}{8}=\frac{4\sqrt{5}-4}{8}$，两个分数分母相同，只需比较分子$4\sqrt{5}-4$和$5$的大小，即比较$4\sqrt{5}$和$9$的大小。
对两个正数分别平方：$(4\sqrt{5})^2=16×5=80$，$9^2=81$，因为$80＜81$，所以$4\sqrt{5}＜9$，则$4\sqrt{5}-4＜5$，因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜\frac{5}{8}$；
(3) 将根号外的系数移入根号内：$3\sqrt{5}=\sqrt{3^2×5}=\sqrt{45}$，$5\sqrt{3}=\sqrt{5^2×3}=\sqrt{75}$，因为被开方数$45＜75$，所以$\sqrt{45}＜\sqrt{75}$，即$3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$。
【答案】
(1)＜；(2)＜；(3)＜
【知识点】
实数大小比较，二次根式化简，平方法比较大小
【点评】
本题考查实数大小比较的常用技巧，针对不同类型的实数可选择对应的比较方法：负实数比较可通过绝对值判断，带根号的数可通过平方法、移入根号内比较被开方数等方法判断，熟练掌握这些技巧能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度$h$（m）与下降的时间$t$（s）的关系可以近似地表示为$h=4.9t^2$（不计空气阻力）。一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980 m，这段时间大约有
14 s
。（精确到1 s）答案
6. 14 s
解析
【分析】
题目给出了下降高度$h$与下降时间$t$的关系式，已知伞兵下降高度为980m，要求对应下降时间，解题思路如下：首先将已知的$h=980$代入给定的关系式，得到关于$t$的一元二次方程；再根据平方根的知识解方程，注意时间是正数，需舍去不符合实际的负根；最后将计算结果按要求精确到1s即可。
【解析】
解：把$h=980$代入$h=4.9t^2$，可得：
$4.9t^2 = 980$
等式两边同时除以4.9，得：
$t^2 = 980÷4.9 = 200$
由于下降时间$t$一定为正数，因此：
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 10×1.414 = 14.14 \approx 14\ \mathrm{s}$
【答案】
14 s
【知识点】
算术平方根计算，列方程解实际问题
【点评】
本题属于数学知识在生活场景中的简单应用，解题核心是准确代入已知量列出方程，计算时要注意实际问题中自变量的取值必须符合现实意义，最后按要求取近似值即可。
【难度系数】
0.7
题目给出了下降高度$h$与下降时间$t$的关系式，已知伞兵下降高度为980m，要求对应下降时间，解题思路如下：首先将已知的$h=980$代入给定的关系式，得到关于$t$的一元二次方程；再根据平方根的知识解方程，注意时间是正数，需舍去不符合实际的负根；最后将计算结果按要求精确到1s即可。
【解析】
解：把$h=980$代入$h=4.9t^2$，可得：
$4.9t^2 = 980$
等式两边同时除以4.9，得：
$t^2 = 980÷4.9 = 200$
由于下降时间$t$一定为正数，因此：
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 10×1.414 = 14.14 \approx 14\ \mathrm{s}$
【答案】
14 s
【知识点】
算术平方根计算，列方程解实际问题
【点评】
本题属于数学知识在生活场景中的简单应用，解题核心是准确代入已知量列出方程，计算时要注意实际问题中自变量的取值必须符合现实意义，最后按要求取近似值即可。
【难度系数】
0.7
7. 给出表2-2-2，解答下列问题：
表2-2-2
(1)190.44的平方根是
(2)$\sqrt{176.9}\approx$
(3)若$\sqrt[3]{200}\approx5.848$，则$\sqrt[3]{0.2}\approx$
表2-2-2
(1)190.44的平方根是
±13.8
；(2)$\sqrt{176.9}\approx$
13.3
，$\sqrt{18769}=$137
；(3)若$\sqrt[3]{200}\approx5.848$，则$\sqrt[3]{0.2}\approx$
0.584 8
，$\sqrt[3]{200000}\approx$58.48
。答案
7. (1) ±13.8
(2) 13.3 137
(3) 0.584 8 58.48
(2) 13.3 137
(3) 0.584 8 58.48
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，先从表格中找到平方等于190.44的数，再添加正负号即可得到结果。
2. 第(2)问：求$\sqrt{176.9}$的近似值时，先查找表格中与176.9最接近的$x^2$值，对应的$x$就是近似值；求$\sqrt{18769}$时，利用算术平方根的小数点移动规律：被开方数小数点每向右（左）移动2位，算术平方根的小数点同向移动1位，结合表格数据推导即可。
3. 第(3)问：利用立方根的小数点移动规律：被开方数小数点每向右（左）移动3位，立方根的小数点同向移动1位，结合已知的$\sqrt[3]{200}\approx5.848$推导即可。
【解析】
(1) 由表格可知$13.8^2=190.44$，根据平方根的定义，190.44的平方根为$\pm13.8$。
(2) 观察表格得$13.3^2=176.89$，与176.9非常接近，因此$\sqrt{176.9}\approx13.3$；
已知$13.7^2=187.69$，18769是187.69的小数点向右移动2位得到的，因此算术平方根的小数点向右移动1位，即$\sqrt{18769}=13.7×10=137$。
(3) 已知$\sqrt[3]{200}\approx5.848$，0.2是200的小数点向左移动3位得到的，因此立方根的小数点向左移动1位，即$\sqrt[3]{0.2}\approx0.5848$；
200000是200的小数点向右移动3位得到的，因此立方根的小数点向右移动1位，即$\sqrt[3]{200000}\approx5.848×10=58.48$。
【答案】
(1) $\pm13.8$
(2) $13.3$；$137$
(3) $0.5848$；$58.48$
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的性质，立方根的性质
【点评】
本题侧重考查平方根、立方根基础规律的应用，解题核心是熟练掌握平方根和立方根的小数点移动规律，结合表格数据即可快速求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.75
1. 第(1)问：根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，先从表格中找到平方等于190.44的数，再添加正负号即可得到结果。
2. 第(2)问：求$\sqrt{176.9}$的近似值时，先查找表格中与176.9最接近的$x^2$值，对应的$x$就是近似值；求$\sqrt{18769}$时，利用算术平方根的小数点移动规律：被开方数小数点每向右（左）移动2位，算术平方根的小数点同向移动1位，结合表格数据推导即可。
3. 第(3)问：利用立方根的小数点移动规律：被开方数小数点每向右（左）移动3位，立方根的小数点同向移动1位，结合已知的$\sqrt[3]{200}\approx5.848$推导即可。
【解析】
(1) 由表格可知$13.8^2=190.44$，根据平方根的定义，190.44的平方根为$\pm13.8$。
(2) 观察表格得$13.3^2=176.89$，与176.9非常接近，因此$\sqrt{176.9}\approx13.3$；
已知$13.7^2=187.69$，18769是187.69的小数点向右移动2位得到的，因此算术平方根的小数点向右移动1位，即$\sqrt{18769}=13.7×10=137$。
(3) 已知$\sqrt[3]{200}\approx5.848$，0.2是200的小数点向左移动3位得到的，因此立方根的小数点向左移动1位，即$\sqrt[3]{0.2}\approx0.5848$；
200000是200的小数点向右移动3位得到的，因此立方根的小数点向右移动1位，即$\sqrt[3]{200000}\approx5.848×10=58.48$。
【答案】
(1) $\pm13.8$
(2) $13.3$；$137$
(3) $0.5848$；$58.48$
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的性质，立方根的性质
【点评】
本题侧重考查平方根、立方根基础规律的应用，解题核心是熟练掌握平方根和立方根的小数点移动规律，结合表格数据即可快速求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.75
8. 某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间$t$(单位:h)可以用下面的公式来估计: $t^2 = \frac{d^3}{900}$,其中$d$(单位:km)是雷雨区域的直径。
(1)如果雷雨区域的直径为9 km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?
(2)如果一场雷雨持续了1 h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少?(已知 $\sqrt[3]{900} \approx 9.65$,结果精确到0.1 km)
(1)如果雷雨区域的直径为9 km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?
(2)如果一场雷雨持续了1 h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少?(已知 $\sqrt[3]{900} \approx 9.65$,结果精确到0.1 km)
答案
8. 解:(1)根据 $t^2 = \frac{d^3}{900}$,其中 $d=9\ \mathrm{km}$,
得 $t^2=\frac{9^3}{900}=\frac{729}{900}$。
因为 $t＞0$,所以 $t=\sqrt{\frac{729}{900}}=0.9(\mathrm{h})$。
所以这场雷雨大约能持续 0.9 h。
(2)把 $t=1$ 代入 $t^2=\frac{d^3}{900}$,得 $d^3=900$,
解得 $d=\sqrt[3]{900}\approx9.65(\mathrm{km})\approx9.7(\mathrm{km})$,
所以这场雷雨区域的直径大约是 9.7 km。
得 $t^2=\frac{9^3}{900}=\frac{729}{900}$。
因为 $t＞0$,所以 $t=\sqrt{\frac{729}{900}}=0.9(\mathrm{h})$。
所以这场雷雨大约能持续 0.9 h。
(2)把 $t=1$ 代入 $t^2=\frac{d^3}{900}$,得 $d^3=900$,
解得 $d=\sqrt[3]{900}\approx9.65(\mathrm{km})\approx9.7(\mathrm{km})$,
所以这场雷雨区域的直径大约是 9.7 km。
解析
【分析】
本题是给定公式的实际应用问题，分两步思考：(1)已知直径d求时间t，直接将d=9代入公式计算t²，结合时间为正数，取算术平方根即可得到t的值；(2)已知时间t求直径d，将t=1代入公式变形得到d³的数值，结合直径为正数开立方，再按要求取近似值即可。解题时需注意实际问题中变量均为正数，无需考虑负根。
【解析】
(1) 把$d=9\ \mathrm{km}$代入公式$t^2 = \frac{d^3}{900}$，得：
$t^2=\frac{9^3}{900}=\frac{729}{900}$
因为雷雨持续时间$t＞0$，所以：
$t=\sqrt{\frac{729}{900}}=0.9(\mathrm{h})$
(2) 把$t=1$代入公式$t^2 = \frac{d^3}{900}$，得：
$1=\frac{d^3}{900}$，即$d^3=900$
因为雷雨区域直径$d＞0$，所以：
$d=\sqrt[3]{900}\approx9.65\approx9.7(\mathrm{km})$
【答案】
(1) 这场雷雨大约能持续0.9 h；
(2) 这场雷雨区域的直径大约是9.7 km
【知识点】
代数式求值、算术平方根计算、立方根应用
【点评】
本题属于根式实际应用的基础题，解题关键是准确代入数值计算，需注意结合实际意义排除不符合题意的根，同时要严格按照题目给出的近似值和精确度要求得到最终结果。
【难度系数】
0.8
本题是给定公式的实际应用问题，分两步思考：(1)已知直径d求时间t，直接将d=9代入公式计算t²，结合时间为正数，取算术平方根即可得到t的值；(2)已知时间t求直径d，将t=1代入公式变形得到d³的数值，结合直径为正数开立方，再按要求取近似值即可。解题时需注意实际问题中变量均为正数，无需考虑负根。
【解析】
(1) 把$d=9\ \mathrm{km}$代入公式$t^2 = \frac{d^3}{900}$，得：
$t^2=\frac{9^3}{900}=\frac{729}{900}$
因为雷雨持续时间$t＞0$，所以：
$t=\sqrt{\frac{729}{900}}=0.9(\mathrm{h})$
(2) 把$t=1$代入公式$t^2 = \frac{d^3}{900}$，得：
$1=\frac{d^3}{900}$，即$d^3=900$
因为雷雨区域直径$d＞0$，所以：
$d=\sqrt[3]{900}\approx9.65\approx9.7(\mathrm{km})$
【答案】
(1) 这场雷雨大约能持续0.9 h；
(2) 这场雷雨区域的直径大约是9.7 km
【知识点】
代数式求值、算术平方根计算、立方根应用
【点评】
本题属于根式实际应用的基础题，解题关键是准确代入数值计算，需注意结合实际意义排除不符合题意的根，同时要严格按照题目给出的近似值和精确度要求得到最终结果。
【难度系数】
0.8
