二、拓展性作业
9. 若无理数$\sqrt[3]{T}$（$T$为正整数）的被开方数满足$n^3 ＜ T ＜ (n+1)^3$（$n$为正整数），则称无理数$\sqrt[3]{T}$的“青区间”为$(n,n+1)$；同理，规定无理数$-\sqrt[3]{T}$的“青区间”为$(-n-1,-n)$，例如：因为$1^3 ＜ 2 ＜ 2^3$，所以$\sqrt[3]{2}$的“青区间”为$(1,2)$，$-\sqrt[3]{2}$的“青区间”为$(-2,-1)$，请回答下列问题：
(1)$\sqrt[3]{17}$的“青区间”为________；$-\sqrt[3]{32}$的“青区间”为________。
(2)实数$x,y$满足关系式$\sqrt{x-8} + |2025 + (y-9)^2| = 2025$，求$-\sqrt[3]{xy}$的“青区间”。

9. (1) $(2,3)$ $(-4,-3)$
(2) 解:因为 $\sqrt{x-8} + | 2025 + (y-9)^2 | = 2025$，且$\sqrt{x-8}≥0,|2025+(y-9)^2|≥2025$，所以 $\sqrt{x-8}=0,|2025+(y-9)^2|=2025$，所以 $x=8,y=9$，所以 $\sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{72}$。
因为 $4^3＜72＜5^3$，$\sqrt[3]{xy}$ 的“青区间”为 $(4,5)$。
所以 $-\sqrt[3]{xy}$ 的“青区间”为 $(-5,-4)$。

【分析】
(1) 求立方根的“青区间”可按定义操作：先找两个连续正整数$n$、$n+1$，使得$n^3 ＜ $被开方数$ ＜ (n+1)^3$，正立方根的青区间就是$(n,n+1)$；负立方根的青区间直接套用规则$(-n-1,-n)$即可。先计算$2^3=8$、$3^3=27$，可判断17在8和27之间；再计算$3^3=27$、$4^3=64$，可判断32在27和64之间，分别对应求解即可。
(2) 先利用非负数的性质分析等式：算术平方根、绝对值、偶次幂都是非负数，可推出$\sqrt{x-8}=0$且$(y-9)^2=0$，解出$x$、$y$的值后计算$xy$，再估算$xy$的立方根所在区间，最后按负立方根的青区间规则得出结果。
【解析】
(1) 计算得$2^3=8$，$3^3=27$，满足$2^3 ＜ 17 ＜ 3^3$，因此$\sqrt[3]{17}$的“青区间”为$(2,3)$；
再计算$3^3=27$，$4^3=64$，满足$3^3 ＜ 32 ＜ 4^3$，因此$-\sqrt[3]{32}$的“青区间”为$(-4,-3)$。
(2) 由非负数的性质可知：$\sqrt{x-8}≥0$，$(y-9)^2≥0$，因此$|2025+(y-9)^2|=2025+(y-9)^2≥2025$。
已知$\sqrt{x-8} + |2025 + (y-9)^2| = 2025$，仅当$\sqrt{x-8}=0$且$2025+(y-9)^2=2025$时等式成立：
解得$x-8=0$，即$x=8$；$(y-9)^2=0$，即$y=9$。
因此$xy=8×9=72$，所求无理数为$-\sqrt[3]{72}$。
计算得$4^3=64$，$5^3=125$，满足$4^3 ＜ 72 ＜ 5^3$，故$\sqrt[3]{72}$的“青区间”为$(4,5)$，按规定可得$-\sqrt[3]{72}$的“青区间”为$(-5,-4)$。
【答案】
(1) $(2,3)$；$(-4,-3)$
(2) $(-5,-4)$
【知识点】
新定义理解，非负数的性质，立方根估算
【点评】
本题结合新定义考查了无理数估算和非负数性质的应用，解题关键是准确理解“青区间”的定义，熟练掌握非负数的性质，能正确估算立方根的取值范围，属于基础拓展类题目。
【难度系数】
0.7

10. 观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{200} \approx 14.14$，$\sqrt{20\ 000} \approx 141.4$，…
$\sqrt{0.03} \approx 0.173\ 2$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{300} \approx 17.32$，…
（1）被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；
（2）已知$\sqrt{5} \approx 2.236$，$\sqrt{50} \approx 7.071$，则$\sqrt{0.5} \approx$ ，$\sqrt{500} \approx$ ；
（3）$\sqrt[3]{1} = 1$，$\sqrt[3]{1\ 000} = 10$，$\sqrt[3]{1\ 000\ 000} = 100$，…请根据上面的式子，写出小数点的变化规律。

10. (1) 两 右 一
(2) 0.707 1 22.36
(3) 解:小数点的变化规律:被开方数的小数点向右(左)移动三位，其立方根的小数点向右(左)移动一位。

【分析】
本题是规律探究类题目，解题思路如下：①解决第(1)问时，先对比给出的算术平方根相关式子，统计被开方数的小数点移动位数，再对应看其算术平方根的小数点移动方向和位数，总结规律即可；②第(2)问直接运用第(1)问总结的算术平方根移动规律，看所求式子的被开方数和已知被开方数的小数点移动关系，对应平移算术平方根的小数点即可得到结果；③第(3)问仿照第(1)问的探究方法，对比立方根的相关式子，总结被开方数和立方根的小数点移动规律即可。
【解析】
(1) 观察给出的式子：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{200}\approx14.14$，被开方数2的小数点向右移动2位得到200，对应的算术平方根1.414的小数点向右移动1位得到14.14；再验证$\sqrt{0.03}\approx0.1732$，$\sqrt{3}\approx1.732$，被开方数0.03小数点向右移动2位得到3，算术平方根0.1732小数点向右移动1位得到1.732，因此可得出对应规律。
(2) 已知$\sqrt{50}\approx7.071$，0.5是将50的小数点向左移动2位得到的，根据规律，算术平方根的小数点向左移动1位，因此$\sqrt{0.5}\approx0.7071$；已知$\sqrt{5}\approx2.236$，500是将5的小数点向右移动2位得到的，因此算术平方根的小数点向右移动1位，可得$\sqrt{500}\approx22.36$。
(3) 观察立方根的式子：$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{1000}=10$，被开方数1的小数点向右移动3位得到1000，对应的立方根1的小数点向右移动1位得到10；再看$\sqrt[3]{1000}=10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$，被开方数1000的小数点向右移动3位得到1000000，立方根10的小数点向右移动1位得到100，反向验证向左移动也成立，因此可总结出立方根对应的小数点移动规律。
【答案】
(1) 两；右；一
(2) 0.7071；22.36
(3) 被开方数的小数点向右(左)移动三位，其立方根的小数点向右(左)移动一位。
【知识点】
算术平方根性质；立方根性质；规律探究
【点评】
本题属于开方运算的基础规律应用题，通过观察实例总结小数点移动规律，能帮助学生快速求解同类开方运算的近似值，是开方运算中实用性较强的技巧类知识点。
【难度系数】
0.8