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【例1】将多项式 $a^3 - 16a$ 分解因式，结果是().
A. $a(a+4)(a-4)$
B. $(a-4)^2$
C. $a(a-16)$
D. $(a+4)(a-4)$
【变式1】分解因式：
(1) $5m^2 -5 = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $4a^3 -a = \_\_\_\_\_\_$.
A. $a(a+4)(a-4)$
B. $(a-4)^2$
C. $a(a-16)$
D. $(a+4)(a-4)$
【变式1】分解因式：
(1) $5m^2 -5 = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $4a^3 -a = \_\_\_\_\_\_$.
答案
解：
例1：
$a^3 - 16a$
$=a(a^2 - 16)$
$=a(a+4)(a-4)$
故选A。
(1) $5m^2 -5$
$=5(m^2 -1)$
$=5(m+1)(m-1)$
(2) $4a^3 -a$
$=a(4a^2 -1)$
$=a(2a+1)(2a-1)$
例1：
$a^3 - 16a$
$=a(a^2 - 16)$
$=a(a+4)(a-4)$
故选A。
(1) $5m^2 -5$
$=5(m^2 -1)$
$=5(m+1)(m-1)$
(2) $4a^3 -a$
$=a(4a^2 -1)$
$=a(2a+1)(2a-1)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的常规解题思路：第一步先观察多项式是否有公因式，优先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式是否符合平方差、完全平方等公式的形式，套用对应公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解。
例1中先提取公因式$a$，剩下的$a^2-16$符合平方差公式形式，可继续分解；变式的两道小题同样遵循该思路，先提公因式，再套用平方差公式即可完成分解。
【解析】
例1
对$a^3 - 16a$分解因式：
1. 提取公因式$a$：$a^3 - 16a = a(a^2 - 16)$
2. 对$a^2-16$套用平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$（其中$x=a,y=4$）：$a(a^2 - 16)=a(a+4)(a-4)$
故选A。
变式1
(1) 对$5m^2 -5$分解因式：
1. 提取公因式$5$：$5m^2 -5 =5(m^2 -1)$
2. 对$m^2-1$套用平方差公式：$5(m^2 -1)=5(m+1)(m-1)$
(2) 对$4a^3 -a$分解因式：
1. 提取公因式$a$：$4a^3 -a =a(4a^2 -1)$
2. 对$4a^2-1$套用平方差公式（$4a^2=(2a)^2$）：$a(4a^2 -1)=a(2a+1)(2a-1)$
【答案】
例1：$\boxed{A}$
(1) $\boxed{5(m+1)(m-1)}$
(2) $\boxed{a(2a+1)(2a-1)}$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题型，核心是熟练掌握因式分解的步骤，注意提取公因式要彻底，分解完成后要验证结果是否已经不能再拆分，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的常规解题思路：第一步先观察多项式是否有公因式，优先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式是否符合平方差、完全平方等公式的形式，套用对应公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解。
例1中先提取公因式$a$，剩下的$a^2-16$符合平方差公式形式，可继续分解；变式的两道小题同样遵循该思路，先提公因式，再套用平方差公式即可完成分解。
【解析】
例1
对$a^3 - 16a$分解因式：
1. 提取公因式$a$：$a^3 - 16a = a(a^2 - 16)$
2. 对$a^2-16$套用平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$（其中$x=a,y=4$）：$a(a^2 - 16)=a(a+4)(a-4)$
故选A。
变式1
(1) 对$5m^2 -5$分解因式：
1. 提取公因式$5$：$5m^2 -5 =5(m^2 -1)$
2. 对$m^2-1$套用平方差公式：$5(m^2 -1)=5(m+1)(m-1)$
(2) 对$4a^3 -a$分解因式：
1. 提取公因式$a$：$4a^3 -a =a(4a^2 -1)$
2. 对$4a^2-1$套用平方差公式（$4a^2=(2a)^2$）：$a(4a^2 -1)=a(2a+1)(2a-1)$
【答案】
例1：$\boxed{A}$
(1) $\boxed{5(m+1)(m-1)}$
(2) $\boxed{a(2a+1)(2a-1)}$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题型，核心是熟练掌握因式分解的步骤，注意提取公因式要彻底，分解完成后要验证结果是否已经不能再拆分，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
【例2】分解因式：
(1)$2ax^2+12axy+18ay^2$；
(2)$-a^2b-49b+14ab$.
(1)$2ax^2+12axy+18ay^2$；
(2)$-a^2b-49b+14ab$.
答案
解：
(1)
$2ax^2+12axy+18ay^2$
$=2a(x^2+6xy+9y^2)$
$=2a(x+3y)^2$
(2)
$-a^2b-49b+14ab$
$=-b(a^2-14a+49)$
$=-b(a-7)^2$
(1)
$2ax^2+12axy+18ay^2$
$=2a(x^2+6xy+9y^2)$
$=2a(x+3y)^2$
(2)
$-a^2b-49b+14ab$
$=-b(a^2-14a+49)$
$=-b(a-7)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的解题步骤：①先观察多项式各项是否存在公因式，若有先提取公因式，注意如果首项系数为负，要连同负号一起提取；②提取公因式后，观察剩余多项式的项数，若为三项，判断是否符合完全平方公式“首²±2×首×尾+尾²”的结构特征，符合则套用公式继续分解；③最后检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。
针对第(1)题：各项公因式为2a，提取后剩余的三项式符合完全平方公式特征，直接套用公式即可；
针对第(2)题：首项系数为负，优先提取公因式-b，剩余的三项式符合完全平方公式特征，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 分解$2ax^2+12axy+18ay^2$：
先提取公因式$2a$：
$2ax^2+12axy+18ay^2=2a(x^2+6xy+9y^2)$
再对括号内的三项套用完全平方公式：
$2a(x^2+6xy+9y^2)=2a(x+3y)^2$
(2) 分解$-a^2b-49b+14ab$：
先提取公因式$-b$：
$-a^2b-49b+14ab=-b(a^2-14a+49)$
再对括号内的三项套用完全平方公式：
$-b(a^2-14a+49)=-b(a-7)^2$
【答案】
(1) $2a(x+3y)^2$
(2) $-b(a-7)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心要熟练掌握因式分解的操作流程，提取公因式时要注意公因式提尽，首项为负时优先提取负号可避免符号错误，分解完成后要注意校验是否分解彻底。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的解题步骤：①先观察多项式各项是否存在公因式，若有先提取公因式，注意如果首项系数为负，要连同负号一起提取；②提取公因式后，观察剩余多项式的项数，若为三项，判断是否符合完全平方公式“首²±2×首×尾+尾²”的结构特征，符合则套用公式继续分解；③最后检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。
针对第(1)题：各项公因式为2a，提取后剩余的三项式符合完全平方公式特征，直接套用公式即可；
针对第(2)题：首项系数为负，优先提取公因式-b，剩余的三项式符合完全平方公式特征，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 分解$2ax^2+12axy+18ay^2$：
先提取公因式$2a$：
$2ax^2+12axy+18ay^2=2a(x^2+6xy+9y^2)$
再对括号内的三项套用完全平方公式：
$2a(x^2+6xy+9y^2)=2a(x+3y)^2$
(2) 分解$-a^2b-49b+14ab$：
先提取公因式$-b$：
$-a^2b-49b+14ab=-b(a^2-14a+49)$
再对括号内的三项套用完全平方公式：
$-b(a^2-14a+49)=-b(a-7)^2$
【答案】
(1) $2a(x+3y)^2$
(2) $-b(a-7)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心要熟练掌握因式分解的操作流程，提取公因式时要注意公因式提尽，首项为负时优先提取负号可避免符号错误，分解完成后要注意校验是否分解彻底。
【难度系数】
0.8
【变式2】分解因式：
(1)$-3a^3+6a^2b-3ab^2$；
(2)$4x^2y-4xy^2-x^3$。
(1)$-3a^3+6a^2b-3ab^2$；
(2)$4x^2y-4xy^2-x^3$。
答案
解：
(1) 原式$=-3a(a^2 - 2ab + b^2)$
$=-3a(a - b)^2$
(2) 原式$=-x(x^2 - 4xy + 4y^2)$
$=-x(x - 2y)^2$
(1) 原式$=-3a(a^2 - 2ab + b^2)$
$=-3a(a - b)^2$
(2) 原式$=-x(x^2 - 4xy + 4y^2)$
$=-x(x - 2y)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，首项系数为负时优先提取负号，保证括号内首项为正；第二步提取公因式后，观察剩余多项式的结构，判断是否符合乘法公式的特征，本题提取公因式后均为三项式，符合完全平方公式的结构，可套用公式继续分解；最后检查分解是否彻底，确保每个因式无法再分解。
【解析】
(1) 观察多项式$-3a^3+6a^2b-3ab^2$，各项公因式为$-3a$，先提取公因式：
原式$=-3a(a^2 - 2ab + b^2)$
剩余多项式$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，继续分解得：
$=-3a(a - b)^2$
(2) 将多项式$4x^2y-4xy^2-x^3$按降幂排列后，观察得各项公因式为$-x$，先提取公因式：
原式$=-x(x^2 - 4xy + 4y^2)$
剩余多项式$x^2-4xy+4y^2$符合完全平方公式，其中$a=x、b=2y$，继续分解得：
$=-x(x - 2y)^2$
【答案】
(1) $-3a(a-b)^2$
(2) $-x(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，重点考查因式分解的标准操作流程，解题时需注意提取负号后括号内各项要变号，公因式要提尽，最终分解结果要彻底，不能出现还可继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，首项系数为负时优先提取负号，保证括号内首项为正；第二步提取公因式后，观察剩余多项式的结构，判断是否符合乘法公式的特征，本题提取公因式后均为三项式，符合完全平方公式的结构，可套用公式继续分解；最后检查分解是否彻底，确保每个因式无法再分解。
【解析】
(1) 观察多项式$-3a^3+6a^2b-3ab^2$，各项公因式为$-3a$，先提取公因式：
原式$=-3a(a^2 - 2ab + b^2)$
剩余多项式$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，继续分解得：
$=-3a(a - b)^2$
(2) 将多项式$4x^2y-4xy^2-x^3$按降幂排列后，观察得各项公因式为$-x$，先提取公因式：
原式$=-x(x^2 - 4xy + 4y^2)$
剩余多项式$x^2-4xy+4y^2$符合完全平方公式，其中$a=x、b=2y$，继续分解得：
$=-x(x - 2y)^2$
【答案】
(1) $-3a(a-b)^2$
(2) $-x(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，重点考查因式分解的标准操作流程，解题时需注意提取负号后括号内各项要变号，公因式要提尽，最终分解结果要彻底，不能出现还可继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
【例3】分解因式$(x^2 - 1)^2 - 6(x^2 - 1) + 9.$
【变式3】分解因式$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2.$
【变式3】分解因式$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2.$
答案
解：
1. 分解因式$(x^2 - 1)^2 - 6(x^2 - 1) + 9$：
原式$=(x^2 - 1 - 3)^2$
$=(x^2 - 4)^2$
$=[(x + 2)(x - 2)]^2$
$=(x + 2)^2(x - 2)^2$
2. 分解因式$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2$：
原式$=(x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2$
$=(x^2 + 4y^2 + 4xy)(x^2 + 4y^2 - 4xy)$
$=(x + 2y)^2(x - 2y)^2$
1. 分解因式$(x^2 - 1)^2 - 6(x^2 - 1) + 9$：
原式$=(x^2 - 1 - 3)^2$
$=(x^2 - 4)^2$
$=[(x + 2)(x - 2)]^2$
$=(x + 2)^2(x - 2)^2$
2. 分解因式$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2$：
原式$=(x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2$
$=(x^2 + 4y^2 + 4xy)(x^2 + 4y^2 - 4xy)$
$=(x + 2y)^2(x - 2y)^2$
解析
【分析】
两道题都属于公式法综合分解因式的题型，解题思路如下：
1. 对于$(x^2 - 1)^2 - 6(x^2 - 1) + 9$：先把$x^2-1$看作一个整体，式子符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，先用完全平方公式分解，得到的因式$x^2-4$还符合平方差公式特征，继续用平方差公式分解，最后整理即可。
2. 对于$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2$：先把$16x^2y^2$改写为$(4xy)^2$，整个式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，先用平方差公式分解，得到的两个因式各自都符合完全平方公式特征，再分别用完全平方公式分解到不能再分解为止。
【解析】
1. 分解因式$(x^2 - 1)^2 - 6(x^2 - 1) + 9$：
原式$=(x^2 - 1 - 3)^2$
$=(x^2 - 4)^2$
$=[(x + 2)(x - 2)]^2$
$=(x + 2)^2(x - 2)^2$
2. 分解因式$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2$：
原式$=(x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2$
$=(x^2 + 4y^2 + 4xy)(x^2 + 4y^2 - 4xy)$
$=(x + 2y)^2(x - 2y)^2$
【答案】
1. $(x + 2)^2(x - 2)^2$
2. $(x + 2y)^2(x - 2y)^2$
【知识点】
公式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
这两道题是因式分解的基础综合题，核心考察整体思想在因式分解中的应用，解题时要先观察式子的结构特征，优先匹配对应的乘法公式，同时要注意因式分解必须彻底，直到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.7
两道题都属于公式法综合分解因式的题型，解题思路如下：
1. 对于$(x^2 - 1)^2 - 6(x^2 - 1) + 9$：先把$x^2-1$看作一个整体，式子符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，先用完全平方公式分解，得到的因式$x^2-4$还符合平方差公式特征，继续用平方差公式分解，最后整理即可。
2. 对于$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2$：先把$16x^2y^2$改写为$(4xy)^2$，整个式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，先用平方差公式分解，得到的两个因式各自都符合完全平方公式特征，再分别用完全平方公式分解到不能再分解为止。
【解析】
1. 分解因式$(x^2 - 1)^2 - 6(x^2 - 1) + 9$：
原式$=(x^2 - 1 - 3)^2$
$=(x^2 - 4)^2$
$=[(x + 2)(x - 2)]^2$
$=(x + 2)^2(x - 2)^2$
2. 分解因式$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2$：
原式$=(x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2$
$=(x^2 + 4y^2 + 4xy)(x^2 + 4y^2 - 4xy)$
$=(x + 2y)^2(x - 2y)^2$
【答案】
1. $(x + 2)^2(x - 2)^2$
2. $(x + 2y)^2(x - 2y)^2$
【知识点】
公式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
这两道题是因式分解的基础综合题，核心考察整体思想在因式分解中的应用，解题时要先观察式子的结构特征，优先匹配对应的乘法公式，同时要注意因式分解必须彻底，直到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.7
1. 把多项式$9x^2 -9$分解因式，结果是()。
A.$(3x+3)(3x-3)$
B.$9(x^2 -1)$
C.$9x(x-1)$
D.$9(x+1)(x-1)$
A.$(3x+3)(3x-3)$
B.$9(x^2 -1)$
C.$9x(x-1)$
D.$9(x+1)(x-1)$
答案
D
解析
【分析】
解决这道题要按照因式分解的规范步骤思考：第一步先观察多项式的各项是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的特征，若符合则用公式法继续分解，直到每个因式都不能再分解为止，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
对多项式$9x^2 -9$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察到两项都含有公因式9，提取后可得：$9x^2 -9=9(x^2 -1)$；
2. 用平方差公式继续分解：$x^2 -1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=x,b=1$，因此$x^2 -1=(x+1)(x-1)$；
3. 综上，$9x^2 -9=9(x+1)(x-1)$。
再逐一判断选项：
A选项$(3x+3)(3x-3)$中两个因式还可分别提取公因式3，未分解彻底，错误；
B选项$9(x^2 -1)$中$x^2 -1$还可继续分解，未分解彻底，错误；
C选项$9x(x-1)=9x^2-9x$，和原式不相等，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意因式分解必须分解到每一个因式在有理数范围内都不能再分解为止，很多同学容易因忽略分解彻底的要求误选A或B，做题时要注意对结果进行校验。
【难度系数】
0.8
解决这道题要按照因式分解的规范步骤思考：第一步先观察多项式的各项是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的特征，若符合则用公式法继续分解，直到每个因式都不能再分解为止，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
对多项式$9x^2 -9$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察到两项都含有公因式9，提取后可得：$9x^2 -9=9(x^2 -1)$；
2. 用平方差公式继续分解：$x^2 -1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=x,b=1$，因此$x^2 -1=(x+1)(x-1)$；
3. 综上，$9x^2 -9=9(x+1)(x-1)$。
再逐一判断选项：
A选项$(3x+3)(3x-3)$中两个因式还可分别提取公因式3，未分解彻底，错误；
B选项$9(x^2 -1)$中$x^2 -1$还可继续分解，未分解彻底，错误；
C选项$9x(x-1)=9x^2-9x$，和原式不相等，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意因式分解必须分解到每一个因式在有理数范围内都不能再分解为止，很多同学容易因忽略分解彻底的要求误选A或B，做题时要注意对结果进行校验。
【难度系数】
0.8
