2. 把多项式$ax^3 - 2ax^2 + ax$分解因式，结果正确的是（）.

A.$ax(x^2 - 2x)$
B.$ax^2(x - 2)$
C.$ax(x+1)(x-1)$
D.$ax(x-1)^2$

D

【分析】
这是一道因式分解的选择题，解题时按照因式分解的常规步骤思考即可：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项都含有公因式ax，先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩下的多项式的形式，判断是否可以用乘法公式继续分解，直到不能再分解为止。也可通过排除法验证结果：选项A分解不彻底，括号内还能继续分解；选项B提取公因式的计算错误，不符合原式项的结构；选项C误用平方差公式，不符合剩余多项式的特征。
【解析】
解：对多项式$ax^3 - 2ax^2 + ax$分解因式，步骤如下：
1. 提取公因式$ax$：
$ax^3 - 2ax^2 + ax = ax(x^2 - 2x + 1)$
2. 分解剩余多项式：观察$x^2 - 2x + 1$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中$a=x$、$b=1$，因此：
$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$
综上，原式分解结果为$ax(x-1)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时需遵循“一提二套三查”的原则：先提取公因式，再根据剩余式子的特征选择对应的乘法公式分解，最后检查是否分解到不能再分解为止，避免出现分解不彻底、公式误用等错误。
【难度系数】
0.8

3. 若多项式$(2x)^n -81$分解因式的结果为$(4x^2 +9)(2x+3)(2x-3)$，则$n$的值是().

A.2
B.4
C.6
D.8

B

【分析】
要确定n的值，我们可以利用因式分解与整式乘法是互逆运算的关系，将分解后的结果相乘还原为原多项式，再与题目给出的多项式$(2x)^n -81$对比，对应项的指数相等即可求出n。解题时可以先利用平方差公式逐步计算因式的乘积，简化运算过程。
【解析】
首先计算后两个因式的乘积，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2 - 3^2=4x^2 -9$
再将所得结果与第一个因式相乘，继续使用平方差公式：
$(4x^2 +9)(4x^2 -9)=(4x^2)^2 - 9^2=16x^4 -81$
将$16x^4$变形为幂的形式：$16x^4=2^4x^4=(2x)^4$
因此分解结果还原后为$(2x)^4 -81$，与原多项式$(2x)^n -81$对比可得$n=4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解与整式乘法的互逆关系
3. 幂的运算
【点评】
本题核心是利用因式分解和整式乘法的互逆性解题，需要熟练掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用公式进行整式乘法运算，通过还原多项式的方式求解参数，是因式分解章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8

4. 分解因式: (1) $3ma^2 - 3mb^2 = \_\_\_\_\_\_$；________；(2) $-am^2 + 4am - 4a = \_\_\_\_\_\_$.

解：
(1)
$3ma^2 - 3mb^2$
$=3m(a^2 - b^2)$
$=3m(a+b)(a-b)$
(2)
$-am^2 + 4am - 4a$
$=-a(m^2 - 4m + 4)$
$=-a(m-2)^2$

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的部分是否符合平方差或完全平方公式的特征，符合则套用公式继续分解，最后检查分解结果是否彻底，每个因式不可再分解。
第(1)题：先找公因式，两项都含公因式3m，提取后剩余的$a^2-b^2$符合平方差公式特征，可继续分解；
第(2)题：三项都含公因式，且首项系数为负，优先提取负公因式$-a$，剩余的$m^2-4m+4$符合完全平方公式特征，可继续分解。
【解析】
(1)
$3ma^2 - 3mb^2$
$=3m(a^2 - b^2)$
$=3m(a+b)(a-b)$
(2)
$-am^2 + 4am - 4a$
$=-a(m^2 - 4m + 4)$
$=-a(m-2)^2$
【答案】
(1)$3m(a+b)(a-b)$；(2)$-a(m-2)^2$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，按照先提公因式再套用公式的顺序解题即可，注意首项为负时先提取负号，最终分解结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.85

5. 分解因式:
(1) $-\dfrac{1}{2}a^2 + 2a - 2$；
(2) $a^2 - 2ab - c^2 + b^2$.

解：
(1) 原式$=-\dfrac{1}{2}(a^2 -4a +4)$
$=-\dfrac{1}{2}(a-2)^2$
(2) 原式$=(a^2 -2ab +b^2) - c^2$
$=(a-b)^2 - c^2$
$=(a-b+c)(a-b-c)$

【分析】
(1) 解题时先观察式子特征，该式首项为负且含分数系数，优先提取公因式$-\frac{1}{2}$，再判断提取公因式后剩余的多项式符合完全平方公式的形式，套用公式即可完成分解。
(2) 该式为四项式，优先考虑分组分解法，观察可得$a^2、-2ab、b^2$三项可构成完全平方，因此将这三项分为一组，分组后原式转化为平方差的形式，再套用平方差公式即可完成分解。
【解析】
(1) 先提取公因式$-\frac{1}{2}$：
原式$=-\dfrac{1}{2}(a^2 -4a +4)$
括号内的$a^2-4a+4$符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=a$，$n=2$），因此继续分解：
$=-\dfrac{1}{2}(a-2)^2$
(2) 先将可构成完全平方的三项分组：
原式$=(a^2 -2ab +b^2) - c^2$
对括号内的式子套用完全平方公式：
$=(a-b)^2 - c^2$
此时式子符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（其中$m=a-b$，$n=c$），继续分解：
$=(a-b+c)(a-b-c)$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}(a-2)^2$；(2) $(a-b+c)(a-b-c)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时遵循“一提、二套、三分组”的基本顺序即可，提取公因式时要注意符号问题，分组时要保证分组后可继续分解，最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

1.把多项式$2x^3 - 8x$分解因式,最后结果是().

A.$2(x^3 - 4x)$
B.$2x(x^2 - 4)$
C.$2x(x - 2)^2$
D.$2x(x + 2)(x - 2)$

D

【分析】
要对多项式分解因式，需遵循因式分解的常规步骤思考：第一步先找多项式各项的公因式，将公因式提取出来；第二步观察提取公因式后余下的多项式，判断能否套用乘法公式继续分解；最后检查所有因式是否都不能再分解，同时注意排除分解不彻底、公式误用的错误选项。
首先观察多项式$2x^3 - 8x$，各项系数的最大公约数是2，都含字母$x$且$x$的最低次幂是1，因此公因式为$2x$；提取公因式后得到$x^2-4$，符合平方差公式的形式，可以继续分解；分解后再核对选项即可。
【解析】
分解因式$2x^3 - 8x$步骤如下：
1. 提取公因式：
多项式各项的公因式为$2x$，提取后可得：
$2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4)$
2. 套用平方差公式继续分解：
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，因此：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$
3. 整理最终结果：
将上述结果代入，可得$2x^3 - 8x = 2x(x+2)(x-2)$。
对选项逐一排查：
A选项未提取完公因式，括号内$x^3-4x$仍可提公因式，错误；
B选项分解不彻底，$x^2-4$仍可继续分解，错误；
C选项误用完全平方公式，$(x-2)^2=x^2-4x+4 ≠ x^2-4$，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 平方差公式分解因式
3. 因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的规范步骤，解题时需注意“一提二套三查”，即先提公因式、再套用合适的乘法公式、最后检查是否分解彻底，避免出现分解不彻底、公式混用的问题。
【难度系数】
0.8

2. 把多项式$4a^2(a-b)+(b-a)$分解因式，结果为().

A.$(a-b)(4a^2+1)$
B.$(b-a)(4a^2+1)$
C.$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
D.$(a-b)(4a^2-1)$

C

【分析】
解决这道因式分解题要遵循常规解题思路：第一步先找公因式，观察式子可发现$(a-b)$和$(b-a)$互为相反数，将$(b-a)$转化为$-(a-b)$后即可得到公因式$(a-b)$，先提取公因式；第二步检查提取公因式后剩下的多项式是否还能继续分解，发现剩下的$4a^2-1$符合平方差公式的结构，再用平方差公式分解到每个因式都不能再分解，即可得到最终结果。
【解析】
解：$4a^2(a-b)+(b-a)$
$=4a^2(a-b)-(a-b)$（将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，统一公因式）
$=(a-b)(4a^2-1)$（提取公因式$(a-b)$）
$=(a-b)[(2a)^2-1^2]$（将$4a^2$变形为$(2a)^2$，匹配平方差公式结构）
$=(a-b)(2a+1)(2a-1)$（运用平方差公式完成分解）
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的规范操作，易错点有两个：一是处理互为相反数的因式时容易弄错符号，二是因式分解不彻底，提取公因式后未继续分解$4a^2-1$，解题时要避开这两类常见错误。
【难度系数】
0.7

3. 分解因式：$3x^2 -27 =$ .

解：
$3x^2 - 27$
$=3(x^2 - 9)$
$=3(x + 3)(x - 3)$

【分析】
拿到分解因式的题目，首先观察多项式各项是否存在公因式：本题中$3x^2$与$-27$的公因式为$3$，因此第一步先提取公因式$3$，得到$3(x^2 - 9)$；接下来观察括号内的多项式$x^2 - 9$，它符合平方差公式“两个数的平方差”的结构特征，因此可以利用平方差公式继续分解，最后确认所有因式都无法再分解即可。
【解析】
解：
$3x^2 - 27$
$=3(x^2 - 9)$
$=3(x + 3)(x - 3)$
【答案】
$3(x+3)(x-3)$
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础常规题，按照“先提公因式，后用公式”的基本步骤求解即可，需注意最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.85

4.分解因式:$3ay^2 - 3ax^2 = \underline{\hspace{10cm}}.$

$\boldsymbol{3a(y+x)(y-x)}$

【分析】
分解因式的常规解题顺序为“一提二套三查”：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中两项都含有公因式3a，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的式子，剩余部分为$y^2 - x^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此套用平方差公式继续分解；最后检查是否分解彻底，确保结果中每个因式都不能再分解。
【解析】
解：$3ay^2 - 3ax^2$
$= 3a(y^2 - x^2)$ （提取公因式$3a$）
$= 3a(y+x)(y-x)$ （套用平方差公式分解$y^2 - x^2$）
【答案】
$3a(y+x)(y-x)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，重点考查分解因式的基本步骤，解题时需注意先提取公因式再套用公式，同时要保证最终的分解结果彻底，不存在还能继续分解的因式。
【难度系数】
0.9

5. 将多项式$3a^2 -6a +3$分解因式,结果是().

A.$3a(a-2)+3$
B.$3(a^2 -2a +1)$
C.$3(a-1)(a+1)$
D.$3(a-1)^2$

D

【分析】
要解决这道因式分解选择题，首先明确因式分解的核心要求：最终结果必须是几个整式乘积的形式，且要分解到每个因式都不能再分解为止。解题思路为：第一步先提取多项式中的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的特征，继续分解，最后结合选项判断正误即可。
【解析】
对多项式$3a^2 -6a +3$按步骤分解因式：
1. 提取公因式：观察多项式各项都含有公因式3，提取后可得：
$3a^2 -6a +3 = 3(a^2 - 2a + 1)$
2. 公式法继续分解：观察括号内的多项式$a^2-2a+1$，符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的特征（此处$m=a$，$n=1$），因此可继续分解为：
$a^2-2a+1=(a-1)^2$
综上，原式分解结果为$3(a-1)^2$。
对其余选项逐一排查：
A选项结果为和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，错误；
B选项未分解到最简，剩余多项式还可继续用完全平方公式分解，错误；
C选项误用平方差公式，展开后与原式不相等，错误。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本操作步骤，需牢记“一提二套三查”的分解原则：先提公因式，再套用合适的乘法公式，最后检查是否分解到最简、公式使用是否正确，避免出现分解不彻底、公式混用、结果不是乘积形式等常见错误。
【难度系数】
0.8

6. 把$a^2b - 2ab^2 + b^3$分解因式，结果是（）。

A.$b(a^2 - 2ab + b^2)$
B.$a^2b - b^2$
C.$b(a - b)^2$
D.$(a + b)^2$

C

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题三项都含有公因式$b$，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断其符合完全平方公式的结构特征，可套用公式继续分解；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止，最后对应选项选出答案即可，注意不要仅提取公因式就停止分解，避免误选A。
【解析】
对$a^2b - 2ab^2 + b^3$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式$b$：
$a^2b - 2ab^2 + b^3 = b(a^2 - 2ab + b^2)$
2. 括号内的多项式$a^2 - 2ab + b^2$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，继续分解：
$b(a^2 - 2ab + b^2) = b(a-b)^2$
对比选项，C为正确结果。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，重点检验因式分解的规范步骤，需注意因式分解要彻底，要分解到每个因式都无法继续分解为止。
【难度系数】
0.8

7. 分解因式:$3mx^2 - 6mxy + 3my^2 =$ .

解：
$3mx^2 - 6mxy + 3my^2$
$=3m(x^2 - 2xy + y^2)$
$=3m(x-y)^2$

【分析】
解答因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项都含有公因式3m，因此先提取公因式；提取公因式后得到的式子$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式的结构特征，因此再套用完全平方公式继续分解，最后检查分解是否彻底即可。
【解析】
解：
$3mx^2 - 6mxy + 3my^2$
$=3m(x^2 - 2xy + y^2)$
$=3m(x-y)^2$
【答案】
$3m(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，按照先提公因式再套用公式的顺序解题即可，注意因式分解要保证每个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.8

8. 分解因式:
(1) $(x^2 -4x)^2 -16$;
(2) $(x^2 -2)^2 -4(x^2 -2)+4$.

解：
(1)
$\begin{aligned}(x^2-4x)^2-16&=(x^2-4x)^2-4^2\\&=(x^2-4x+4)(x^2-4x-4)\\&=(x-2)^2(x^2-4x-4)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x^2-2)^2-4(x^2-2)+4&=(x^2-2-2)^2\\&=(x^2-4)^2\\&=[(x+2)(x-2)]^2\\&=(x+2)^2(x-2)^2\end{aligned}$

【分析】
这两道因式分解题都可以用整体思想结合公式法求解：
(1) 先把$x^2-4x$看作一个整体，原式是“平方减平方”的结构，符合平方差公式，先用平方差公式分解；分解后得到的两个因式中，$x^2-4x+4$符合完全平方公式的特征，继续用完全平方公式分解，剩余的$x^2-4x-4$在有理数范围内无法再分解，即可停止。
(2) 先把$x^2-2$看作一个整体，原式符合完全平方差公式“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的特征，先用完全平方差公式分解；分解后得到的$x^2-4$是平方差结构，继续用平方差公式分解，最后根据积的乘方法则整理结果即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(x^2-4x)^2-16&=(x^2-4x)^2-4^2\\&=(x^2-4x+4)(x^2-4x-4)\\&=(x-2)^2(x^2-4x-4)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x^2-2)^2-4(x^2-2)+4&=(x^2-2-2)^2\\&=(x^2-4)^2\\&=[(x+2)(x-2)]^2\\&=(x+2)^2(x-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-2)^2(x^2-4x-4)}$；(2) $\boldsymbol{(x+2)^2(x-2)^2}$
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，因式分解的彻底性
【点评】
本题主要考查公式法因式分解的应用，解题核心是树立整体意识，优先观察式子的整体结构匹配对应公式，同时要牢记因式分解的要求，必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7