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10.若$|a+4|$与$b^2+4b+4$互为相反数,把多项式$(x+a)(x+b)+1$分解因式.
答案
解：
∵ $|a+4|$与$b^2+4b+4$互为相反数，
∴ $|a+4| + b^2 + 4b + 4 = 0$，
即 $|a+4| + (b+2)^2 = 0$。
又∵ $|a+4| ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$，
∴ $a+4=0$，$b+2=0$，
解得 $a=-4$，$b=-2$。
将$a=-4$，$b=-2$代入多项式$(x+a)(x+b)+1$：
$\begin{aligned}原式&=(x-4)(x-2)+1\\&=x^2 - 6x + 8 + 1\\&=x^2 - 6x + 9\\&=(x-3)^2\end{aligned}$
∵ $|a+4|$与$b^2+4b+4$互为相反数，
∴ $|a+4| + b^2 + 4b + 4 = 0$，
即 $|a+4| + (b+2)^2 = 0$。
又∵ $|a+4| ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$，
∴ $a+4=0$，$b+2=0$，
解得 $a=-4$，$b=-2$。
将$a=-4$，$b=-2$代入多项式$(x+a)(x+b)+1$：
$\begin{aligned}原式&=(x-4)(x-2)+1\\&=x^2 - 6x + 8 + 1\\&=x^2 - 6x + 9\\&=(x-3)^2\end{aligned}$
解析
【分析】
解题首先根据“互为相反数的两个数之和为0”列出等式；再将等式中的$b^2+4b+4$变形为完全平方式，结合绝对值和平方数的非负性（两者取值均大于等于0），可推出两个非负项分别为0，进而求出a、b的取值；随后将a、b代入待分解的多项式，先按整式乘法法则展开、合并同类项，最后观察化简后的多项式的特征，用完全平方公式完成因式分解即可。
【解析】
∵ $|a+4|$与$b^2+4b+4$互为相反数，
∴ $|a+4| + b^2 + 4b + 4 = 0$，
即 $|a+4| + (b+2)^2 = 0$。
又
∵ $|a+4| ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$，
∴ $a+4=0$，$b+2=0$，
解得 $a=-4$，$b=-2$。
将$a=-4$，$b=-2$代入多项式$(x+a)(x+b)+1$：
$\begin{aligned}原式&=(x-4)(x-2)+1\\&=x^2 - 6x + 8 + 1\\&=x^2 - 6x + 9\\&=(x-3)^2\end{aligned}$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
非负数的性质，整式乘法运算，完全平方公式因式分解
【点评】
本题综合考查了相反数性质、非负性应用及因式分解相关知识，解题核心是先求出a、b的取值，再对多项式化简后分解，要注意因式分解需分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
解题首先根据“互为相反数的两个数之和为0”列出等式；再将等式中的$b^2+4b+4$变形为完全平方式，结合绝对值和平方数的非负性（两者取值均大于等于0），可推出两个非负项分别为0，进而求出a、b的取值；随后将a、b代入待分解的多项式，先按整式乘法法则展开、合并同类项，最后观察化简后的多项式的特征，用完全平方公式完成因式分解即可。
【解析】
∵ $|a+4|$与$b^2+4b+4$互为相反数，
∴ $|a+4| + b^2 + 4b + 4 = 0$，
即 $|a+4| + (b+2)^2 = 0$。
又
∵ $|a+4| ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$，
∴ $a+4=0$，$b+2=0$，
解得 $a=-4$，$b=-2$。
将$a=-4$，$b=-2$代入多项式$(x+a)(x+b)+1$：
$\begin{aligned}原式&=(x-4)(x-2)+1\\&=x^2 - 6x + 8 + 1\\&=x^2 - 6x + 9\\&=(x-3)^2\end{aligned}$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
非负数的性质，整式乘法运算，完全平方公式因式分解
【点评】
本题综合考查了相反数性质、非负性应用及因式分解相关知识，解题核心是先求出a、b的取值，再对多项式化简后分解，要注意因式分解需分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
11.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$a^2 + b^2 + c^2 - ac - ab - bc = 0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
解：$△ ABC$是等边三角形，理由如下：
将等式$a^2 + b^2 + c^2 - ac - ab - bc = 0$两边同时乘以2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ac - 2ab - 2bc = 0$
分组变形得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
由完全平方公式可得：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$
∵ 任意实数的平方都为非负数，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
即 $a=b$，$b=c$，$a=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
将等式$a^2 + b^2 + c^2 - ac - ab - bc = 0$两边同时乘以2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ac - 2ab - 2bc = 0$
分组变形得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
由完全平方公式可得：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$
∵ 任意实数的平方都为非负数，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
即 $a=b$，$b=c$，$a=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需先推导三边a、b、c的数量关系。观察已知等式，式中包含a²、b²、c²和-ab、-bc、-ac项，符合完全平方展开式的特征，但缺少交叉项的2倍系数，因此可先将等式两边同时乘2，再分组凑成完全平方的形式，结合平方的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0），即可推出三边的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
△ABC是等边三角形，理由如下：
将等式$a^2 + b^2 + c^2 - ac - ab - bc = 0$两边同时乘以2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ac - 2ab - 2bc = 0$
分组变形得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
由完全平方公式因式分解可得：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$
∵ 任意实数的平方都为非负数，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
即 $a=b$，$b=c$，$a=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
△ABC是等边三角形
【知识点】
完全平方公式因式分解；平方的非负性；等边三角形判定
【点评】
本题是因式分解在几何判断中的典型应用，解题核心是通过对已知等式乘2变形，构造出完全平方式，再结合非负数的性质推导边的关系，是代数知识与几何判定结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，需先推导三边a、b、c的数量关系。观察已知等式，式中包含a²、b²、c²和-ab、-bc、-ac项，符合完全平方展开式的特征，但缺少交叉项的2倍系数，因此可先将等式两边同时乘2，再分组凑成完全平方的形式，结合平方的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0），即可推出三边的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
△ABC是等边三角形，理由如下：
将等式$a^2 + b^2 + c^2 - ac - ab - bc = 0$两边同时乘以2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ac - 2ab - 2bc = 0$
分组变形得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
由完全平方公式因式分解可得：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$
∵ 任意实数的平方都为非负数，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
即 $a=b$，$b=c$，$a=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
△ABC是等边三角形
【知识点】
完全平方公式因式分解；平方的非负性；等边三角形判定
【点评】
本题是因式分解在几何判断中的典型应用，解题核心是通过对已知等式乘2变形，构造出完全平方式，再结合非负数的性质推导边的关系，是代数知识与几何判定结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. (运算能力)先阅读材料,再回答问题:
分解因式$(a-b)^2 - 2(a-b)+1$.
解:设$a-b=M$,则$(a-b)^2 -2(a-b)+1 = M^2 -2M+1=(M-1)^2$.
将$M=a-b$代入其中,得原式$=(a-b-1)^2$.
上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想.请你用“整体思想”解答下列问题:
(1)分解因式$(x+y)(x+y-4)+4$;
(2)若$a$为正整数,试说明$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方.
分解因式$(a-b)^2 - 2(a-b)+1$.
解:设$a-b=M$,则$(a-b)^2 -2(a-b)+1 = M^2 -2M+1=(M-1)^2$.
将$M=a-b$代入其中,得原式$=(a-b-1)^2$.
上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想.请你用“整体思想”解答下列问题:
(1)分解因式$(x+y)(x+y-4)+4$;
(2)若$a$为正整数,试说明$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方.
答案
解：
(1) 设$M = x + y$，
则原式$= M(M - 4) + 4$
$= M^2 - 4M + 4$
$= (M - 2)^2$
将$M = x + y$代入其中，得原式$=(x + y - 2)^2$。
(2) 对原式变形：
$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$
$=[(a-1)(a-4)] · [(a-2)(a-3)] + 1$
$=(a^2 - 5a + 4)(a^2 - 5a + 6) + 1$
设$N = a^2 - 5a$，
则原式$=(N + 4)(N + 6) + 1$
$= N^2 + 10N + 24 + 1$
$= N^2 + 10N + 25$
$= (N + 5)^2$
将$N = a^2 - 5a$代入其中，得原式$=(a^2 - 5a + 5)^2$。
因为$a$为正整数，所以$a^2 - 5a + 5$是整数，
因此$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方。
(1) 设$M = x + y$，
则原式$= M(M - 4) + 4$
$= M^2 - 4M + 4$
$= (M - 2)^2$
将$M = x + y$代入其中，得原式$=(x + y - 2)^2$。
(2) 对原式变形：
$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$
$=[(a-1)(a-4)] · [(a-2)(a-3)] + 1$
$=(a^2 - 5a + 4)(a^2 - 5a + 6) + 1$
设$N = a^2 - 5a$，
则原式$=(N + 4)(N + 6) + 1$
$= N^2 + 10N + 24 + 1$
$= N^2 + 10N + 25$
$= (N + 5)^2$
将$N = a^2 - 5a$代入其中，得原式$=(a^2 - 5a + 5)^2$。
因为$a$为正整数，所以$a^2 - 5a + 5$是整数，
因此$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方。
解析
【分析】
本题利用整体换元思想简化复杂多项式的因式分解过程：
(1) 观察第一问的式子，$(x+y)$重复出现，可设$M=x+y$，将原式转化为仅含$M$的整式，展开后符合完全平方公式的结构，分解完成后再将$M$换回$x+y$即可得到结果。
(2) 第二问中四个多项式相乘，首先对其合理分组：将$(a-1)$与$(a-4)$相乘、$(a-2)$与$(a-3)$相乘，两组乘积的二次项和一次项完全相同，将相同的部分$a^2-5a$设为整体$N$，原式转化为仅含$N$的整式，展开后可利用完全平方公式分解，还原$N$后结合$a$为正整数的条件，即可证明原式是整数的平方。
【解析】
(1) 设$M = x + y$，
则原式$= M(M - 4) + 4$
$= M^2 - 4M + 4$
$= (M - 2)^2$
将$M = x + y$代入其中，得原式$=(x + y - 2)^2$。
(2) 对原式变形：
$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$
$=[(a-1)(a-4)] · [(a-2)(a-3)] + 1$
$=(a^2 - 5a + 4)(a^2 - 5a + 6) + 1$
设$N = a^2 - 5a$，
则原式$=(N + 4)(N + 6) + 1$
$= N^2 + 10N + 24 + 1$
$= N^2 + 10N + 25$
$= (N + 5)^2$
将$N = a^2 - 5a$代入其中，得原式$=(a^2 - 5a + 5)^2$。
因为$a$为正整数，所以$a^2 - 5a + 5$是整数，
因此$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+y-2)^2}$
(2) 原式可化为$\boldsymbol{(a^2 - 5a + 5)^2}$，因$a$为正整数，$a^2 - 5a + 5$是整数，故原式为整数的平方
【知识点】
整体换元思想；完全平方公式因式分解；整式乘法运算
【点评】
本题借助阅读材料渗透整体思想，重点考查换元法在多项式变形中的应用，解题的关键是精准定位可作为整体的部分，将复杂式子转化为熟悉的完全平方结构，第二问的分组技巧需要学生具备一定的观察能力，能有效锻炼逻辑思维和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题利用整体换元思想简化复杂多项式的因式分解过程：
(1) 观察第一问的式子，$(x+y)$重复出现，可设$M=x+y$，将原式转化为仅含$M$的整式，展开后符合完全平方公式的结构，分解完成后再将$M$换回$x+y$即可得到结果。
(2) 第二问中四个多项式相乘，首先对其合理分组：将$(a-1)$与$(a-4)$相乘、$(a-2)$与$(a-3)$相乘，两组乘积的二次项和一次项完全相同，将相同的部分$a^2-5a$设为整体$N$，原式转化为仅含$N$的整式，展开后可利用完全平方公式分解，还原$N$后结合$a$为正整数的条件，即可证明原式是整数的平方。
【解析】
(1) 设$M = x + y$，
则原式$= M(M - 4) + 4$
$= M^2 - 4M + 4$
$= (M - 2)^2$
将$M = x + y$代入其中，得原式$=(x + y - 2)^2$。
(2) 对原式变形：
$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$
$=[(a-1)(a-4)] · [(a-2)(a-3)] + 1$
$=(a^2 - 5a + 4)(a^2 - 5a + 6) + 1$
设$N = a^2 - 5a$，
则原式$=(N + 4)(N + 6) + 1$
$= N^2 + 10N + 24 + 1$
$= N^2 + 10N + 25$
$= (N + 5)^2$
将$N = a^2 - 5a$代入其中，得原式$=(a^2 - 5a + 5)^2$。
因为$a$为正整数，所以$a^2 - 5a + 5$是整数，
因此$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+y-2)^2}$
(2) 原式可化为$\boldsymbol{(a^2 - 5a + 5)^2}$，因$a$为正整数，$a^2 - 5a + 5$是整数，故原式为整数的平方
【知识点】
整体换元思想；完全平方公式因式分解；整式乘法运算
【点评】
本题借助阅读材料渗透整体思想，重点考查换元法在多项式变形中的应用，解题的关键是精准定位可作为整体的部分，将复杂式子转化为熟悉的完全平方结构，第二问的分组技巧需要学生具备一定的观察能力，能有效锻炼逻辑思维和运算能力。
【难度系数】
0.6
