12. 若一个数的算术平方根是$2m+5$，且它的平方根是$\pm (m-2)$，求这个数.

解：分类讨论如下：当​$2\ \mathrm {m} + 5 = m - 2$​时，​$m = -7$​此时​$2\ \mathrm {m} + 5 = -9，$​不符合题意，舍去；当​$2\ \mathrm {m} + 5 = -(m - 2)$​时，​$m = -1$​此时​$2\ \mathrm {m} + 5 = 3，$​符合题意又​$9$​的算术平方根为​$3，$​∴这个数为​$9$​

13. 已知有理数$ a $在数轴上对应的位置如图所示，试化简：$\pm\sqrt{(2a + 1)^2} + 2|a - 1|$。

解：由图得​$-\frac 12＜a＜0$​∴​$2a + 1＞0，$​​$a - 1＜0$​即​$\sqrt {(2a + 1)^2}=2a + 1，$​​$|a - 1| = 1 - a$​∴​$\pm \sqrt {(2a + 1)^2}+2|a - 1|$​​$=\pm (2a + 1)+2(1 - a)$​​$=\pm (2a + 1)+2 - 2a$​​$ = 3$​或​$1 - 4a$​

14.（2025·江苏南京期末）若$2x - 4$与$3x - 1$是同一个数的平方根，则这个数是（ ）
A. 4
B. $-3$或1
C. 1或100
D. 4或100

D

15. 若$n$为正整数，且$n^3 + 2n^2$的平方根是奇数，则满足条件的$n$中，最小的两个数之和为$\underline{\hspace{5cm}}$．

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16. 新趋势 情境素材 小明是一位善于思考、勇于创新的同学. 在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根. 比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根. 有一天，小明想：如果存在一个数i，使$i^2 = -1$，那么$(-i)^2 = -1$，因此－1就有两个平方根了. 进一步，小明想：因为$(\pm 2i)^2 = -4$，所以－4的平方根就是$\pm 2i$；因为$(\pm 3i)^2 = -9$，所以－9的平方根就是$\pm 3i$. 请你根据上面的信息，解答下列问题：
（1）求－16，－25的平方根；
（2）求$i^3,i^4,i^5,i^6,i^7,i^8$的值，并将你发现的规律用式子表示出来.

解：​$(1)$​∵​$(\pm 4i)^2 = -16$​∴​$-16$​的平方根是​$\pm 4i$​∵​$(\pm 5i)^2 = -25$​∴​$-25$​的平方根是​$\pm 5i$​​$ (2)$​由题意，得​$i^3 = i^2·i = -i，$​​$i^4=(i^2)^2=(-1)^2 = 1，$​​$i^5 = i^4·i = i，$​​$i^6 = i^5·i = i^2 = -1$​​$i^7 = i^6·i = -i，$​​$i^8 = i^7·i = 1$​规律：​$i^{4n + 1}=i，$​​$i^{4n + 2}=-1，$​​$i^{4n + 3}=-i，$​​$i^{4n + 4}=1(n\geq 0，$​且​$n$​为整数​$)$​