14.先化简,再求值:
(1)$(-x^2 +5x +4)+(5x -4 +2x^2)$,其中$x=-2$;
(2)$3a^2 + (4a^2 -2a -1) -2(3a^2 -a +1)$,其中$a=-\frac{1}{2}$;
(3)$3(ab -5b^2 +2a^2)-(7ab +16a^2 -25b^2)$,其中$|a-1| + (b+1)^2=0$。

(1) $x^2+10x$，$-16$
(2) $a^2-3$，$-\frac{11}{4}$
(3) $-10a^2+10b^2-4ab$，$4$

【分析】
这类整式化简求值题的解题思路分为三步：第一步去括号，注意括号前有系数或负号时，括号内每一项都要乘对应系数，且符号要正确变化；第二步合并同类项，把相同字母且相同次数的项的系数相加减，字母和次数保持不变，得到最简整式；第三步代入数值计算结果。其中第(3)题需要先根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b的取值后再代入计算。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-x^2 +5x +4 +5x -4 +2x^2\\&=(-x^2+2x^2)+(5x+5x)+(4-4)\\&=x^2+10x\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简结果：
$原式=(-2)^2 +10×(-2)=4-20=-16$
(2) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3a^2 +4a^2 -2a -1 -6a^2 +2a -2\\&=(3a^2+4a^2-6a^2)+(-2a+2a)+(-1-2)\\&=a^2-3\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{2}$代入化简结果：
$原式=(-\frac{1}{2})^2 -3=\frac{1}{4}-3=-\frac{11}{4}$
(3) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3ab -15b^2 +6a^2 -7ab -16a^2 +25b^2\\&=(6a^2-16a^2)+(-15b^2+25b^2)+(3ab-7ab)\\&=-10a^2+10b^2-4ab\end{aligned}$
$\because |a-1|≥0, (b+1)^2≥0$，且$|a-1| + (b+1)^2=0$
$\therefore a-1=0, b+1=0$，解得$a=1, b=-1$
将$a=1, b=-1$代入化简结果：
$原式=-10×1^2 +10×(-1)^2 -4×1×(-1)=-10+10+4=4$
【答案】
(1) 化简结果为$x^2+10x$，值为$\boldsymbol{-16}$；
(2) 化简结果为$a^2-3$，值为$\boldsymbol{-\dfrac{11}{4}}$；
(3) 化简结果为$-10a^2+10b^2-4ab$，值为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
整式加减运算，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，重点考查去括号、合并同类项的运算法则，第三题结合了非负性的应用，需要先求出未知字母的值再代入，计算时注意符号问题，熟练掌握基础运算法则即可得分。
【难度系数】
0.7

15.如图所示的是某体育中心游泳馆的设计方案图,半圆形休息区和小长方形游泳区以外的地方都是自由活动区域,各个区域的有关数据如图所示,其中 $m=\frac{2}{3}a$,$n=\frac{1}{2}b$。
(1)游泳区的面积为 ,休息区的面积为 ;(用含$a,b$的代数式表示,含有$π$的保留$π$)
(2)若这个游泳馆的长与宽之间满足 $a=\frac{3}{2}b$,现要求自由活动区域的面积至少占游泳馆总面积的$\frac{7}{12}$,请你通过计算及推理,判断这个设计方案是否符合要求。

15. 解:(1) $\frac{1}{3}ab$ $\frac{1}{32}π b^2$
(2)因为 $a=\frac{3}{2}b$,
所以自由活动区域的面积是
$ab-\frac{1}{3}ab-\frac{1}{32}π b^2$
$=\frac{2}{3}ab-\frac{1}{32}π b^2$
$=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}b× b-\frac{1}{32}π b^2$
$=b^2-\frac{1}{32}π b^2$,
$\frac{7}{12}ab$
$=\frac{7}{12}×\frac{3}{2}b× b$
$=\frac{7}{8}b^2$,
$b^2-\frac{1}{32}π b^2-\frac{7}{8}b^2$
$=\frac{1}{8}b^2-\frac{1}{32}π b^2$
$=\frac{4-π}{32}b^2＞0$,
所以自由活动区域的面积占游泳馆总面积的$\frac{7}{12}$以上，
所以这个设计方案符合要求。

【分析】
（1）先判断游泳区是长方形、休息区是半圆形：游泳区的长为$m$、宽为$n$，结合$m=\frac{2}{3}a$、$n=\frac{1}{2}b$，代入长方形面积公式即可求出游泳区面积；休息区的直径为$n$，先求出半径，再代入半圆面积公式，化简后即可得到用$a,b$表示的休息区面积。
（2）自由活动区域面积=游泳馆总面积-游泳区面积-休息区面积，先写出自由活动面积的代数式，再将$a=\frac{3}{2}b$分别代入自由活动面积和“总面积的$\frac{7}{12}$”的代数式，通过作差法比较两者大小，若自由活动面积≥总面积的$\frac{7}{12}$则符合要求，反之不符合。
【解析】
(1) 游泳区是长方形，长$m=\frac{2}{3}a$，宽$n=\frac{1}{2}b$，则面积为：
$S_{\mathrm{游泳区}}=m· n=\frac{2}{3}a×\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}ab$
休息区是半圆形，直径为$n=\frac{1}{2}b$，则半径$r=\frac{n}{2}=\frac{1}{4}b$，半圆面积为：
$S_{\mathrm{休息区}}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{1}{4}b)^2=\frac{1}{2}π×\frac{1}{16}b^2=\frac{1}{32}π b^2$
(2) 游泳馆总面积为$S_{\mathrm{总}}=ab$，自由活动区域面积为：
$S_{\mathrm{自由}}=S_{\mathrm{总}}-S_{\mathrm{游泳区}}-S_{\mathrm{休息区}}=ab-\frac{1}{3}ab-\frac{1}{32}π b^2=\frac{2}{3}ab-\frac{1}{32}π b^2$
将$a=\frac{3}{2}b$代入上式：
$S_{\mathrm{自由}}=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}b× b-\frac{1}{32}π b^2=b^2-\frac{1}{32}π b^2$
要求自由活动面积至少占总面积的$\frac{7}{12}$，则最低要求面积为：
$\frac{7}{12}S_{\mathrm{总}}=\frac{7}{12}×\frac{3}{2}b× b=\frac{7}{8}b^2$
作差比较大小：
$S_{\mathrm{自由}}-\frac{7}{8}b^2=(b^2-\frac{1}{32}π b^2)-\frac{7}{8}b^2=\frac{1}{8}b^2-\frac{1}{32}π b^2=\frac{4-π}{32}b^2$
∵$4＞π$，$b^2＞0$，
∴$\frac{4-π}{32}b^2＞0$，即$S_{\mathrm{自由}}＞\frac{7}{12}S_{\mathrm{总}}$，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}ab}$；$\boldsymbol{\frac{1}{32}π b^2}$
(2) 这个设计方案符合要求。
【知识点】
长方形面积计算；半圆面积计算；代数式化简与比较
【点评】
本题结合生活实际场景，考查几何图形面积公式的应用和代数式的运算，解题的核心是准确识别各区域的形状、对应边长，正确代入条件化简，通过作差法判断大小即可得出结论，注重对基础运算能力和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.7