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1.使一元二次方程左、右两边相等的
2.我们通过不断缩
小范围来得到一元二次方程的近似解，当某一$x$的值使$ax^2 + bx + c$的值非常接近
未知数的值
叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。2.我们通过不断缩
小范围来得到一元二次方程的近似解，当某一$x$的值使$ax^2 + bx + c$的值非常接近0
时，$x$的值即可看作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的解。答案
1. 未知数的值 2. 0
解析
【分析】
1. 先回忆方程解的通用定义：所有方程的解都是能让方程左右两边相等的未知数的值，一元二次方程的解同样符合这个通用定义，由此可以推出第一空的内容。
2. 第二问结合一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$分析，方程要求等号左侧的代数式等于右侧的0，因此估算近似解时，只要让左侧$ax^2+bx+c$的值尽可能接近0，对应的x就是方程的近似解。
【解析】
1. 根据一元二次方程解的定义，使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，因此第一空填“未知数的值”。
2. 一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$，当某一x的取值使左边代数式$ax^2+bx+c$的值非常接近方程右边的0时，这个x的值就可以看作该一元二次方程的近似解，因此第二空填“0”。
【答案】
1. 未知数的值；2. 0
【知识点】
一元二次方程的解的定义；估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题考查一元二次方程解相关的基础概念，都属于教材中的核心识记内容，熟练掌握相关定义就能快速作答，是基础概念类的常规考查题。
【难度系数】
0.9
1. 先回忆方程解的通用定义：所有方程的解都是能让方程左右两边相等的未知数的值，一元二次方程的解同样符合这个通用定义，由此可以推出第一空的内容。
2. 第二问结合一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$分析，方程要求等号左侧的代数式等于右侧的0，因此估算近似解时，只要让左侧$ax^2+bx+c$的值尽可能接近0，对应的x就是方程的近似解。
【解析】
1. 根据一元二次方程解的定义，使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，因此第一空填“未知数的值”。
2. 一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$，当某一x的取值使左边代数式$ax^2+bx+c$的值非常接近方程右边的0时，这个x的值就可以看作该一元二次方程的近似解，因此第二空填“0”。
【答案】
1. 未知数的值；2. 0
【知识点】
一元二次方程的解的定义；估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题考查一元二次方程解相关的基础概念，都属于教材中的核心识记内容，熟练掌握相关定义就能快速作答，是基础概念类的常规考查题。
【难度系数】
0.9
1.方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的解是(
A.$x=1$
B.$x=-3$
C.$x=3$
D.$x=1$或$x=-3$
D
)。A.$x=1$
B.$x=-3$
C.$x=3$
D.$x=1$或$x=-3$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，解题时可优先观察方程左边的二次三项式是否能因式分解，本题中$x^2+2x-3$可通过十字相乘法分解因式，利用“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理即可快速求出方程的解，也可通过配方法、公式法等常规方法求解，注意不要漏写解。
【解析】
使用因式分解法求解：
对原方程左边的二次三项式十字相乘因式分解，可得：
$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) = 0$
根据乘法的性质，若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，因此可得：
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得：$x_1=-3$，$x_2=1$
即方程的解为$x=1$或$x=-3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础求解方法，熟练掌握因式分解法、公式法等常规解法即可快速得出答案，解题时需注意不要遗漏方程的解。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，解题时可优先观察方程左边的二次三项式是否能因式分解，本题中$x^2+2x-3$可通过十字相乘法分解因式，利用“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理即可快速求出方程的解，也可通过配方法、公式法等常规方法求解，注意不要漏写解。
【解析】
使用因式分解法求解：
对原方程左边的二次三项式十字相乘因式分解，可得：
$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) = 0$
根据乘法的性质，若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，因此可得：
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得：$x_1=-3$，$x_2=1$
即方程的解为$x=1$或$x=-3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础求解方法，熟练掌握因式分解法、公式法等常规解法即可快速得出答案，解题时需注意不要遗漏方程的解。
【难度系数】
0.9
2.已知关于$x$的方程$x^2 - px + q = 0$有一个实数根为0，则$q$的值为(
A.0
B.1
C.2
D.无法求解
A
)。A.0
B.1
C.2
D.无法求解
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。题目已知方程有一个实数根为0，我们可以直接利用根的定义，将x=0代入原方程，根据方程左右两边相等的关系，即可求出q的值，这是解决这类已知方程根求参数问题的常规思路。
【解析】
解：
∵$x=0$是方程$x^2 - px + q = 0$的实数根，
∴将$x=0$代入原方程，等式仍然成立，
代入得：$0^2 - p×0 + q = 0$，
化简计算可得：$q=0$。
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入法求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一核心要点，就能快速求解，是一元二次方程章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
解题思路：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。题目已知方程有一个实数根为0，我们可以直接利用根的定义，将x=0代入原方程，根据方程左右两边相等的关系，即可求出q的值，这是解决这类已知方程根求参数问题的常规思路。
【解析】
解：
∵$x=0$是方程$x^2 - px + q = 0$的实数根，
∴将$x=0$代入原方程，等式仍然成立，
代入得：$0^2 - p×0 + q = 0$，
化简计算可得：$q=0$。
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入法求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一核心要点，就能快速求解，是一元二次方程章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
3.若$x=1$是方程$x^2 - 3kx - 10 = 0$的一个实数根，则$k=$
-3
。答案
3.-3
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解。方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知的根x=1代入原方程，即可得到只含有未知数k的一元一次方程，解该方程就能求出k的取值。
【解析】
解：
∵$x=1$是方程$x^2 - 3kx - 10 = 0$的实数根，
∴将$x=1$代入方程，得：
$1^2 - 3k×1 - 10 = 0$
整理得：$1 - 3k - 10 = 0$
合并同类项：$-3k -9 = 0$
移项得：$-3k = 9$
系数化为1得：$k = -3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程根的概念的应用，解题核心是将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解，计算量小，解题思路直接。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解。方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知的根x=1代入原方程，即可得到只含有未知数k的一元一次方程，解该方程就能求出k的取值。
【解析】
解：
∵$x=1$是方程$x^2 - 3kx - 10 = 0$的实数根，
∴将$x=1$代入方程，得：
$1^2 - 3k×1 - 10 = 0$
整理得：$1 - 3k - 10 = 0$
合并同类项：$-3k -9 = 0$
移项得：$-3k = 9$
系数化为1得：$k = -3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程根的概念的应用，解题核心是将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解，计算量小，解题思路直接。
【难度系数】
0.8
4.根据下表确定方程$x^2 -8x +7.5=0$的一个解a的取值范围是
$1.0＜a＜1.1$
。答案
4.$1.0＜a＜1.1$
解析
【分析】
要确定方程$x^2 -8x +7.5=0$的解的范围，本质是找到使代数式$x^2 -8x +7.5$的值为0的$x$的取值。由于二次函数对应的图象是连续的，当代数式的函数值在两个相邻$x$的取值处一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得代数式的值为0，也就是方程的解，我们只需要观察表格中函数值由正变负对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$x^2 -8x +7.5=0$的解就是使代数式$x^2 -8x +7.5$的值为0的$x$的值：
1. 观察表格数据，当$x=1.0$时，$x^2 -8x +7.5=0.5＞0$；
2. 当$x=1.1$时，$x^2 -8x +7.5=-0.09＜0$；
3. 因为二次函数的图象是连续的曲线，所以在$1.0＜x＜1.1$的范围内，必然存在一个$a$使得$a^2 -8a +7.5=0$，即$a$是方程的解。
【答案】
$1.0＜a＜1.1$
【知识点】
一元二次方程的解，估算方程近似解，二次函数与方程的联系
【点评】
本题考查利用代数式值的变化估算一元二次方程解的范围，解题关键是掌握连续函数在函数值正负变化的区间内存在零点的规律，属于基础类题型，熟练掌握该方法可以快速确定一元二次方程近似解的大致范围。
【难度系数】
0.8
要确定方程$x^2 -8x +7.5=0$的解的范围，本质是找到使代数式$x^2 -8x +7.5$的值为0的$x$的取值。由于二次函数对应的图象是连续的，当代数式的函数值在两个相邻$x$的取值处一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得代数式的值为0，也就是方程的解，我们只需要观察表格中函数值由正变负对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$x^2 -8x +7.5=0$的解就是使代数式$x^2 -8x +7.5$的值为0的$x$的值：
1. 观察表格数据，当$x=1.0$时，$x^2 -8x +7.5=0.5＞0$；
2. 当$x=1.1$时，$x^2 -8x +7.5=-0.09＜0$；
3. 因为二次函数的图象是连续的曲线，所以在$1.0＜x＜1.1$的范围内，必然存在一个$a$使得$a^2 -8a +7.5=0$，即$a$是方程的解。
【答案】
$1.0＜a＜1.1$
【知识点】
一元二次方程的解，估算方程近似解，二次函数与方程的联系
【点评】
本题考查利用代数式值的变化估算一元二次方程解的范围，解题关键是掌握连续函数在函数值正负变化的区间内存在零点的规律，属于基础类题型，熟练掌握该方法可以快速确定一元二次方程近似解的大致范围。
【难度系数】
0.8
5.先填表，再填空：
根据上表可知方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的实数根是
根据上表可知方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的实数根是
$x_1=-1,x_2=3$
。答案
5. 5 0 $-3$ $-4$ $-3$ 0 $x_1=-1,x_2=3$
解析
【分析】
解题分两步完成：第一步是代数式求值，将表格第一行给出的x的各个取值，依次代入代数式$x^2-2x-3$中计算出对应结果，填入表格第二行；第二步根据一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，只需找出表格中使$x^2-2x-3$的值为0的x的取值，即为方程$x^2-2x-3=0$的实数根。
【解析】
1. 计算各x对应的代数式的值：
当$x=-2$时，$x^2-2x-3=(-2)^2-2×(-2)-3=4+4-3=5$；
当$x=-1$时，$x^2-2x-3=(-1)^2-2×(-1)-3=1+2-3=0$；
当$x=0$时，$x^2-2x-3=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=1$时，$x^2-2x-3=1^2-2×1-3=1-2-3=-4$；
当$x=2$时，$x^2-2x-3=2^2-2×2-3=4-4-3=-3$；
当$x=3$时，$x^2-2x-3=3^2-2×3-3=9-6-3=0$；
因此表格第二行从左到右依次填入：5、0、$-3$、$-4$、$-3$、0。
2. 求方程的根：
方程$x^2-2x-3=0$的根是使代数式$x^2-2x-3$的值为0的x的值，结合上述计算结果可知，$x=-1$和$x=3$满足条件，因此方程的实数根为$x_1=-1,x_2=3$。
【答案】
表格依次填：5，0，$-3$，$-4$，$-3$，0；方程的实数根是$\boldsymbol{x_1=-1,x_2=3}$
【知识点】
代数式求值，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题，通过代入计算的方式直观体现一元二次方程根的含义，解题时注意代入负数计算时符号不要出错，即可轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题分两步完成：第一步是代数式求值，将表格第一行给出的x的各个取值，依次代入代数式$x^2-2x-3$中计算出对应结果，填入表格第二行；第二步根据一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，只需找出表格中使$x^2-2x-3$的值为0的x的取值，即为方程$x^2-2x-3=0$的实数根。
【解析】
1. 计算各x对应的代数式的值：
当$x=-2$时，$x^2-2x-3=(-2)^2-2×(-2)-3=4+4-3=5$；
当$x=-1$时，$x^2-2x-3=(-1)^2-2×(-1)-3=1+2-3=0$；
当$x=0$时，$x^2-2x-3=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=1$时，$x^2-2x-3=1^2-2×1-3=1-2-3=-4$；
当$x=2$时，$x^2-2x-3=2^2-2×2-3=4-4-3=-3$；
当$x=3$时，$x^2-2x-3=3^2-2×3-3=9-6-3=0$；
因此表格第二行从左到右依次填入：5、0、$-3$、$-4$、$-3$、0。
2. 求方程的根：
方程$x^2-2x-3=0$的根是使代数式$x^2-2x-3$的值为0的x的值，结合上述计算结果可知，$x=-1$和$x=3$满足条件，因此方程的实数根为$x_1=-1,x_2=3$。
【答案】
表格依次填：5，0，$-3$，$-4$，$-3$，0；方程的实数根是$\boldsymbol{x_1=-1,x_2=3}$
【知识点】
代数式求值，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题，通过代入计算的方式直观体现一元二次方程根的含义，解题时注意代入负数计算时符号不要出错，即可轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6.若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个实数根为$x=1$,则$a+b+c=$
0
。答案
6.0
解析
【分析】
我们可以从一元二次方程根的定义出发思考解题思路：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知x=1是该一元二次方程的实数根，说明把x=1代入原方程时，等式一定成立，代入后整理就能直接得到a+b+c的取值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$中：
左边$=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，
右边$=0$，
因为方程左右两边相等，因此$a+b+c=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根的定义，代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，只需将已知的根代入原方程即可快速得出结果，解题时不需要复杂计算，掌握基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
我们可以从一元二次方程根的定义出发思考解题思路：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知x=1是该一元二次方程的实数根，说明把x=1代入原方程时，等式一定成立，代入后整理就能直接得到a+b+c的取值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$中：
左边$=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，
右边$=0$，
因为方程左右两边相等，因此$a+b+c=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根的定义，代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，只需将已知的根代入原方程即可快速得出结果，解题时不需要复杂计算，掌握基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
7. 判断下列方程后面括号里的数是不是方程的解。
(1) $x^2 +5x -6=0,(1,-6)$；
(2) $x^2 -2\sqrt{3}x +3=0,(\sqrt{3},1)$；
(3) $(2x-1)^2=3,(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2})$。
(1) $x^2 +5x -6=0,(1,-6)$；
(2) $x^2 -2\sqrt{3}x +3=0,(\sqrt{3},1)$；
(3) $(2x-1)^2=3,(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2})$。
答案
7. 解:(1)$1,-6$均为方程的解。
(2)$\sqrt{3}$是方程的解，1不是方程的解。
(3)$\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2}$均为方程的解。
(2)$\sqrt{3}$是方程的解，1不是方程的解。
(3)$\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2}$均为方程的解。
解析
【分析】
要判断给定的数是不是方程的解，核心依据是方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题思路为：将括号内的每个数分别代入对应方程的左边计算结果，再和方程右边的数值比较，若两者相等则该数是方程的解，反之则不是。
【解析】
(1) 把$x=1$代入方程左边：
左边$=1^2 +5×1 -6 =1+5-6=0$，右边$=0$，左边$=$右边，故$1$是方程的解；
把$x=-6$代入方程左边：
左边$=(-6)^2 +5×(-6) -6=36-30-6=0$，右边$=0$，左边$=$右边，故$-6$是方程的解。
(2) 把$x=\sqrt{3}$代入方程左边：
左边$=(\sqrt{3})^2 -2\sqrt{3}×\sqrt{3} +3=3-6+3=0$，右边$=0$，左边$=$右边，故$\sqrt{3}$是方程的解；
把$x=1$代入方程左边：
左边$=1^2 -2\sqrt{3}×1 +3=4-2\sqrt{3}≠0$，左边$≠$右边，故$1$不是方程的解。
(3) 把$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$代入方程左边：
左边$=(2×\frac{1+\sqrt{3}}{2} -1)^2=(1+\sqrt{3} -1)^2=(\sqrt{3})^2=3$，右边$=3$，左边$=$右边，故$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$是方程的解；
把$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$代入方程左边：
左边$=(2×\frac{1-\sqrt{3}}{2} -1)^2=(1-\sqrt{3} -1)^2=(-\sqrt{3})^2=3$，右边$=3$，左边$=$右边，故$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$是方程的解。
【答案】
(1)$1,-6$均为方程的解。
(2)$\sqrt{3}$是方程的解，$1$不是方程的解。
(3)$\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2}$均为方程的解。
【知识点】
方程的解的定义；代入检验法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的检验方法，只需熟练掌握代入求值、对比左右两边是否相等的步骤即可快速求解，是后续解方程时检验结果正误的必备技能。
【难度系数】
0.9
要判断给定的数是不是方程的解，核心依据是方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题思路为：将括号内的每个数分别代入对应方程的左边计算结果，再和方程右边的数值比较，若两者相等则该数是方程的解，反之则不是。
【解析】
(1) 把$x=1$代入方程左边：
左边$=1^2 +5×1 -6 =1+5-6=0$，右边$=0$，左边$=$右边，故$1$是方程的解；
把$x=-6$代入方程左边：
左边$=(-6)^2 +5×(-6) -6=36-30-6=0$，右边$=0$，左边$=$右边，故$-6$是方程的解。
(2) 把$x=\sqrt{3}$代入方程左边：
左边$=(\sqrt{3})^2 -2\sqrt{3}×\sqrt{3} +3=3-6+3=0$，右边$=0$，左边$=$右边，故$\sqrt{3}$是方程的解；
把$x=1$代入方程左边：
左边$=1^2 -2\sqrt{3}×1 +3=4-2\sqrt{3}≠0$，左边$≠$右边，故$1$不是方程的解。
(3) 把$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$代入方程左边：
左边$=(2×\frac{1+\sqrt{3}}{2} -1)^2=(1+\sqrt{3} -1)^2=(\sqrt{3})^2=3$，右边$=3$，左边$=$右边，故$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$是方程的解；
把$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$代入方程左边：
左边$=(2×\frac{1-\sqrt{3}}{2} -1)^2=(1-\sqrt{3} -1)^2=(-\sqrt{3})^2=3$，右边$=3$，左边$=$右边，故$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$是方程的解。
【答案】
(1)$1,-6$均为方程的解。
(2)$\sqrt{3}$是方程的解，$1$不是方程的解。
(3)$\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2}$均为方程的解。
【知识点】
方程的解的定义；代入检验法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的检验方法，只需熟练掌握代入求值、对比左右两边是否相等的步骤即可快速求解，是后续解方程时检验结果正误的必备技能。
【难度系数】
0.9
8.若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 +2x + m^2 -1=0$有一个实数根为0，则$m$的值是（
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$\pm2$
B
）。A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$\pm2$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时需要结合两个条件推导m的值：首先，题目明确是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，这是隐含限制条件；其次，已知x=0是方程的根，将x=0代入方程等式成立，可得到关于m的方程，求解后再结合二次项系数的限制排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-1)x^2 +2x + m^2 -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
又
∵ x=0是方程的实数根，将x=0代入方程得：
$(m-1)×0^2 + 2×0 + m^2 -1 = 0$
化简得$m^2 -1=0$
解得$m=1$或$m=-1$
结合$m≠1$的限制，可得$m=-1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据根的性质解得$m=\pm1$误选C，做题时要注意审题，不要遗漏题目中的隐含限制。
【难度系数】
0.7
解题时需要结合两个条件推导m的值：首先，题目明确是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，这是隐含限制条件；其次，已知x=0是方程的根，将x=0代入方程等式成立，可得到关于m的方程，求解后再结合二次项系数的限制排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-1)x^2 +2x + m^2 -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
又
∵ x=0是方程的实数根，将x=0代入方程得：
$(m-1)×0^2 + 2×0 + m^2 -1 = 0$
化简得$m^2 -1=0$
解得$m=1$或$m=-1$
结合$m≠1$的限制，可得$m=-1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据根的性质解得$m=\pm1$误选C，做题时要注意审题，不要遗漏题目中的隐含限制。
【难度系数】
0.7
9.已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根为-1，则m的值为
-1
。答案
9.$-1$
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知根x=-1代入原方程，就能得到一个仅含未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的取值。
【解析】
解：
∵x=-1是一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根，
∴将x=-1代入原方程，可得：
$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
化简得：$1 - m - 2 = 0$
整理得：$-m -1 = 0$
解得：$m = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路清晰，只要掌握根的性质，代入求值即可完成解答。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根的定义，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知根x=-1代入原方程，就能得到一个仅含未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的取值。
【解析】
解：
∵x=-1是一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根，
∴将x=-1代入原方程，可得：
$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
化简得：$1 - m - 2 = 0$
整理得：$-m -1 = 0$
解得：$m = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路清晰，只要掌握根的性质，代入求值即可完成解答。
【难度系数】
0.9
10.若$m$是方程$2x^2 + 3x -1=0$的实数根，则$4m^2 +6m +2$的值为
4
。答案
10.4
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知m是方程的实根，因此将x=m代入原方程可得到关于m的等式，再观察所求代数式的结构，发现4m²+6m是2m²+3m的2倍，因此可以先求出2m²+3m的值，再整体代入所求代数式计算即可，不需要单独求解m的值，能简化运算。
【解析】
解：
∵m是方程$2x^2 + 3x -1=0$的实数根，
∴将x=m代入方程得：$2m^2 + 3m -1 = 0$，
移项可得：$2m^2 + 3m = 1$，
对所求代数式变形：$4m^2 +6m +2 = 2(2m^2 +3m) +2$，
将$2m^2 +3m =1$代入上式得：
原式$=2×1 +2 =4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题考查代数式求值，解题的关键是利用方程根的定义得到相关式子的值，运用整体代入的思想简化计算，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，是代数求值类的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知m是方程的实根，因此将x=m代入原方程可得到关于m的等式，再观察所求代数式的结构，发现4m²+6m是2m²+3m的2倍，因此可以先求出2m²+3m的值，再整体代入所求代数式计算即可，不需要单独求解m的值，能简化运算。
【解析】
解：
∵m是方程$2x^2 + 3x -1=0$的实数根，
∴将x=m代入方程得：$2m^2 + 3m -1 = 0$，
移项可得：$2m^2 + 3m = 1$，
对所求代数式变形：$4m^2 +6m +2 = 2(2m^2 +3m) +2$，
将$2m^2 +3m =1$代入上式得：
原式$=2×1 +2 =4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题考查代数式求值，解题的关键是利用方程根的定义得到相关式子的值，运用整体代入的思想简化计算，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，是代数求值类的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
11.方程$x^2 - 2x +1=0$的实数根为$x_1=1$，$x_2=1$；方程$x^2 -3x +2=0$的实数根为$x_1=1$，$x_2=2$；方程$x^2 -4x +3=0$的实数根为$x_1=1$，$x_2=3$……根据以上方程特征，请猜想：方程$x^2 -22x +21=0$的实数根为
$x_1=1,x_2=21$
。答案
11.$x_1=1,x_2=21$
解析
【分析】
我们可以从两个思路解题：一是观察已知的3组方程和对应根的特征，找共性规律：已知方程二次项系数均为1，常数项可拆为1和另一个整数的乘积，一次项系数的绝对值等于1与这个整数的和，且每个方程都有一个根为1，另一个根和常数项数值相等；二是直接用九年级所学的十字相乘法因式分解求解目标方程，两种方法都能快速得到结果，还可以互相验证正确性。
【解析】
方法1：归纳规律法
观察已知方程与根的对应关系：
①方程$x^2 - 2x +1=0$，常数项为1，根为$x_1=1,x_2=1$；
②方程$x^2 -3x +2=0$，常数项为2，根为$x_1=1,x_2=2$；
③方程$x^2 -4x +3=0$，常数项为3，根为$x_1=1,x_2=3$；
可归纳规律：形如$x^2-(n+1)x+n=0$的一元二次方程，实数根为$x_1=1,x_2=n$。
待求方程$x^2-22x+21=0$符合上述形式，其中$n=21$，因此根为$x_1=1,x_2=21$。
方法2：因式分解法验证
对$x^2-22x+21$十字相乘因式分解：
$x^2-22x+21=(x-1)(x-21)$
令$(x-1)(x-21)=0$，解得$x_1=1,x_2=21$，和归纳结果一致。
【答案】
$x_1=1,x_2=21$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 规律归纳探究
3. 一元二次方程根的概念
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，既可以通过观察已知条件归纳出结论，也可以直接用一元二次方程的常规解法求解，能有效考查学生的观察归纳能力和基础解方程技能的掌握情况。
【难度系数】
0.8
我们可以从两个思路解题：一是观察已知的3组方程和对应根的特征，找共性规律：已知方程二次项系数均为1，常数项可拆为1和另一个整数的乘积，一次项系数的绝对值等于1与这个整数的和，且每个方程都有一个根为1，另一个根和常数项数值相等；二是直接用九年级所学的十字相乘法因式分解求解目标方程，两种方法都能快速得到结果，还可以互相验证正确性。
【解析】
方法1：归纳规律法
观察已知方程与根的对应关系：
①方程$x^2 - 2x +1=0$，常数项为1，根为$x_1=1,x_2=1$；
②方程$x^2 -3x +2=0$，常数项为2，根为$x_1=1,x_2=2$；
③方程$x^2 -4x +3=0$，常数项为3，根为$x_1=1,x_2=3$；
可归纳规律：形如$x^2-(n+1)x+n=0$的一元二次方程，实数根为$x_1=1,x_2=n$。
待求方程$x^2-22x+21=0$符合上述形式，其中$n=21$，因此根为$x_1=1,x_2=21$。
方法2：因式分解法验证
对$x^2-22x+21$十字相乘因式分解：
$x^2-22x+21=(x-1)(x-21)$
令$(x-1)(x-21)=0$，解得$x_1=1,x_2=21$，和归纳结果一致。
【答案】
$x_1=1,x_2=21$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 规律归纳探究
3. 一元二次方程根的概念
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，既可以通过观察已知条件归纳出结论，也可以直接用一元二次方程的常规解法求解，能有效考查学生的观察归纳能力和基础解方程技能的掌握情况。
【难度系数】
0.8
