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9.已知关于$x$的方程$(m-3)x^{m^2 -7}+(m-2)x+5=0$。
（1）当$m$为何值时，方程是一元二次方程？
（2）当$m$为何值时，方程是一元一次方程？
（1）当$m$为何值时，方程是一元二次方程？
（2）当$m$为何值时，方程是一元一次方程？
答案
9. 解:(1)若方程$(m-3)x^{m^2-7}+(m-2)x+5=0$是一元二次方程，
则$m^2-7=2$且$m-3≠0$，
解得$m=-3$。
故当$m$为$-3$时，方程是一元二次方程。
(2)若方程$(m-3)x^{m^2-7}+(m-2)x+5=0$是一元一次方程，
则$m-3=0$且$m-2≠0$或$m^2-7=0$且$m-2≠0$或$m^2-7=1$且$m-3+m-2≠0$，
解得$m=3$或$m=±\sqrt{7}$或$m=±2\sqrt{2}$。
故当$m=3$或$m=±\sqrt{7}$或$m=±2\sqrt{2}$时，方程是一元一次方程。
则$m^2-7=2$且$m-3≠0$，
解得$m=-3$。
故当$m$为$-3$时，方程是一元二次方程。
(2)若方程$(m-3)x^{m^2-7}+(m-2)x+5=0$是一元一次方程，
则$m-3=0$且$m-2≠0$或$m^2-7=0$且$m-2≠0$或$m^2-7=1$且$m-3+m-2≠0$，
解得$m=3$或$m=±\sqrt{7}$或$m=±2\sqrt{2}$。
故当$m=3$或$m=±\sqrt{7}$或$m=±2\sqrt{2}$时，方程是一元一次方程。
解析
【分析】
（1）要判定方程是一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且二次项系数不为0的整式方程。因此先令x的最高次指数等于2，同时保证二次项系数不为0，联立两个条件求解即可得到m的取值。
（2）要判定方程是一元一次方程，需紧扣一元一次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为1、且一次项系数不为0的整式方程。本题需要分三类情况讨论：①原二次项系数为0，剩余的一次项系数不为0；②原最高次项的指数为1，合并后的一次项系数不为0；③原最高次项的指数为0（即该部分为常数项），剩余的一次项系数不为0，分别对三类情况列式求解，再汇总结果即可。
【解析】
（1）若方程$(m-3)x^{m^2 -7}+(m-2)x+5=0$是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2-7=2 \\ m-3≠0\end{cases}$
解$m^2-7=2$得$m^2=9$，即$m=\pm3$，结合$m≠3$的限制条件，最终得$m=-3$。
（2）若方程是一元一次方程，分三类情况讨论：
情况1：二次项系数为0，剩余一次项系数不为0，即$\begin{cases}m-3=0 \\ m-2≠0\end{cases}$，解得$m=3$；
情况2：最高次项指数为1，且合并后一次项系数不为0，即$\begin{cases}m^2-7=1 \\ (m-3)+(m-2)≠0\end{cases}$，解$m^2=8$得$m=\pm2\sqrt{2}$，代入验证均满足一次项系数不为0的要求，符合条件；
情况3：最高次项指数为0（该部分为常数项），剩余一次项系数不为0，即$\begin{cases}m^2-7=0 \\ m-2≠0\end{cases}$，解$m^2=7$得$m=\pm\sqrt{7}$，均满足$m≠2$的要求，符合条件。
综上，$m$的取值为$3$或$\pm\sqrt{7}$或$\pm2\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$m=-3$；
（2）$m=3$或$m=\pm\sqrt{7}$或$m=\pm2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元一次方程的定义
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查整式方程的定义，易错点是求解含参数问题时容易忽略最高次项系数不为0的限制条件，以及求解一元一次方程时漏记多种可能的情况，解题时需全面梳理所有符合定义的情形，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
（1）要判定方程是一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且二次项系数不为0的整式方程。因此先令x的最高次指数等于2，同时保证二次项系数不为0，联立两个条件求解即可得到m的取值。
（2）要判定方程是一元一次方程，需紧扣一元一次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为1、且一次项系数不为0的整式方程。本题需要分三类情况讨论：①原二次项系数为0，剩余的一次项系数不为0；②原最高次项的指数为1，合并后的一次项系数不为0；③原最高次项的指数为0（即该部分为常数项），剩余的一次项系数不为0，分别对三类情况列式求解，再汇总结果即可。
【解析】
（1）若方程$(m-3)x^{m^2 -7}+(m-2)x+5=0$是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2-7=2 \\ m-3≠0\end{cases}$
解$m^2-7=2$得$m^2=9$，即$m=\pm3$，结合$m≠3$的限制条件，最终得$m=-3$。
（2）若方程是一元一次方程，分三类情况讨论：
情况1：二次项系数为0，剩余一次项系数不为0，即$\begin{cases}m-3=0 \\ m-2≠0\end{cases}$，解得$m=3$；
情况2：最高次项指数为1，且合并后一次项系数不为0，即$\begin{cases}m^2-7=1 \\ (m-3)+(m-2)≠0\end{cases}$，解$m^2=8$得$m=\pm2\sqrt{2}$，代入验证均满足一次项系数不为0的要求，符合条件；
情况3：最高次项指数为0（该部分为常数项），剩余一次项系数不为0，即$\begin{cases}m^2-7=0 \\ m-2≠0\end{cases}$，解$m^2=7$得$m=\pm\sqrt{7}$，均满足$m≠2$的要求，符合条件。
综上，$m$的取值为$3$或$\pm\sqrt{7}$或$\pm2\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$m=-3$；
（2）$m=3$或$m=\pm\sqrt{7}$或$m=\pm2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元一次方程的定义
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查整式方程的定义，易错点是求解含参数问题时容易忽略最高次项系数不为0的限制条件，以及求解一元一次方程时漏记多种可能的情况，解题时需全面梳理所有符合定义的情形，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
10. 根据题意，列出方程并化为一般形式。
(1)一个面积为$120\ \mathrm{m}^2$的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，求苗圃的长。
(2)已知一个直角三角形的三边长为连续偶数，求它的三边长。
(1)一个面积为$120\ \mathrm{m}^2$的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，求苗圃的长。
(2)已知一个直角三角形的三边长为连续偶数，求它的三边长。
答案
10. 解:(1)设苗圃的长为$x$ m,则$x(x-2)=120$,
整理得$x^2-2x-120=0$。
(2)设中间的偶数是$x$,则另外两个偶数分别是$x-2,x+2$,根据勾股定理得$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$,整理得$x^2-8x=0$。
整理得$x^2-2x-120=0$。
(2)设中间的偶数是$x$,则另外两个偶数分别是$x-2,x+2$,根据勾股定理得$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$,整理得$x^2-8x=0$。
解析
【分析】
(1) 本题的等量关系是矩形面积=长×宽。要求长，因此设长为$x$ m，已知长比宽多2 m，可推出宽为$(x-2)$ m，将长、宽、已知面积代入面积公式即可列出方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
(2) 本题的等量关系是直角三角形的勾股定理：两直角边平方和=斜边平方。三边长为连续偶数，相邻偶数差为2，设中间的偶数为$x$，则较短边长为$x-2$，最长边长为$x+2$，直角三角形中斜边最长，因此斜边为$x+2$，将三边代入勾股定理列方程，再整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 设苗圃的长为$x$ m，则宽为$(x-2)$ m，根据矩形面积公式列方程：
$x(x-2)=120$
整理得：$x^2-2x-120=0$。
(2) 设三个连续偶数中间的数为$x$，则另外两个边长分别为$x-2$、$x+2$，斜边为最长边$x+2$，根据勾股定理列方程：
$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$
整理得：$x^2-8x=0$。
【答案】
(1) 方程为$x(x-2)=120$，一般形式为$x^2-2x-120=0$；
(2) 方程为$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$，一般形式为$x^2-8x=0$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式、矩形面积公式、勾股定理
【点评】
本题是基础应用题，重点考查结合几何场景列一元二次方程并化简的能力，解题核心是找准等量关系，合理设置未知数可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
(1) 本题的等量关系是矩形面积=长×宽。要求长，因此设长为$x$ m，已知长比宽多2 m，可推出宽为$(x-2)$ m，将长、宽、已知面积代入面积公式即可列出方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
(2) 本题的等量关系是直角三角形的勾股定理：两直角边平方和=斜边平方。三边长为连续偶数，相邻偶数差为2，设中间的偶数为$x$，则较短边长为$x-2$，最长边长为$x+2$，直角三角形中斜边最长，因此斜边为$x+2$，将三边代入勾股定理列方程，再整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 设苗圃的长为$x$ m，则宽为$(x-2)$ m，根据矩形面积公式列方程：
$x(x-2)=120$
整理得：$x^2-2x-120=0$。
(2) 设三个连续偶数中间的数为$x$，则另外两个边长分别为$x-2$、$x+2$，斜边为最长边$x+2$，根据勾股定理列方程：
$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$
整理得：$x^2-8x=0$。
【答案】
(1) 方程为$x(x-2)=120$，一般形式为$x^2-2x-120=0$；
(2) 方程为$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$，一般形式为$x^2-8x=0$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式、矩形面积公式、勾股定理
【点评】
本题是基础应用题，重点考查结合几何场景列一元二次方程并化简的能力，解题核心是找准等量关系，合理设置未知数可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
11.设a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|a+b+c|=0$，求满足条件的一元二次方程。
答案
11. 解:由$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|a+b+c|=0$,
得$\begin{cases}a-1=0,\\b-2=0,\\a+b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\\c=-3。\end{cases}$
∵$a$是二次项系数,$b$是一次项系数,$c$是常数项,
∴所求的一元二次方程为$x^2+2x-3=0$。
得$\begin{cases}a-1=0,\\b-2=0,\\a+b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\\c=-3。\end{cases}$
∵$a$是二次项系数,$b$是一次项系数,$c$是常数项,
∴所求的一元二次方程为$x^2+2x-3=0$。
解析
【分析】
算术平方根、完全平方数、绝对值都属于非负数，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。我们可以据此列出关于a、b、c的方程组，解出三个系数的值后，再代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，即可得到所求的方程。
【解析】
解：$\because \sqrt{a-1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，$|a+b+c|≥0$，且$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|a+b+c|=0$
$\therefore$ 可列方程组：
$\begin{cases}a-1=0\\b-2=0\\a+b+c=0\end{cases}$
解方程组：
由$a-1=0$得$a=1$；
由$b-2=0$得$b=2$；
将$a=1$、$b=2$代入$a+b+c=0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
$\because$ a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，
$\therefore$ 所求一元二次方程为$x^2+2x-3=0$。
【答案】
$x^2+2x-3=0$
【知识点】
1.非负数的性质
2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础综合题，将非负性的常见应用和一元二次方程的基本概念结合考查，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，明确一元二次方程各系数对应的位置。
【难度系数】
0.8
算术平方根、完全平方数、绝对值都属于非负数，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。我们可以据此列出关于a、b、c的方程组，解出三个系数的值后，再代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，即可得到所求的方程。
【解析】
解：$\because \sqrt{a-1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，$|a+b+c|≥0$，且$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|a+b+c|=0$
$\therefore$ 可列方程组：
$\begin{cases}a-1=0\\b-2=0\\a+b+c=0\end{cases}$
解方程组：
由$a-1=0$得$a=1$；
由$b-2=0$得$b=2$；
将$a=1$、$b=2$代入$a+b+c=0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
$\because$ a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，
$\therefore$ 所求一元二次方程为$x^2+2x-3=0$。
【答案】
$x^2+2x-3=0$
【知识点】
1.非负数的性质
2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础综合题，将非负性的常见应用和一元二次方程的基本概念结合考查，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，明确一元二次方程各系数对应的位置。
【难度系数】
0.8
12.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文（文为古代货币单位）。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为$ x $株，则符合题意的方程是（
A.$ 3(x-1)x=6210 $
B.$ 3(x-1)=6210 $
C.$ (3x-1)x=6210 $
D.$ 3x=6210 $
A
）。A.$ 3(x-1)x=6210 $
B.$ 3(x-1)=6210 $
C.$ (3x-1)x=6210 $
D.$ 3x=6210 $
答案
12.A
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的等量关系：①少拿一株椽时，剩余椽的总运费=1株椽的单价；②总费用=椽的单价×椽的总数量。我们先根据第一个等量关系用含x的式子表示出单株椽的价格，再代入第二个等量关系即可列出对应的方程。
【解析】
设这批椽的数量为$ x $株。
1. 求单株椽的价格：少拿一株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，每株运费3文，此时总运费为$3(x-1)$文，由题意可知该总运费等于1株椽的价格，即单株椽价格为$3(x-1)$文。
2. 结合总费用列方程：已知买椽总费用为6210文，总费用=单价×数量，因此可列方程：$3(x-1) · x = 6210$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 实际问题等量关系分析
【点评】
本题结合我国古代数学著作的内容考查方程的列法，解题关键是读懂题意，准确提炼出核心等量关系，先求出单株椽的价格，再结合总费用列式即可，属于基础题型，注意不要漏读题干条件。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确题目中的等量关系：①少拿一株椽时，剩余椽的总运费=1株椽的单价；②总费用=椽的单价×椽的总数量。我们先根据第一个等量关系用含x的式子表示出单株椽的价格，再代入第二个等量关系即可列出对应的方程。
【解析】
设这批椽的数量为$ x $株。
1. 求单株椽的价格：少拿一株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，每株运费3文，此时总运费为$3(x-1)$文，由题意可知该总运费等于1株椽的价格，即单株椽价格为$3(x-1)$文。
2. 结合总费用列方程：已知买椽总费用为6210文，总费用=单价×数量，因此可列方程：$3(x-1) · x = 6210$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 实际问题等量关系分析
【点评】
本题结合我国古代数学著作的内容考查方程的列法，解题关键是读懂题意，准确提炼出核心等量关系，先求出单株椽的价格，再结合总费用列式即可，属于基础题型，注意不要漏读题干条件。
【难度系数】
0.75
