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12.已知$m$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个实数根，求$m(m + 1)^2 - m^2(m + 3) + 4$的值。
答案
12. 解:$\because m$是方程$x^2 -x -1=0$的一个根，
$\therefore m^2 -m -1=0$，
$\therefore m(m + 1)^2 - m^2 (m + 3) + 4= - m^2 + m + 4=3$。
$\therefore m^2 -m -1=0$，
$\therefore m(m + 1)^2 - m^2 (m + 3) + 4= - m^2 + m + 4=3$。
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式：$m^2 - m = 1$；接下来对所求的整式进行展开、合并同类项化简，将化简后的式子变形为含有$m^2 - m$的形式，最后整体代入$m^2 - m =1$计算即可得到结果，不需要单独求解m的值，可简化计算过程。
【解析】
解：$\because m$是方程$x^2 - x -1 = 0$的一个实数根，
$\therefore$把$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 1 = 0$，即$m^2 - m = 1$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}m(m + 1)^2 - m^2(m + 3) + 4&= m(m^2 + 2m + 1) - (m^3 + 3m^2) + 4\\&= m^3 + 2m^2 + m - m^3 - 3m^2 + 4\\&= -m^2 + m + 4\\&= -(m^2 - m) + 4\end{aligned}$
将$m^2 - m =1$代入上式：
原式$= -1 + 4 = 3$
【答案】3
【知识点】
一元二次方程根的定义；整式化简求值；整体代入求值
【点评】
本题重点考查对一元二次方程根的概念的理解，以及整式混合运算的能力，解题时采用整体代入的思路可避免复杂的求根计算，降低运算量，解题过程中要注意整式展开、合并同类项的运算准确性。
【难度系数】0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式：$m^2 - m = 1$；接下来对所求的整式进行展开、合并同类项化简，将化简后的式子变形为含有$m^2 - m$的形式，最后整体代入$m^2 - m =1$计算即可得到结果，不需要单独求解m的值，可简化计算过程。
【解析】
解：$\because m$是方程$x^2 - x -1 = 0$的一个实数根，
$\therefore$把$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 1 = 0$，即$m^2 - m = 1$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}m(m + 1)^2 - m^2(m + 3) + 4&= m(m^2 + 2m + 1) - (m^3 + 3m^2) + 4\\&= m^3 + 2m^2 + m - m^3 - 3m^2 + 4\\&= -m^2 + m + 4\\&= -(m^2 - m) + 4\end{aligned}$
将$m^2 - m =1$代入上式：
原式$= -1 + 4 = 3$
【答案】3
【知识点】
一元二次方程根的定义；整式化简求值；整体代入求值
【点评】
本题重点考查对一元二次方程根的概念的理解，以及整式混合运算的能力，解题时采用整体代入的思路可避免复杂的求根计算，降低运算量，解题过程中要注意整式展开、合并同类项的运算准确性。
【难度系数】0.7
13.“一块矩形铁片，面积为2 m²，长比宽多2 m，求铁片的长。”小颖在做这道题时，是这样考虑的：设铁片的长为x m，列出方程为$x(x-2)=2$，小颖列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是她的探索过程。
第一步：
所以
所以
(1)请你帮小颖填完表格，完成她未完成的部分；
(2)通过以上探索，可以估计矩形铁片长的整数部分是
第一步：
所以
2
$＜x＜$3
。所以
2.7
$＜x＜$2.8
。(1)请你帮小颖填完表格，完成她未完成的部分；
(2)通过以上探索，可以估计矩形铁片长的整数部分是
2
，十分位上的数是7
。答案
13.(1)1 6 2 3 $-0.44$ $-0.11$ 0.24 0.61 2.7 2.8 (2)2 7
解析
【分析】
本题采用逐步逼近法估算一元二次方程的正根，解题思路如下：①先将所列方程整理为$x^2-2x-2=0$，我们需要找到正实数$x$使得代数式$x^2-2x-2$的值为0；②先代入整数值计算代数式的值，先粗估根的大范围，再缩小到相邻整数区间，使得代数式在这两个整数处的值一负一正，确定$x$的整数范围；③再在得到的整数区间内，代入十分位为不同值的小数计算代数式的值，找到两个相邻的一位小数，使得代数式在这两个数处的值异号，得到$x$更精确的范围，进而确定长的整数部分和十分位数字。
【解析】
(1) 对方程变形得$x(x-2)=2$，即$x^2-2x-2=0$，设$y=x^2-2x-2$：
第一步：先粗估范围，当$x=1$时$x(x-2)=-1＜2$，当$x=6$时$x(x-2)=24＞2$，所以$1＜x＜6$；
再缩小整数范围：当$x=2$时，$y=2^2-2×2-2=-2＜0$，当$x=3$时，$y=3^2-2×3-2=1＞0$，所以$2＜x＜3$；
再计算十分位对应的$y$值：
当$x=2.6$时，$y=2.6^2-2×2.6-2=-0.44$；
当$x=2.7$时，$y=2.7^2-2×2.7-2=-0.11$；
当$x=2.8$时，$y=2.8^2-2×2.8-2=0.24$；
当$x=2.9$时，$y=2.9^2-2×2.9-2=0.61$；
因为$x=2.7$时$y＜0$，$x=2.8$时$y＞0$，所以$2.7＜x＜2.8$。
(2) 由$2.7＜x＜2.8$可知，矩形铁片长的整数部分是2，十分位上的数是7。
【答案】
(1) 1，6；2，3；$-0.44$，$-0.11$，$0.24$，$0.61$；2.7，2.8
(2) 2，7
【知识点】
一元二次方程近似解估算；矩形面积公式
【点评】
本题结合实际矩形面积问题考查一元二次方程近似解的估算方法，需要学生掌握代入求值、根据符号判断根的区间的逐步逼近思路，能有效锻炼学生的估算能力和数学应用意识。
【难度系数】
0.7
本题采用逐步逼近法估算一元二次方程的正根，解题思路如下：①先将所列方程整理为$x^2-2x-2=0$，我们需要找到正实数$x$使得代数式$x^2-2x-2$的值为0；②先代入整数值计算代数式的值，先粗估根的大范围，再缩小到相邻整数区间，使得代数式在这两个整数处的值一负一正，确定$x$的整数范围；③再在得到的整数区间内，代入十分位为不同值的小数计算代数式的值，找到两个相邻的一位小数，使得代数式在这两个数处的值异号，得到$x$更精确的范围，进而确定长的整数部分和十分位数字。
【解析】
(1) 对方程变形得$x(x-2)=2$，即$x^2-2x-2=0$，设$y=x^2-2x-2$：
第一步：先粗估范围，当$x=1$时$x(x-2)=-1＜2$，当$x=6$时$x(x-2)=24＞2$，所以$1＜x＜6$；
再缩小整数范围：当$x=2$时，$y=2^2-2×2-2=-2＜0$，当$x=3$时，$y=3^2-2×3-2=1＞0$，所以$2＜x＜3$；
再计算十分位对应的$y$值：
当$x=2.6$时，$y=2.6^2-2×2.6-2=-0.44$；
当$x=2.7$时，$y=2.7^2-2×2.7-2=-0.11$；
当$x=2.8$时，$y=2.8^2-2×2.8-2=0.24$；
当$x=2.9$时，$y=2.9^2-2×2.9-2=0.61$；
因为$x=2.7$时$y＜0$，$x=2.8$时$y＞0$，所以$2.7＜x＜2.8$。
(2) 由$2.7＜x＜2.8$可知，矩形铁片长的整数部分是2，十分位上的数是7。
【答案】
(1) 1，6；2，3；$-0.44$，$-0.11$，$0.24$，$0.61$；2.7，2.8
(2) 2，7
【知识点】
一元二次方程近似解估算；矩形面积公式
【点评】
本题结合实际矩形面积问题考查一元二次方程近似解的估算方法，需要学生掌握代入求值、根据符号判断根的区间的逐步逼近思路，能有效锻炼学生的估算能力和数学应用意识。
【难度系数】
0.7
14.(2024春·崇川区校级月考)定义:如果关于$x$的方程$a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0(a_1≠0,a_1,b_1,c_1$是常数)与$a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0(a_2≠0,a_2,b_2,c_2$是常数),其中方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_1+a_2=0,b_1=b_2,c_1+c_2=0$,那么这两个方程互为“对称方程”。比如:求方程$2x^2 -3x +1=0$的“对称方程”,这样思考:由方程$2x^2 -3x +1=0$可知,$a_1=2,b_1=-3,c_1=1$,根据$a_1+a_2=0,b_1=b_2,c_1+c_2=0$,求出$a_2,b_2,c_2$,就能确定这个方程的“对称方程”。
请用以上方法解决下面问题:
(1)写出方程$x^2 -4x +3=0$的“对称方程”:
(2)若关于$x$的方程$5x^2 + (m-1)x -n=0$与$-5x^2 -x=1$互为“对称方程”,求$(m+n)^2$的值。
请用以上方法解决下面问题:
(1)写出方程$x^2 -4x +3=0$的“对称方程”:
$-x^2 -4x -3=0$
。(2)若关于$x$的方程$5x^2 + (m-1)x -n=0$与$-5x^2 -x=1$互为“对称方程”,求$(m+n)^2$的值。
答案
14. 解:(1)$-x^2 -4x -3=0$
(2)由$-5x^2 -x=1$，
移项可得$-5x^2 -x -1=0$，
$\because$方程$5x^2 +(m-1)x -n=0$与$-5x^2 -x -1=0$互为对称方程，
$\therefore m-1=-1,-n+(-1)=0$，
解得$m=0,n=-1$，
$\therefore (m+n)^2=(0-1)^2=1$。
(2)由$-5x^2 -x=1$，
移项可得$-5x^2 -x -1=0$，
$\because$方程$5x^2 +(m-1)x -n=0$与$-5x^2 -x -1=0$互为对称方程，
$\therefore m-1=-1,-n+(-1)=0$，
解得$m=0,n=-1$，
$\therefore (m+n)^2=(0-1)^2=1$。
解析
【分析】
（1）解决本题首先要明确“对称方程”的定义：两个一元二次方程的二次项系数互为相反数、一次项系数相等、常数项互为相反数。先找出方程$x^2 -4x +3=0$的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据定义计算出其对称方程的对应系数，即可写出对称方程。
（2）首先需要将方程$-5x^2 -x=1$化为一元二次方程的一般形式，再根据“对称方程”的系数关系列出关于$m$、$n$的等式，求解得到$m$、$n$的值后代入$(m+n)^2$计算即可。
【解析】
（1）对于方程$x^2 -4x +3=0$，其二次项系数$a_1=1$，一次项系数$b_1=-4$，常数项$c_1=3$。
根据“对称方程”的定义：$a_1+a_2=0$，$b_1=b_2$，$c_1+c_2=0$，
可得$a_2=-a_1=-1$，$b_2=b_1=-4$，$c_2=-c_1=-3$，
因此对称方程为$-x^2 -4x -3=0$。
（2）先将方程$-5x^2 -x=1$移项化为一般形式：$-5x^2 -x -1=0$。
已知方程$5x^2 + (m-1)x -n=0$与$-5x^2 -x -1=0$互为“对称方程”，
根据定义可得：
一次项系数相等：$m-1=-1$，解得$m=0$；
常数项和为0：$-n + (-1)=0$，解得$n=-1$。
将$m=0$，$n=-1$代入$(m+n)^2$，得：
$(m+n)^2=(0-1)^2=1$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-x^2 -4x -3=0}$；（2）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
新定义问题、一元二次方程的一般形式、代数式求值
【点评】
本题以新定义“对称方程”为背景，核心考查对新定义的理解和应用能力，解题的关键是准确抓住两个对称方程系数之间的关系，解题时注意要先将方程整理为一般形式再提取对应系数，避免因未化一般式出现系数判断错误。
【难度系数】
0.8
（1）解决本题首先要明确“对称方程”的定义：两个一元二次方程的二次项系数互为相反数、一次项系数相等、常数项互为相反数。先找出方程$x^2 -4x +3=0$的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据定义计算出其对称方程的对应系数，即可写出对称方程。
（2）首先需要将方程$-5x^2 -x=1$化为一元二次方程的一般形式，再根据“对称方程”的系数关系列出关于$m$、$n$的等式，求解得到$m$、$n$的值后代入$(m+n)^2$计算即可。
【解析】
（1）对于方程$x^2 -4x +3=0$，其二次项系数$a_1=1$，一次项系数$b_1=-4$，常数项$c_1=3$。
根据“对称方程”的定义：$a_1+a_2=0$，$b_1=b_2$，$c_1+c_2=0$，
可得$a_2=-a_1=-1$，$b_2=b_1=-4$，$c_2=-c_1=-3$，
因此对称方程为$-x^2 -4x -3=0$。
（2）先将方程$-5x^2 -x=1$移项化为一般形式：$-5x^2 -x -1=0$。
已知方程$5x^2 + (m-1)x -n=0$与$-5x^2 -x -1=0$互为“对称方程”，
根据定义可得：
一次项系数相等：$m-1=-1$，解得$m=0$；
常数项和为0：$-n + (-1)=0$，解得$n=-1$。
将$m=0$，$n=-1$代入$(m+n)^2$，得：
$(m+n)^2=(0-1)^2=1$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-x^2 -4x -3=0}$；（2）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
新定义问题、一元二次方程的一般形式、代数式求值
【点评】
本题以新定义“对称方程”为背景，核心考查对新定义的理解和应用能力，解题的关键是准确抓住两个对称方程系数之间的关系，解题时注意要先将方程整理为一般形式再提取对应系数，避免因未化一般式出现系数判断错误。
【难度系数】
0.8
