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1.一张透明的纸上有一个如图所示的数轴.
折叠纸片,使表示数6的点与表示数-2的点重合.回答下列问题.
(1)表示数9的点与表示数
(2)若这样折叠后,数轴上的A,B两点也重合,且A,B两点之间的距离为10(点A在点B的左侧),求A,B两点所表示的数分别是多少?
折叠纸片,使表示数6的点与表示数-2的点重合.回答下列问题.
(1)表示数9的点与表示数
-5
的点重合.(2)若这样折叠后,数轴上的A,B两点也重合,且A,B两点之间的距离为10(点A在点B的左侧),求A,B两点所表示的数分别是多少?
答案
1. (1) -5
(2) 根据题意,得折痕与数轴的交点表示的数为 2.
所以点 A 表示的数为 $2-\frac{10}{2}=-3$,点 B 表示的数为 $2+\frac{10}{2}=7$.
(2) 根据题意,得折痕与数轴的交点表示的数为 2.
所以点 A 表示的数为 $2-\frac{10}{2}=-3$,点 B 表示的数为 $2+\frac{10}{2}=7$.
解析
【分析】
解决这类数轴折叠问题的核心是先确定折叠的对称中心（即折痕与数轴的交点对应的数）：折叠后重合的两个点关于对称中心对称，两点的中点就是对称中心。首先根据已知重合的数6和-2求出对称中心，再利用“对称的两个点到对称中心的距离相等”的性质分别求解两个问题：第一问设出所求数，根据中点公式列等式计算；第二问先根据两点距离求出两点到对称中心的距离，再结合点的左右位置得到对应数值。
【解析】
首先计算折叠的对称中心对应的数：
因为表示数6的点和表示数-2的点重合，所以对称中心的数值为$\frac{6+(-2)}{2}=2$，即折痕与数轴交于表示数2的点。
(1) 设与表示数9的点重合的点对应的数为$x$，根据对称点的中点为对称中心，可得：
$\frac{9+x}{2}=2$
解得$x=2×2-9=-5$
(2) 已知折叠后A、B两点重合，说明A、B关于表示数2的点对称。
因为A、B两点之间的距离为10，所以两点到对称中心2的距离均为$10÷2=5$。
又因为点A在点B的左侧，所以点A表示的数比2小5，点B表示的数比2大5：
点A：$2-5=-3$
点B：$2+5=7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) 点A表示的数为$\boldsymbol{-3}$，点B表示的数为$\boldsymbol{7}$
【知识点】
数轴的应用、数轴两点距离、轴对称性质
【点评】
本题是数轴与折叠结合的典型基础题，解题关键是准确找到折叠对应的对称中心，灵活运用数轴上中点和两点距离的计算规则，即可快速推导结果。
【难度系数】
0.7
解决这类数轴折叠问题的核心是先确定折叠的对称中心（即折痕与数轴的交点对应的数）：折叠后重合的两个点关于对称中心对称，两点的中点就是对称中心。首先根据已知重合的数6和-2求出对称中心，再利用“对称的两个点到对称中心的距离相等”的性质分别求解两个问题：第一问设出所求数，根据中点公式列等式计算；第二问先根据两点距离求出两点到对称中心的距离，再结合点的左右位置得到对应数值。
【解析】
首先计算折叠的对称中心对应的数：
因为表示数6的点和表示数-2的点重合，所以对称中心的数值为$\frac{6+(-2)}{2}=2$，即折痕与数轴交于表示数2的点。
(1) 设与表示数9的点重合的点对应的数为$x$，根据对称点的中点为对称中心，可得：
$\frac{9+x}{2}=2$
解得$x=2×2-9=-5$
(2) 已知折叠后A、B两点重合，说明A、B关于表示数2的点对称。
因为A、B两点之间的距离为10，所以两点到对称中心2的距离均为$10÷2=5$。
又因为点A在点B的左侧，所以点A表示的数比2小5，点B表示的数比2大5：
点A：$2-5=-3$
点B：$2+5=7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) 点A表示的数为$\boldsymbol{-3}$，点B表示的数为$\boldsymbol{7}$
【知识点】
数轴的应用、数轴两点距离、轴对称性质
【点评】
本题是数轴与折叠结合的典型基础题，解题关键是准确找到折叠对应的对称中心，灵活运用数轴上中点和两点距离的计算规则，即可快速推导结果。
【难度系数】
0.7
2.在一条长方形纸带上画一个数轴，然后剪下长为9个单位长度(从-3到6)的一段纸带，并把这段纸带按
所示的方式折叠，然后在重叠部分的某处竖直剪断得到三段纸带，.若这三段纸带的长度之比为1:1:2，则折痕与数轴的交点在数轴上表示的数可能是多少？
所示的方式折叠，然后在重叠部分的某处竖直剪断得到三段纸带，.若这三段纸带的长度之比为1:1:2，则折痕与数轴的交点在数轴上表示的数可能是多少？答案
2. 解:根据题意,得这三段纸带的长度分别为 $9× \frac{1}{1+1+2}=\frac{9}{4},9× \frac{1}{1+1+2}=\frac{9}{4},9× \frac{2}{1+1+2}=\frac{9}{2}$.
当剪下的从左到右第一段纸带的长度为$\frac{9}{4}$,第二段纸带的长度也为$\frac{9}{4}$时,$-3+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}× \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$,即折痕与数轴的交点在数轴上表示的数为$\frac{3}{8}$.
当剪下的从左到右第一段纸带的长度为$\frac{9}{4}$,第二段纸带的长度为$\frac{9}{2}$时,$-3+\frac{9}{4}+\frac{9}{2}× \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,即折痕与数轴的交点在数轴上表示的数为$\frac{3}{2}$.
当剪下的从左到右第一段纸带的长度为$\frac{9}{2}$,第二段纸带的长度为$\frac{9}{4}$时,$-3+\frac{9}{2}+\frac{9}{4}× \frac{1}{2}=\frac{21}{8}$,即折痕与数轴的交点在数轴上表示的数为$\frac{21}{8}$.
综上所述,折痕与数轴的交点在数轴上表示的数可能是$\frac{3}{8}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{21}{8}$.
当剪下的从左到右第一段纸带的长度为$\frac{9}{4}$,第二段纸带的长度也为$\frac{9}{4}$时,$-3+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}× \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$,即折痕与数轴的交点在数轴上表示的数为$\frac{3}{8}$.
当剪下的从左到右第一段纸带的长度为$\frac{9}{4}$,第二段纸带的长度为$\frac{9}{2}$时,$-3+\frac{9}{4}+\frac{9}{2}× \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,即折痕与数轴的交点在数轴上表示的数为$\frac{3}{2}$.
当剪下的从左到右第一段纸带的长度为$\frac{9}{2}$,第二段纸带的长度为$\frac{9}{4}$时,$-3+\frac{9}{2}+\frac{9}{4}× \frac{1}{2}=\frac{21}{8}$,即折痕与数轴的交点在数轴上表示的数为$\frac{21}{8}$.
综上所述,折痕与数轴的交点在数轴上表示的数可能是$\frac{3}{8}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{21}{8}$.
解析
【分析】
解题时首先根据总长度和三段的长度比计算出各段的具体长度；折叠后剪断能得到两段长度相等的纸带，说明较短的两段是重叠区域剪开得到的，较长的段为非重叠区域，因此需要分三种情况讨论三段长度从左到右的排列顺序；每种情况下折痕是重叠部分的中点，结合数轴起点为-3，依次累加第一段长度、重叠部分长度的一半即可得到折痕对应的数，最后汇总所有可能结果。
【解析】
解：已知纸带总长为9个单位，三段长度比为1:1:2，因此三段长度分别为：
$9× \frac{1}{1+1+2}=\frac{9}{4}$，$9× \frac{1}{1+1+2}=\frac{9}{4}$，$9× \frac{2}{1+1+2}=\frac{9}{2}$。
分三种情况讨论：
① 从左到右三段长度依次为$\frac{9}{4}$、$\frac{9}{4}$、$\frac{9}{2}$：
此时重叠部分长度为$\frac{9}{4}$，折痕为重叠部分的中点，折痕对应的数为：
$-3+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$；
② 从左到右三段长度依次为$\frac{9}{4}$、$\frac{9}{2}$、$\frac{9}{4}$：
此时重叠部分长度为$\frac{9}{2}$，折痕为重叠部分的中点，折痕对应的数为：
$-3+\frac{9}{4}+\frac{9}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
③ 从左到右三段长度依次为$\frac{9}{2}$、$\frac{9}{4}$、$\frac{9}{4}$：
此时重叠部分长度为$\frac{9}{4}$，折痕为重叠部分的中点，折痕对应的数为：
$-3+\frac{9}{2}+\frac{9}{4}×\frac{1}{2}=\frac{21}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{21}{8}$
【知识点】
数轴的应用；分类讨论；折叠的性质
【点评】
本题结合操作类场景考查数轴和折叠的相关知识，核心是理清折叠后剪断得到的等长纸带与重叠区域的关系，解题时要注意全面考虑三段长度的不同排列情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
解题时首先根据总长度和三段的长度比计算出各段的具体长度；折叠后剪断能得到两段长度相等的纸带，说明较短的两段是重叠区域剪开得到的，较长的段为非重叠区域，因此需要分三种情况讨论三段长度从左到右的排列顺序；每种情况下折痕是重叠部分的中点，结合数轴起点为-3，依次累加第一段长度、重叠部分长度的一半即可得到折痕对应的数，最后汇总所有可能结果。
【解析】
解：已知纸带总长为9个单位，三段长度比为1:1:2，因此三段长度分别为：
$9× \frac{1}{1+1+2}=\frac{9}{4}$，$9× \frac{1}{1+1+2}=\frac{9}{4}$，$9× \frac{2}{1+1+2}=\frac{9}{2}$。
分三种情况讨论：
① 从左到右三段长度依次为$\frac{9}{4}$、$\frac{9}{4}$、$\frac{9}{2}$：
此时重叠部分长度为$\frac{9}{4}$，折痕为重叠部分的中点，折痕对应的数为：
$-3+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$；
② 从左到右三段长度依次为$\frac{9}{4}$、$\frac{9}{2}$、$\frac{9}{4}$：
此时重叠部分长度为$\frac{9}{2}$，折痕为重叠部分的中点，折痕对应的数为：
$-3+\frac{9}{4}+\frac{9}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
③ 从左到右三段长度依次为$\frac{9}{2}$、$\frac{9}{4}$、$\frac{9}{4}$：
此时重叠部分长度为$\frac{9}{4}$，折痕为重叠部分的中点，折痕对应的数为：
$-3+\frac{9}{2}+\frac{9}{4}×\frac{1}{2}=\frac{21}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{21}{8}$
【知识点】
数轴的应用；分类讨论；折叠的性质
【点评】
本题结合操作类场景考查数轴和折叠的相关知识，核心是理清折叠后剪断得到的等长纸带与重叠区域的关系，解题时要注意全面考虑三段长度的不同排列情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
3. 在数轴上,点$P$表示的数是$a$,点$P'$表示的数是$\frac{1}{1-a}$,我们称点$P'$是点$P$的“相关点”.已知数轴上点$A_1$的相关点为$A_2$,点$A_2$的相关点为$A_3$,点$A_3$的相关点为$A_4$……,这样依次得到点$A_1,A_2,A_3,A_4,···,A_n$.若点$A_1$在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$,则点$A_{2026}$在数轴上表示的数是
$\frac{1}{2}$
.答案
3. $\frac{1}{2}$ 解析 因为点$A_1$在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$,所以点$A_2$在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$,点$A_3$在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-2}=-1$,点$A_4$在数轴上表示的数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$,点$A_5$在数轴上表示的数是2,点$A_6$在数轴上表示的数是-1……,由此可得,从$A_1$开始,各点表示的数以$\frac{1}{2},2,-1$为循环节重复出现.因为2 026÷3=675……1,所以点$A_{2026}$在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先要读懂“相关点”的定义，明确已知点求相关点的运算规则。第一步先根据$A_1$表示的数，依次计算出$A_2、A_3、A_4······$的数值，观察结果的重复规律，确定循环周期；第二步用总项数2026除以循环周期，根据余数判断$A_{2026}$对应的数值，余数是几就对应循环节里的第几个数，没有余数就对应循环节最后一个数。
【解析】
已知点$A_1$在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$，根据“相关点”的定义计算：
$A_2$表示的数：$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$
$A_3$表示的数：$\frac{1}{1-2}=-1$
$A_4$表示的数：$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$
$A_5$表示的数：$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$
……
可以发现，从$A_1$开始，各点表示的数以$\frac{1}{2}、2、-1$为一个循环节重复出现，周期为3。
计算$2026÷3=675······1$，即2026除以3余数为1，对应循环节的第1个数。
因此点$A_{2026}$在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数计算
【点评】
本题是新定义类的规律探究题，解题核心是先准确理解新运算规则，通过计算前几项找到循环周期，再结合周期规律求解对应项，只要计算细心、能准确找到周期就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂“相关点”的定义，明确已知点求相关点的运算规则。第一步先根据$A_1$表示的数，依次计算出$A_2、A_3、A_4······$的数值，观察结果的重复规律，确定循环周期；第二步用总项数2026除以循环周期，根据余数判断$A_{2026}$对应的数值，余数是几就对应循环节里的第几个数，没有余数就对应循环节最后一个数。
【解析】
已知点$A_1$在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$，根据“相关点”的定义计算：
$A_2$表示的数：$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$
$A_3$表示的数：$\frac{1}{1-2}=-1$
$A_4$表示的数：$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$
$A_5$表示的数：$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$
……
可以发现，从$A_1$开始，各点表示的数以$\frac{1}{2}、2、-1$为一个循环节重复出现，周期为3。
计算$2026÷3=675······1$，即2026除以3余数为1，对应循环节的第1个数。
因此点$A_{2026}$在数轴上表示的数是$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数计算
【点评】
本题是新定义类的规律探究题，解题核心是先准确理解新运算规则，通过计算前几项找到循环周期，再结合周期规律求解对应项，只要计算细心、能准确找到周期就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,点 A 在数轴上表示的数为 2,且点 A 做以下移动:第 1 次点 A 向左移动 2 个单位长度至点 $A_1$,第 2 次从点 $A_1$ 向右移动 4 个单位长度至点 $A_2$,第 3 次从点 $A_2$ 向左移动 6 个单位长度至点 $A_3$,第 4 次从点 $A_3$ 向右移动 8 个单位长度至点 $A_4$……,按照这种移动方式进行下去.
(1) 点 $A_6$ 表示的数是
(2) 点 $A_{2025}$ 表示的数是
(1) 点 $A_6$ 表示的数是
8
;(2) 点 $A_{2025}$ 表示的数是
-2024
.答案
4. (1) 8 (2) -2 024 启发与线索 序号为奇数的点在点 A 的左侧,点 A 左侧的各点(从右至左)所表示的数依次减少 2,序号为偶数的点在点 A 的右侧,点 A 右侧的各点(从左至右)所表示的数依次增加 2,据此解答.
解析
【分析】
我们先根据移动规则计算出前几次移动后点对应的数，观察发现规律：序号为偶数的点在初始点A的右侧，且每多两次向右移动，数值增加2；序号为奇数的点在初始点A的左侧，且每多两次向左移动，数值减少2。我们分奇偶两种情况总结通用公式，再分别代入n=6和n=2025计算即可。
【解析】
已知初始点A表示的数为2，按照移动规则计算前几次的点：
第1次向左移2个单位：$A_1 = 2 - 2 = 0$
第2次向右移4个单位：$A_2 = 0 + 4 = 4$
第3次向左移6个单位：$A_3 = 4 - 6 = -2$
第4次向右移8个单位：$A_4 = -2 + 8 = 6$
第5次向左移10个单位：$A_5 = 6 - 10 = -4$
第6次向右移12个单位：$A_6 = -4 + 12 = 8$
总结规律：
① 当n为偶数时，设$n=2k$（k为正整数）：
观察得$A_2=2+2×1$，$A_4=2+2×2$，$A_6=2+2×3$，可得$A_{2k}=2+2k$；
② 当n为奇数时，设$n=2k-1$（k为正整数）：
观察得$A_1=2-2×1$，$A_3=2-2×2$，$A_5=2-2×3$，可得$A_{2k-1}=2-2k$。
求$A_{2025}$：2025是奇数，令$2k-1=2025$，解得$k=1013$，代入得：
$A_{2025}=2 - 2×1013 = -2024$
【答案】
(1) 8；(2) -2024
【知识点】
数轴动点问题，数字规律探究，有理数加减运算
【点评】
本题属于数轴结合规律探究的典型题型，解题核心是先通过计算前几个特殊值，分奇偶类别梳理出通用规律，再代入对应序号求解，解题时要注意区分移动方向和移动距离的对应关系，避免规律总结错误。
【难度系数】
0.6
我们先根据移动规则计算出前几次移动后点对应的数，观察发现规律：序号为偶数的点在初始点A的右侧，且每多两次向右移动，数值增加2；序号为奇数的点在初始点A的左侧，且每多两次向左移动，数值减少2。我们分奇偶两种情况总结通用公式，再分别代入n=6和n=2025计算即可。
【解析】
已知初始点A表示的数为2，按照移动规则计算前几次的点：
第1次向左移2个单位：$A_1 = 2 - 2 = 0$
第2次向右移4个单位：$A_2 = 0 + 4 = 4$
第3次向左移6个单位：$A_3 = 4 - 6 = -2$
第4次向右移8个单位：$A_4 = -2 + 8 = 6$
第5次向左移10个单位：$A_5 = 6 - 10 = -4$
第6次向右移12个单位：$A_6 = -4 + 12 = 8$
总结规律：
① 当n为偶数时，设$n=2k$（k为正整数）：
观察得$A_2=2+2×1$，$A_4=2+2×2$，$A_6=2+2×3$，可得$A_{2k}=2+2k$；
② 当n为奇数时，设$n=2k-1$（k为正整数）：
观察得$A_1=2-2×1$，$A_3=2-2×2$，$A_5=2-2×3$，可得$A_{2k-1}=2-2k$。
求$A_{2025}$：2025是奇数，令$2k-1=2025$，解得$k=1013$，代入得：
$A_{2025}=2 - 2×1013 = -2024$
【答案】
(1) 8；(2) -2024
【知识点】
数轴动点问题，数字规律探究，有理数加减运算
【点评】
本题属于数轴结合规律探究的典型题型，解题核心是先通过计算前几个特殊值，分奇偶类别梳理出通用规律，再代入对应序号求解，解题时要注意区分移动方向和移动距离的对应关系，避免规律总结错误。
【难度系数】
0.6
