例1 如图1-3-14，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，O既是AC的中点，又是EF的中点。
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若$OA=\frac{1}{2}BD$，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由。
思路提示 (1)根据已知条件及图形，可证明△BOE≌△DOF（ASA）。(2)根据△BOE≌△DOF可得BO=DO，加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。
尝试解答

(1) 略
(2) 矩形，理由略.

变式训练1 (2025·东营中考)如图1-3-15，O是$△ ABC$的边AC的中点，连接BO并延长至点D，使$OD=BO$，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是().

A.$AB=BC$
B.$∠ ABC=90°$
C.$∠ ABD=∠ ACD$
D.$OB=OC$

A

例2 如图1-3-16,在$△ ABC$中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线$MN // BC$.设MN交$∠ ACB$的平分线于点E,交$∠ ACB$的外角平分线于点F,连接AF.
(1)求证:$OE=OF$;
(2)若$CE=12,CF=5$,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.
思路提示 (1)由平行线及角平分线的性质证角相等,再由等角对等边证线段相等,最后等量代换得出$OE=OF$.(2)先判断$△ ECF$为直角三角形,再由勾股定理求EF,最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求OC.(3)先由对角线互相平分得四边形AECF是平行四边形,再由$∠ ECF=90°$证得$□ AECF$为矩形.

图1-3-16
尝试解答
小结反思 对于此类综合题目,要仔细审题,充分利用题干中的已知条件来解答.

(1) 略
(2) $\frac{13}{2}$
(3) 当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,理由略.