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1. 下列图象中，当$ab＞0$时，函数$y=ax^2$与$y=ax+b$的图象可能是（
D
）答案
D
2. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过 $ A(2,0) $，$ B(3n-4,y_1) $，$ C(5n+6,y_2) $ 三点，对称轴是直线 $ x=1 $。关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = x $ 有两个相等的实数根。
(1) 抛物线对应的函数表达式为
(2) 若 $ n ＜ -5 $，试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小；
(3) 若 $ B,C $ 两点在直线 $ x=1 $ 的两侧，且 $ y_1 ＞ y_2 $，求 $ n $ 的取值范围。
(1) 抛物线对应的函数表达式为
$y=-\frac{1}{2}x^2+x$
；(2) 若 $ n ＜ -5 $，试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小；
(3) 若 $ B,C $ 两点在直线 $ x=1 $ 的两侧，且 $ y_1 ＞ y_2 $，求 $ n $ 的取值范围。
答案
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x$
(2) $\because n＜-5,\therefore 3n-4＜-19,5n+6＜-19.$
$\therefore$ 点 B,点 C 在直线 $x=1$ 的左侧.
$\because -\frac{1}{2}＜0,\therefore$ 当 $x＜1$ 时,y 随 x 的增大而增大.
$\because (3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)＞0,$
$\therefore 3n-4＞5n+6.\therefore y_1＞y_2.$
(3) 当点 B 在直线 $x=1$ 的左侧,点 C 在直线 $x=1$ 的右侧时,由题意可得$\begin{cases}3n-4＜1,\\5n+6＞1,\\1-(3n-4)＜5n+6-1,\end{cases}$ $\therefore 0＜n＜\frac{5}{3}.$
当点 C 在直线 $x=1$ 的左侧,点 B 在直线 $x=1$ 的右侧时,由题意可得$\begin{cases}3n-4＞1,\\5n+6＜1,\\3n-4-1＜1-(5n+6),\end{cases}$ 不等式组无解.
综上所述,$0＜n＜\frac{5}{3}.$
(2) $\because n＜-5,\therefore 3n-4＜-19,5n+6＜-19.$
$\therefore$ 点 B,点 C 在直线 $x=1$ 的左侧.
$\because -\frac{1}{2}＜0,\therefore$ 当 $x＜1$ 时,y 随 x 的增大而增大.
$\because (3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)＞0,$
$\therefore 3n-4＞5n+6.\therefore y_1＞y_2.$
(3) 当点 B 在直线 $x=1$ 的左侧,点 C 在直线 $x=1$ 的右侧时,由题意可得$\begin{cases}3n-4＜1,\\5n+6＞1,\\1-(3n-4)＜5n+6-1,\end{cases}$ $\therefore 0＜n＜\frac{5}{3}.$
当点 C 在直线 $x=1$ 的左侧,点 B 在直线 $x=1$ 的右侧时,由题意可得$\begin{cases}3n-4＞1,\\5n+6＜1,\\3n-4-1＜1-(5n+6),\end{cases}$ 不等式组无解.
综上所述,$0＜n＜\frac{5}{3}.$
3. [2026菏泽期末] 在平面直角坐标系中，将抛物线$L_1: y=ax^2+2ax+c(a,c为常数,且a＜0)$沿x轴向右平移7个单位得到抛物线$L_2$，点$A(m, y_1), B(m+2, y_2)$均在抛物线$L_2$上，且位于抛物线$L_2$对称轴的两侧. 若$y_1 ＜ y_2$，则m的取值范围为
$4＜m＜5$
.答案
$4＜m＜5$
【点拨】$\because$ 抛物线 $L_1$ 的表达式为 $y=ax^2+2ax+c,\therefore$ 抛物线 $L_1$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{2a}{2a}=-1.\because$ 将抛物线 $L_1:y=ax^2+2ax+c(a,c$ 为常数,且 $a＜0)$ 沿 $x$ 轴向右平移 7 个单位得到抛物线 $L_2,\therefore$ 抛物线 $L_2$ 的对称轴为直线 $x=-1+7=6$,且开口向下. $\therefore$ 抛物线 $L_2$ 图象上的点离直线 $x=6$ 越远,函数值越小. $\because$ 点 $A(m, y_1),B(m+2, y_2)$ 均在抛物线 $L_2$ 上,且位于抛物线 $L_2$ 对称轴的两侧,$y_1＜y_2$,
$\therefore\begin{cases}m＜6,\\m+2＞6,\\6-m＞m+2-6,\end{cases}$ $\therefore 4＜m＜5.$
【点拨】$\because$ 抛物线 $L_1$ 的表达式为 $y=ax^2+2ax+c,\therefore$ 抛物线 $L_1$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{2a}{2a}=-1.\because$ 将抛物线 $L_1:y=ax^2+2ax+c(a,c$ 为常数,且 $a＜0)$ 沿 $x$ 轴向右平移 7 个单位得到抛物线 $L_2,\therefore$ 抛物线 $L_2$ 的对称轴为直线 $x=-1+7=6$,且开口向下. $\therefore$ 抛物线 $L_2$ 图象上的点离直线 $x=6$ 越远,函数值越小. $\because$ 点 $A(m, y_1),B(m+2, y_2)$ 均在抛物线 $L_2$ 上,且位于抛物线 $L_2$ 对称轴的两侧,$y_1＜y_2$,
$\therefore\begin{cases}m＜6,\\m+2＞6,\\6-m＞m+2-6,\end{cases}$ $\therefore 4＜m＜5.$
4. 已知抛物线$y=ax^2 -2ax -8(a≠0)$经过点$(-2,0)$.
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)直线$l$交抛物线于点$A(-4,m),B(n,7),n$为正数.若点$P$在抛物线上且在直线$l$的下方($P$不与点$A,B$重合),分别求出点$P$的横坐标与纵坐标的取值范围.
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)直线$l$交抛物线于点$A(-4,m),B(n,7),n$为正数.若点$P$在抛物线上且在直线$l$的下方($P$不与点$A,B$重合),分别求出点$P$的横坐标与纵坐标的取值范围.
答案
(1)把点$(-2,0)$的坐标代入$y=ax^2-2ax-8$,得$0=4a+4a-8$,解得$a=1$.
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为 $y=x^2-2x-8$.
$\because y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,-9)$.
(2)把点$A(-4,m)$的坐标代入$y=x^2-2x-8$,得$m=(-4)^2-2×(-4)-8=16$,$\therefore A(-4,16)$.
把点$B(n,7)$的坐标代入$y=x^2-2x-8$,得$7=n^2-2n-8$,解得$n=5$或$n=-3$.
$\because n$ 为正数,$\therefore n=5. \therefore B(5,7)$.
由(1)知抛物线开口向上,顶点坐标为$(1,-9)$,
$\therefore$ 易知抛物线的顶点在直线 $l$ 下方.
$\therefore -4＜x_P＜5,-9≤ y_P＜16.$
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为 $y=x^2-2x-8$.
$\because y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,-9)$.
(2)把点$A(-4,m)$的坐标代入$y=x^2-2x-8$,得$m=(-4)^2-2×(-4)-8=16$,$\therefore A(-4,16)$.
把点$B(n,7)$的坐标代入$y=x^2-2x-8$,得$7=n^2-2n-8$,解得$n=5$或$n=-3$.
$\because n$ 为正数,$\therefore n=5. \therefore B(5,7)$.
由(1)知抛物线开口向上,顶点坐标为$(1,-9)$,
$\therefore$ 易知抛物线的顶点在直线 $l$ 下方.
$\therefore -4＜x_P＜5,-9≤ y_P＜16.$
