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5. 2025·山东 新题型·存在性探究题 已知二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$，其中 $a,b$ 为两个不相等的实数.
(1)当 $a=0,b=3$ 时，求此函数图象的对称轴；
(2)当 $b=2a$ 时，若该函数在 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；在 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；
(3)若点 $A(a,y_1),B(\dfrac{a+b}{2},y_2),C(b,y_3)$ 均在该函数的图象上，是否存在常数 $m$，使得 $y_1+my_2+y_3=0$？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由.
(1)当 $a=0,b=3$ 时，求此函数图象的对称轴；
(2)当 $b=2a$ 时，若该函数在 $0≤ x≤1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；在 $3≤ x≤4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；
(3)若点 $A(a,y_1),B(\dfrac{a+b}{2},y_2),C(b,y_3)$ 均在该函数的图象上，是否存在常数 $m$，使得 $y_1+my_2+y_3=0$？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由.
答案
(1)当 $a=0,b=3$ 时,二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$ 可化为 $y=3x^2-6x$,
$\therefore$ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6}{2×3}=1$.
(2)当 $b=2a$ 时,二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$ 可化为 $y=3x^2-6ax+2a^2$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴为 $x=-\frac{-6a}{2×3}=a$.
$\because 3＞0,\therefore$ 抛物线开口方向向上.
$\because$ 在 $0≤ x≤1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore a≥1$.
$\because$ 在 $3≤ x≤4$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore a≤3. \therefore 1≤ a≤3$.
(3)存在. $\because$ 点 $A(a,y_1),B(\frac{a+b}{2},y_2),C(b,y_3)$ 均在该函数的图象上,
$\therefore y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$.
$\because y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$,
$\therefore y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)(\frac{a+b}{2})+ab=3×\frac{(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=-\frac{(a+b)^2}{4}+ab=-\frac{1}{4}a^2-\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2+ab=-\frac{1}{4}a^2+\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2=-\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)=-\frac{1}{4}(a-b)^2$,
$y_3=3b^2-2(a+b)b+ab=b^2-ab$.
$\because y_1+my_2+y_3=0$,
$\therefore a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$, 整理得$(a-b)^2[1-\frac{1}{4}m]=0$.
$\because a,b$ 为两个不相等的实数,$\therefore a-b≠0$.
$\therefore 1-\frac{1}{4}m=0$,解得 $m=4$.
$\therefore$ 此函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{-6}{2×3}=1$.
(2)当 $b=2a$ 时,二次函数 $y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$ 可化为 $y=3x^2-6ax+2a^2$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴为 $x=-\frac{-6a}{2×3}=a$.
$\because 3＞0,\therefore$ 抛物线开口方向向上.
$\because$ 在 $0≤ x≤1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore a≥1$.
$\because$ 在 $3≤ x≤4$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore a≤3. \therefore 1≤ a≤3$.
(3)存在. $\because$ 点 $A(a,y_1),B(\frac{a+b}{2},y_2),C(b,y_3)$ 均在该函数的图象上,
$\therefore y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$.
$\because y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$,
$\therefore y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)(\frac{a+b}{2})+ab=3×\frac{(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=-\frac{(a+b)^2}{4}+ab=-\frac{1}{4}a^2-\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2+ab=-\frac{1}{4}a^2+\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2=-\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)=-\frac{1}{4}(a-b)^2$,
$y_3=3b^2-2(a+b)b+ab=b^2-ab$.
$\because y_1+my_2+y_3=0$,
$\therefore a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$, 整理得$(a-b)^2[1-\frac{1}{4}m]=0$.
$\because a,b$ 为两个不相等的实数,$\therefore a-b≠0$.
$\therefore 1-\frac{1}{4}m=0$,解得 $m=4$.
6. [2025 福建] 在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象过点$A(1,t),B(2,t).$
(1)求$\frac{b}{a}$的值；
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2.$
①求该二次函数的表达式；
②若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，且$m≠0$，求证：$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}.$
(1)求$\frac{b}{a}$的值；
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2.$
①求该二次函数的表达式；
②若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，且$m≠0$，求证：$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}.$
答案
(1)二次函数 $y=ax^2+bx-2$ 的图象的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}$.
$\because$ 点 $A(1,t),B(2,t)$ 在该函数的图象上,
$\therefore 2-(-\frac{b}{2a})=-\frac{b}{2a}-1$,解得 $\frac{b}{a}=-3$.
(2)①由(1)可得 $b=-3a$,
$\therefore$ 该函数的表达式为 $y=ax^2-3ax-2$,
函数图象的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$.
$\because$ 函数的最大值为 $1-\frac{3}{4}a^2$,
$\therefore a＜0$,且 $-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$,
解得 $a=-1$,或 $a=4$(舍去).
$\therefore$ 该二次函数的表达式为 $y=-x^2+3x-2$.
②【证明】$\because$ 点 $M(x_1,m)$ 在函数 $y=-x^2+3x-2$ 的图象上,
$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$.
由①知,点 $M(x_1,m),N(x_2,m)$ 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称,不妨设 $x_1＜x_2$,
则 $x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$,即 $x_1+x_2=3$. $\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1-2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$.
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
$\because$ 点 $A(1,t),B(2,t)$ 在该函数的图象上,
$\therefore 2-(-\frac{b}{2a})=-\frac{b}{2a}-1$,解得 $\frac{b}{a}=-3$.
(2)①由(1)可得 $b=-3a$,
$\therefore$ 该函数的表达式为 $y=ax^2-3ax-2$,
函数图象的顶点坐标为 $(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$.
$\because$ 函数的最大值为 $1-\frac{3}{4}a^2$,
$\therefore a＜0$,且 $-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$,
解得 $a=-1$,或 $a=4$(舍去).
$\therefore$ 该二次函数的表达式为 $y=-x^2+3x-2$.
②【证明】$\because$ 点 $M(x_1,m)$ 在函数 $y=-x^2+3x-2$ 的图象上,
$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2$.
由①知,点 $M(x_1,m),N(x_2,m)$ 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称,不妨设 $x_1＜x_2$,
则 $x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$,即 $x_1+x_2=3$. $\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1-2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1^2-3x_1+2)(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1+x_2-3)}{m(x_1-2)}=0$.
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
