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1.下列命题中,是真命题的是 （
A.一个二元一次方程有无数个解
B.相等的角是对顶角
C.过一点,有且只有一条直线与已知直线平行
D.同旁内角互补
A
）A.一个二元一次方程有无数个解
B.相等的角是对顶角
C.过一点,有且只有一条直线与已知直线平行
D.同旁内角互补
答案
A
解析
【分析】
要判断真命题，需逐个分析每个选项对应的知识点，结合概念、定理的内容及成立的前提条件判断正误，正确的命题即为真命题。首先回忆二元一次方程解的定义、对顶角的性质、平行公理、平行线的性质相关内容，依次排查四个选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 二元一次方程含有两个未知数，对于任意一个未知数的取值，都能求出另一个未知数的对应取值，因此一个二元一次方程有无数个解，该命题是真命题；
B. 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角也相等，但它们不是对顶角，该命题是假命题；
C. 只有“过直线外一点”，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法画出与已知直线平行的直线，该命题缺少前提条件，是假命题；
D. 只有当两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，若两条直线不平行，同旁内角不互补，该命题缺少前提条件，是假命题。
综上，只有A是真命题。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；平行公理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，考查对常见数学定理、定义的掌握程度，解题时要特别注意定理成立的限定条件，避免因遗漏前提导致判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断真命题，需逐个分析每个选项对应的知识点，结合概念、定理的内容及成立的前提条件判断正误，正确的命题即为真命题。首先回忆二元一次方程解的定义、对顶角的性质、平行公理、平行线的性质相关内容，依次排查四个选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 二元一次方程含有两个未知数，对于任意一个未知数的取值，都能求出另一个未知数的对应取值，因此一个二元一次方程有无数个解，该命题是真命题；
B. 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角也相等，但它们不是对顶角，该命题是假命题；
C. 只有“过直线外一点”，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法画出与已知直线平行的直线，该命题缺少前提条件，是假命题；
D. 只有当两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，若两条直线不平行，同旁内角不互补，该命题缺少前提条件，是假命题。
综上，只有A是真命题。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；平行公理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，考查对常见数学定理、定义的掌握程度，解题时要特别注意定理成立的限定条件，避免因遗漏前提导致判断失误。
【难度系数】
0.8
2.如果a是x的一个平方根，那么x的算术平方根是 （
A.a
B.−a
C.|a|
D.±a
C
）A.a
B.−a
C.|a|
D.±a
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根和算术平方根的概念差异：一个正数有两个互为相反数的平方根，而算术平方根是其中非负的那一个。首先根据“a是x的一个平方根”得出x与a的关系，再结合算术平方根的非负性判断结果。首先排除D选项，因为算术平方根只有一个非负值，不可能是±a；A、B选项分别只对应a为正、a为负的情况，不全面，因此需要用绝对值表示非负的结果。
【解析】
解：①根据平方根的定义，若a是x的一个平方根，则$x=a^2$。
②根据算术平方根的定义，非负数x的算术平方根是其非负的平方根，因此x的算术平方根为$\sqrt{x}=\sqrt{a^2}$。
③根据绝对值的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，且$|a|$恒为非负数，符合算术平方根的非负要求。
因此x的算术平方根是$|a|$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义、算术平方根的定义、绝对值的性质
【点评】
本题属于易混概念题，核心考查平方根与算术平方根的区别，解题关键是牢记算术平方根的非负性，避免忽略a可能为负的情况错选A。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确平方根和算术平方根的概念差异：一个正数有两个互为相反数的平方根，而算术平方根是其中非负的那一个。首先根据“a是x的一个平方根”得出x与a的关系，再结合算术平方根的非负性判断结果。首先排除D选项，因为算术平方根只有一个非负值，不可能是±a；A、B选项分别只对应a为正、a为负的情况，不全面，因此需要用绝对值表示非负的结果。
【解析】
解：①根据平方根的定义，若a是x的一个平方根，则$x=a^2$。
②根据算术平方根的定义，非负数x的算术平方根是其非负的平方根，因此x的算术平方根为$\sqrt{x}=\sqrt{a^2}$。
③根据绝对值的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，且$|a|$恒为非负数，符合算术平方根的非负要求。
因此x的算术平方根是$|a|$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义、算术平方根的定义、绝对值的性质
【点评】
本题属于易混概念题，核心考查平方根与算术平方根的区别，解题关键是牢记算术平方根的非负性，避免忽略a可能为负的情况错选A。
【难度系数】
0.7
3.下列说法正确的是 （
A.任何正数都有平方根
B.任何有理数都有平方根
C.$(-2)^2$ 的平方根是 $-2$
D.$|-4|$ 的平方根是 $2$
A
）A.任何正数都有平方根
B.任何有理数都有平方根
C.$(-2)^2$ 的平方根是 $-2$
D.$|-4|$ 的平方根是 $2$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根。接下来逐个分析选项，对于含有运算的选项，先计算出式子的结果，再结合平方根的性质判断对错即可。
【解析】
根据平方根的性质逐一判断：
A. 正数属于非负数，所有正数都有两个互为相反数的平方根，该说法正确；
B. 有理数包含负有理数，负数没有平方根，因此不是所有有理数都有平方根，该说法错误；
C. 先计算$(-2)^2=4$，4的平方根是$\pm2$，不只有$-2$，该说法错误；
D. 先计算$|-4|=4$，4的平方根是$\pm2$，不只有$2$，该说法错误。
综上，正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质、绝对值运算、乘方运算
【点评】
本题主要考查平方根的相关概念，易错点是容易忽略正数有两个平方根，以及混淆平方根和算术平方根的区别，做题时遇到含运算的选项要先化简再判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根。接下来逐个分析选项，对于含有运算的选项，先计算出式子的结果，再结合平方根的性质判断对错即可。
【解析】
根据平方根的性质逐一判断：
A. 正数属于非负数，所有正数都有两个互为相反数的平方根，该说法正确；
B. 有理数包含负有理数，负数没有平方根，因此不是所有有理数都有平方根，该说法错误；
C. 先计算$(-2)^2=4$，4的平方根是$\pm2$，不只有$-2$，该说法错误；
D. 先计算$|-4|=4$，4的平方根是$\pm2$，不只有$2$，该说法错误。
综上，正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质、绝对值运算、乘方运算
【点评】
本题主要考查平方根的相关概念，易错点是容易忽略正数有两个平方根，以及混淆平方根和算术平方根的区别，做题时遇到含运算的选项要先化简再判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
4.已知$43^2=1849,44^2=1936,45^2=2025,46^2=2116$.若$n$为整数且$n＜\sqrt{2024}＜n+1$,则$n$的值为（
A.43
B.44
C.45
D.46
B
）A.43
B.44
C.45
D.46
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，核心是确定$\sqrt{2024}$的取值范围。我们知道对于正实数，若$a^2 ＜ b ＜ c^2$（$a、c$为连续正整数，$c=a+1$），则$a ＜ \sqrt{b} ＜ c$。题目已给出43到46的平方值，只需找到2024介于哪两个连续整数的平方之间，就能确定$\sqrt{2024}$的相邻整数范围，进而求出$n$的值。
【解析】
解：已知$44^2=1936$，$45^2=2025$，
比较大小可得：$1936 ＜ 2024 ＜ 2025$，
即$44^2 ＜ 2024 ＜ 45^2$，
对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{44^2} ＜ \sqrt{2024} ＜ \sqrt{45^2}$，
化简得：$44 ＜ \sqrt{2024} ＜ 45$，
结合$n$为整数且$n ＜ \sqrt{2024} ＜ n+1$的条件，可得$n=44$。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 实数大小比较
3. 平方与开方的互逆关系
【点评】
本题属于基础题型，考查算术平方根的估算能力，解题关键是利用已知的平方数快速定位被开方数的范围，熟练掌握平方和开平方的互逆运算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决本题，核心是确定$\sqrt{2024}$的取值范围。我们知道对于正实数，若$a^2 ＜ b ＜ c^2$（$a、c$为连续正整数，$c=a+1$），则$a ＜ \sqrt{b} ＜ c$。题目已给出43到46的平方值，只需找到2024介于哪两个连续整数的平方之间，就能确定$\sqrt{2024}$的相邻整数范围，进而求出$n$的值。
【解析】
解：已知$44^2=1936$，$45^2=2025$，
比较大小可得：$1936 ＜ 2024 ＜ 2025$，
即$44^2 ＜ 2024 ＜ 45^2$，
对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{44^2} ＜ \sqrt{2024} ＜ \sqrt{45^2}$，
化简得：$44 ＜ \sqrt{2024} ＜ 45$，
结合$n$为整数且$n ＜ \sqrt{2024} ＜ n+1$的条件，可得$n=44$。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 实数大小比较
3. 平方与开方的互逆关系
【点评】
本题属于基础题型，考查算术平方根的估算能力，解题关键是利用已知的平方数快速定位被开方数的范围，熟练掌握平方和开平方的互逆运算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
1. 用“＞”或“＜”连接下面各式：
(1)$\sqrt{5}$
(1)$\sqrt{5}$
＜
$3$;(2)$-\sqrt{35}$ ＞
$-6$.答案
(1)＜ (2)＞
解析
【分析】
要比较带根号的数和有理数的大小，可使用平方法：对于正数，数值越大对应的平方也越大，因此可以通过比较两个数平方的大小判断原数的大小；如果是两个负数比较，要先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而更小。
第一问比较$\sqrt{5}$和3，两个数都是正数，分别平方后比较平方值即可判断大小；第二问比较两个负数$-\sqrt{35}$和$-6$，先比较二者绝对值$\sqrt{35}$和6的大小，再根据负数比较大小的规则就能得出结果。
【解析】
(1) 分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{5})^2=5$，$3^2=9$
因为$5＜9$，且$\sqrt{5}$和$3$都是正数，正数平方越大原数越大，因此$\sqrt{5}＜3$。
(2) 先求两个负数的绝对值：
$\left|-\sqrt{35}\right|=\sqrt{35}$，$\left|-6\right|=6$
分别计算两个绝对值的平方：
$(\sqrt{35})^2=35$，$6^2=36$
因为$35＜36$，所以$\sqrt{35}＜6$
根据“两个负数比较大小，绝对值小的数更大”，可得$-\sqrt{35} ＞ -6$。
【答案】
(1)＜ (2)＞
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质；负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是掌握平方法比较带根号数大小的技巧，以及负数比较大小的规律，熟练运用相关规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较带根号的数和有理数的大小，可使用平方法：对于正数，数值越大对应的平方也越大，因此可以通过比较两个数平方的大小判断原数的大小；如果是两个负数比较，要先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而更小。
第一问比较$\sqrt{5}$和3，两个数都是正数，分别平方后比较平方值即可判断大小；第二问比较两个负数$-\sqrt{35}$和$-6$，先比较二者绝对值$\sqrt{35}$和6的大小，再根据负数比较大小的规则就能得出结果。
【解析】
(1) 分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{5})^2=5$，$3^2=9$
因为$5＜9$，且$\sqrt{5}$和$3$都是正数，正数平方越大原数越大，因此$\sqrt{5}＜3$。
(2) 先求两个负数的绝对值：
$\left|-\sqrt{35}\right|=\sqrt{35}$，$\left|-6\right|=6$
分别计算两个绝对值的平方：
$(\sqrt{35})^2=35$，$6^2=36$
因为$35＜36$，所以$\sqrt{35}＜6$
根据“两个负数比较大小，绝对值小的数更大”，可得$-\sqrt{35} ＞ -6$。
【答案】
(1)＜ (2)＞
【知识点】
实数大小比较；二次根式的性质；负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是掌握平方法比较带根号数大小的技巧，以及负数比较大小的规律，熟练运用相关规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为
$1-\sqrt{3}$
。答案
$1-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先根据正方形的面积求出正方形的边长；再观察作图痕迹，明确点B到点A的距离等于正方形的边长，点A在数轴上表示的数为1；最后结合点B在点A左侧的位置特征，用1减去两点间的距离，即可得到点B表示的数。
【解析】
1. 计算正方形的边长：
设正方形的边长为$a$，已知正方形面积为3，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a^2=3$，因为边长为正数，因此$a=\sqrt{3}$。
2. 确定线段$AB$的长度：
由作图痕迹可知，是以点A（表示数1）为圆心，正方形边长为半径画弧交数轴于点B，因此$AB=\sqrt{3}$。
3. 计算点B表示的数：
点B在点A的左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，因此点B表示的数为$1-\sqrt{3}$。
【答案】
$1-\sqrt{3}$
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，数轴与实数
【点评】
本题结合了几何图形性质和数轴的相关知识，解题核心是先通过面积求出正方形边长，再根据数轴上点的位置关系确定对应数值，解题时需注意区分点在已知点左侧还是右侧，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正方形的面积求出正方形的边长；再观察作图痕迹，明确点B到点A的距离等于正方形的边长，点A在数轴上表示的数为1；最后结合点B在点A左侧的位置特征，用1减去两点间的距离，即可得到点B表示的数。
【解析】
1. 计算正方形的边长：
设正方形的边长为$a$，已知正方形面积为3，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a^2=3$，因为边长为正数，因此$a=\sqrt{3}$。
2. 确定线段$AB$的长度：
由作图痕迹可知，是以点A（表示数1）为圆心，正方形边长为半径画弧交数轴于点B，因此$AB=\sqrt{3}$。
3. 计算点B表示的数：
点B在点A的左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，因此点B表示的数为$1-\sqrt{3}$。
【答案】
$1-\sqrt{3}$
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，数轴与实数
【点评】
本题结合了几何图形性质和数轴的相关知识，解题核心是先通过面积求出正方形边长，再根据数轴上点的位置关系确定对应数值，解题时需注意区分点在已知点左侧还是右侧，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
3.已知$3\sqrt{x-3}+2\sqrt{3-x}=y-4$，则$x=$
3
，$y=$4
。答案
3 4
解析
【分析】
解题时首先要考虑二次根式有意义的隐含条件：被开方数必须是非负数。观察等式左侧的两个二次根式，被开方数$x-3$和$3-x$互为相反数，只有二者同时为0时才能同时满足非负要求，因此先通过这个限制条件求出$x$的值，再将$x$代入原式就能计算出$y$的值。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可列不等式组：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥3$，解第二个不等式得$x≤3$，因此$x$的唯一取值为3，即$x=3$。
将$x=3$代入原式$3\sqrt{x-3}+2\sqrt{3-x}=y-4$，左侧计算得$3×\sqrt{0}+2×\sqrt{0}=0$，因此等式转化为：
$0=y-4$
解得$y=4$。
【答案】
3；4
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题，核心考点是二次根式的隐含限制条件，解题关键是抓住被开方数非负的要求确定$x$的取值，后续代入计算难度很低，掌握二次根式的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要考虑二次根式有意义的隐含条件：被开方数必须是非负数。观察等式左侧的两个二次根式，被开方数$x-3$和$3-x$互为相反数，只有二者同时为0时才能同时满足非负要求，因此先通过这个限制条件求出$x$的值，再将$x$代入原式就能计算出$y$的值。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可列不等式组：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥3$，解第二个不等式得$x≤3$，因此$x$的唯一取值为3，即$x=3$。
将$x=3$代入原式$3\sqrt{x-3}+2\sqrt{3-x}=y-4$，左侧计算得$3×\sqrt{0}+2×\sqrt{0}=0$，因此等式转化为：
$0=y-4$
解得$y=4$。
【答案】
3；4
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题，核心考点是二次根式的隐含限制条件，解题关键是抓住被开方数非负的要求确定$x$的取值，后续代入计算难度很低，掌握二次根式的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.若两个连续整数$x,y$满足$x＜\sqrt{5}+1＜y$，则$x+y$的值是
7
.答案
7
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算无理数$\sqrt{5}$的取值范围：先找到和5相邻的两个完全平方数，利用开平方运算确定$\sqrt{5}$在哪两个连续整数之间；再根据不等式的性质，给$\sqrt{5}$的范围同时加1，得到$\sqrt{5}+1$的取值范围，就能对应找到连续整数$x$、$y$的值，最后计算$x+y$即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{5}$的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$。
2. 推导$\sqrt{5}+1$的范围：
给不等式三边同时加1，可得$2+1 ＜ \sqrt{5}+1 ＜ 3+1$，即$3 ＜ \sqrt{5}+1 ＜ 4$。
3. 确定$x$、$y$的值：
已知$x$、$y$是连续整数，且满足$x＜\sqrt{5}+1＜y$，因此$x=3$，$y=4$。
4. 计算$x+y$：
$x+y=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 不等式的基本性质
【点评】
本题核心是考查无理数的大小估算能力，解题关键是通过相邻完全平方数确定无理数的范围，属于基础常考题型，熟练掌握估算方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要估算无理数$\sqrt{5}$的取值范围：先找到和5相邻的两个完全平方数，利用开平方运算确定$\sqrt{5}$在哪两个连续整数之间；再根据不等式的性质，给$\sqrt{5}$的范围同时加1，得到$\sqrt{5}+1$的取值范围，就能对应找到连续整数$x$、$y$的值，最后计算$x+y$即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{5}$的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$。
2. 推导$\sqrt{5}+1$的范围：
给不等式三边同时加1，可得$2+1 ＜ \sqrt{5}+1 ＜ 3+1$，即$3 ＜ \sqrt{5}+1 ＜ 4$。
3. 确定$x$、$y$的值：
已知$x$、$y$是连续整数，且满足$x＜\sqrt{5}+1＜y$，因此$x=3$，$y=4$。
4. 计算$x+y$：
$x+y=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 不等式的基本性质
【点评】
本题核心是考查无理数的大小估算能力，解题关键是通过相邻完全平方数确定无理数的范围，属于基础常考题型，熟练掌握估算方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
