三、解答题
1.已知$x=1-2a$,$y=3a-4$.
(1)已知$x$的算术平方根为3,求$a$的值;
(2)如果$x$,$y$是同一个正数的两个平方根,求这个正数.

(1)-4 (2)25

【分析】
(1) 解题思路：根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根为3，则这个数等于3的平方，据此可列出关于a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
(2) 解题思路：根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数，即二者相加和为0，将x、y的表达式代入和为0的等式，先求出a的值，再代入求出x（或y）的值，平方后即可得到这个正数。
【解析】
(1) 解：
∵x的算术平方根为3
∴$x = 3^2 = 9$
又
∵$x = 1 - 2a$
∴$1 - 2a = 9$
移项得：$-2a = 9 - 1$
合并同类项得：$-2a = 8$
系数化为1得：$a = -4$
(2) 解：
∵x，y是同一个正数的两个平方根
∴$x + y = 0$
将$x=1-2a$，$y=3a-4$代入得：
$(1 - 2a) + (3a - 4) = 0$
去括号得：$1 - 2a + 3a - 4 = 0$
合并同类项得：$a - 3 = 0$
解得：$a = 3$
将$a=3$代入$x=1-2a$得：$x = 1 - 2×3 = -5$
∴这个正数为$x^2 = (-5)^2 = 25$
【答案】
(1) -4；(2) 25
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 平方根的性质
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于平方根相关的基础题型，重点考查对算术平方根、平方根核心性质的理解与应用，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数、算术平方根的平方等于原数的规律，计算难度低，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

2.已知$\sqrt{35}$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，求$a^2 + b$的值.

$20+\sqrt{35}$

【分析】
要解决这个问题，首先需要确定无理数$\sqrt{35}$的范围，从而得到它的整数部分$a$，再根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$，最后把$a$、$b$代入$a^2+b$计算即可。具体步骤为：第一步找与35相邻的两个完全平方数，用“夹逼法”确定$\sqrt{35}$介于哪两个相邻整数之间；第二步确定$a$、$b$的值；第三步代入代数式化简求值。
【解析】
首先找和35相邻的完全平方数：
$\because 5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜35＜36$
$\therefore \sqrt{25}＜\sqrt{35}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{35}＜6$
由此可得$\sqrt{35}$的整数部分$a=5$，
小数部分$b=\sqrt{35}-a=\sqrt{35}-5$。
将$a=5$，$b=\sqrt{35}-5$代入$a^2+b$得：
$\begin{aligned}a^2+b&=5^2+(\sqrt{35}-5)\\&=25+\sqrt{35}-5\\&=20+\sqrt{35}\end{aligned}$
【答案】
$20+\sqrt{35}$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的概念
【点评】
本题核心是用“夹逼法”估算无理数的范围，进而确定其整数部分和小数部分，解题时注意小数部分的表示方法：小数部分一定是正数，等于原数减去它的整数部分，代入计算时注意去括号的运算规则即可。
【难度系数】
0.8