【旧知激活】(1)已知直线$m:y=k_1x+b_1$，已知直线$n:y=k_2x+b_2$，当$m⊥ n$时，$k_1k_2=-1$。（P32“类型3”练有所得）
(2)如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
【类比探究】在数轴上，点A表示数$a$，点B表示数$b$，则AB的中点C表示的数是$\frac{a+b}{2}$。
【尝试应用】(1)如图，已知$A(1,3),B(3,1),C(1,-1),D(3,-3)$。设线段AC的中点为$M(x_M,y_M)$，则

$x_M=\frac{1+1}{2},y_M=\frac{3+(-1)}{2}$，即$M(1,1)$。同理设AB的中点为$N(x_N,y_N)$，则$x_N=\frac{1+3}{2},y_N=\frac{3+1}{2}$，即$N(2,2)$。
若线段BD和CD的中点$P_1,P_2$，则它们的坐标分别为，。

(1) 线段BD的中点$P_1$坐标为$(3,-1)$，线段CD的中点$P_2$坐标为$(2,-2)$

【分析】
解题前先明确题目给出的平面内两点的中点坐标计算规则：若有两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们连线的中点横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半。解题时首先找准对应线段的两个端点的坐标，再分别代入中点坐标规则计算即可得到中点坐标。
【解析】
首先明确各点坐标：$B(3,1)$，$D(3,-3)$，$C(1,-1)$。
1. 计算线段BD的中点$P_1$的坐标：
横坐标：$\frac{3+3}{2}=3$，纵坐标：$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，故$P_1(3,-1)$。
2. 计算线段CD的中点$P_2$的坐标：
横坐标：$\frac{1+3}{2}=2$，纵坐标：$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，故$P_2(2,-2)$。
【答案】
$(3,-1)$；$(2,-2)$
【知识点】
中点坐标计算；平面直角坐标系坐标识别
【点评】
本题属于信息给予类基础题，解题关键是读懂题目给出的中点坐标计算方法，准确提取对应点的坐标代入计算即可，计算时注意正负号的运算。
【难度系数】
0.8

【探究发现】(2)①从特殊到一般:若线段的两个端点的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，则线段的中点坐标为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$。
②若点$P(-3,7),Q(1,-3)$，用我们发现的结论可以直接得到线段$PQ$的中点坐标为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$。

① 线段中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
② 线段PQ的中点坐标为$(-1,2)$

【分析】
①要推导线段中点坐标公式，可结合平面直角坐标系的坐标意义分析：中点在水平方向上位于两个端点的中间位置，因此横坐标是两个端点横坐标的平均值；竖直方向上同样位于两个端点的中间位置，纵坐标是两个端点纵坐标的平均值，据此就能得出通用的中点坐标公式。②已知两个端点的具体坐标，直接代入①得到的中点坐标公式，分别计算横、纵坐标的平均值即可得到线段PQ的中点坐标。
【解析】
①设线段中点坐标为$(x,y)$，因为中点的横坐标为两端点横坐标的平均数，纵坐标为两端点纵坐标的平均数，因此$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y=\frac{y_1+y_2}{2}$，即线段中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
②将点$P(-3,7)$、$Q(1,-3)$的坐标代入中点坐标公式：
中点横坐标：$\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
中点纵坐标：$\frac{7+(-3)}{2}=\frac{4}{2}=2$
因此线段PQ的中点坐标为$(-1,2)$。
【答案】
①$\boldsymbol{(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})}$；②$\boldsymbol{(-1,2)}$
【知识点】
1. 线段中点坐标公式 2. 坐标运算
【点评】
本题考查线段中点坐标公式的推导与应用，从一般规律总结到具体数值计算，属于基础类题型，只要理解中点坐标是端点对应坐标的平均值，就能准确作答。
【难度系数】
0.9

【拓展探究1】前面我们已经掌握了关于坐标轴对称的两点的坐标变化规律，若把对称轴变为与坐标轴平行的直线呢？
如图，平面直角坐标系中，$A(-2,1)$，$B(-3,4)$，$C(-1,3)$，过点$(1,0)$作$x$轴的垂线$l$.
(1)作出$△ ABC$关于直线$l$的轴对称图形$△ A'B'C'$；
(2)写出点的坐标$A'($$, $$)$，$B'($$, $$)$，$C'($$, $$)$；
(3)在$△ ABC$内有一点$P(m,n)$，点$P'$与点$P$关于直线$l$对称，请用含$m,n$的式子表示点$P'$的坐标$($$, $$)$.

【延伸变式】对称轴变为直线$y=-x$
如图，$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(4,5)$，$B(2,3)$，$C(5,1)$. 画出$△ ABC$关于直线$y=-x$对称的$△ A_1B_1C_1$，并写出点$B$的对应点$B_1$的坐标.
【发现问题】怎么找到$△ ABC$三个顶点的对应点$A_1,B_1,C_1$？

(1) 如图，$△ A'B'C'$为所作图形。
(2) $A'(4,1)$，$B'(5,4)$，$C'(3,3)$
(3) $P'(2-m,n)$

【分析】
首先确定对称轴l的表达式：过(1,0)且垂直于x轴的直线为$x=1$。关于直线$x=a$对称的两个点满足：纵坐标相等，两点横坐标的平均值等于$a$。第一问作图时，先找到A、B、C三点关于直线l的对称点，再顺次连接即可得到对称图形；第二问计算对称点坐标时，利用“纵坐标不变，横坐标到直线$x=1$的距离相等”的规律计算；第三问推导通用坐标时，根据对称点连线的中点在对称轴上列等式求解即可。
【解析】
(1) 直线l的表达式为$x=1$：
作点A的对称点：$A(-2,1)$到$x=1$的水平距离为$1-(-2)=3$，因此对称点$A'$在$x=1$右侧3个单位，横坐标为$1+3=4$，纵坐标不变为1，得$A'(4,1)$；
作点B的对称点：$B(-3,4)$到$x=1$的水平距离为$1-(-3)=4$，因此对称点$B'$横坐标为$1+4=5$，纵坐标为4，得$B'(5,4)$；
作点C的对称点：$C(-1,3)$到$x=1$的水平距离为$1-(-1)=2$，因此对称点$C'$横坐标为$1+2=3$，纵坐标为3，得$C'(3,3)$；
顺次连接$A'、B'、C'$，得到的$△ A'B'C'$即为所求对称图形。
(2) 由上述计算过程，直接得到各对称点坐标。
(3) 设点$P(m,n)$关于直线$x=1$的对称点为$P'(x,n)$，根据对称点连线的中点在对称轴上，可得$\frac{m+x}{2}=1$，解得$x=2-m$，因此$P'$的坐标为$(2-m,n)$。
【答案】
(1) 如图，$△ A'B'C'$为所作图形。
(2) $A'(4,1)$，$B'(5,4)$，$C'(3,3)$
(3) $P'(2-m,n)$
【知识点】
轴对称作图；关于平行于y轴的直线对称的坐标规律
【点评】
本题考查了关于垂直于x轴的直线对称的点的坐标变化规律，解题的关键是理解对称点的纵坐标不变、横坐标到对称轴的距离相等的特征，既可以通过数形结合直观推导，也可通过中点公式计算得到结果。
【难度系数】
0.7

【解决问题】①已知对称轴直线 $ y = -x $，△ABC三个顶点的坐标，根据【旧知激活】能够知道直线 $ AA_1 $ 垂直于直线 $ y = -x $，且解析式为 $ y = x + k $；
②设出点 $ A_1 $ 的坐标为$(m,n)$，根据中点公式表示出中点为；
③该点既在直线 $ y = -x $ 上，也在直线 $ y = x + k $，联立方程求解，能得到 $ A_1 $，同理得到两点，画图。

【反思总结】一般地，点 $ P(x_0,y_0) $ 关于直线 $ y = x $ 的对称点为 $ P'(y_0,x_0) $；关于直线 $ y = -x $ 的对称点为 $ P'(-y_0,-x_0) $。

② 中点坐标为$(\frac{4+m}{2},\frac{5+n}{2})$
③ 如图，$A_1$的坐标为$(-5,-4)$。

【分析】
首先从网格图中确定点A的坐标为(4,5)。求解点A关于直线$y=-x$的对称点$A_1$时，利用对称的两个核心性质：一是两点连线与对称轴垂直，所以直线$AA_1$的斜率为1，解析式可设为$y=x+k$；二是两点连线的中点在对称轴上。要表示$AA_1$的中点，直接使用中点坐标公式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。后续将中点坐标分别代入对称轴和直线$AA_1$的解析式，联立方程即可求出$A_1$的坐标，同理求出B、C的对称点后即可画出对称图形。
【解析】
① 观察网格可得点A的坐标为$(4,5)$。
② 已知点$A(4,5)$，点$A_1$坐标为$(m,n)$，根据中点坐标公式，线段$AA_1$的中点横坐标为$\frac{4+m}{2}$，纵坐标为$\frac{5+n}{2}$，即中点坐标为$( \frac{4+m}{2},\frac{5+n}{2} )$。
③ 首先将$A(4,5)$代入直线$AA_1$的解析式$y=x+k$，得$5=4+k$，解得$k=1$，即直线$AA_1$的解析式为$y=x+1$。
因为$AA_1$的中点在对称轴$y=-x$上，所以代入中点坐标得：$\frac{5+n}{2}=-\frac{4+m}{2}$，化简得$m+n=-9$。
又因为$A_1(m,n)$在直线$y=x+1$上，所以$n=m+1$。
联立方程$\begin{cases}m+n=-9\\n=m+1\end{cases}$，将$n=m+1$代入$m+n=-9$，得$m+m+1=-9$，解得$m=-5$，再代入$n=m+1$得$n=-4$，即$A_1(-5,-4)$。
同理可求得B、C关于直线$y=-x$的对称点$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$即可得到对称后的$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
② 中点坐标为$(\frac{4+m}{2},\frac{5+n}{2})$
③ $A_1$的坐标为$(-5,-4)$。
【知识点】
中点坐标公式，关于直线对称的点的坐标特征，一次函数解析式求解
【点评】
本题考查了平面直角坐标系中图形轴对称变换的坐标求解，既可以通过对称的性质联立方程逐步推导，也可以直接运用关于直线$y=-x$对称的点的坐标规律快速得出结果，能够很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6