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1[2026贵州黔东南州质检]勾股定理神秘且美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图所示摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，图中$∠ BAD = 90°$，四边形$ACFE$是正方形.
(1)请把四边形$ACFD$的面积用含$a,b$的代数式表示出来；
(2)请你用该图证明勾股定理，写出过程.
(1)请把四边形$ACFD$的面积用含$a,b$的代数式表示出来；
(2)请你用该图证明勾股定理，写出过程.
答案
1.【解】(1) 四边形 $ACFD$ 的面积为 $\frac{1}{2}(AC+DF)· CF=\frac{1}{2}(b+b+a)· b=b^2+\frac{ab}{2}$.
(2) 由题意知 $BF = b - a$, $S_{四边形ABED} = S_{△ ABE} + S_{△ ADE} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$. 连接 $BD$, 则 $S_{四边形ABED} = S_{△ ADB} + S_{△ DEB} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$, 所以 $\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$, 所以 $a^2 + b^2 = c^2$.
(2) 由题意知 $BF = b - a$, $S_{四边形ABED} = S_{△ ABE} + S_{△ ADE} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$. 连接 $BD$, 则 $S_{四边形ABED} = S_{△ ADB} + S_{△ DEB} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$, 所以 $\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$, 所以 $a^2 + b^2 = c^2$.
解析
【分析】
(1) 首先判断四边形ACFD的形状：由∠C和∠F都是直角，可得AC平行于DF，因此ACFD是直角梯形，直接套用梯形面积公式（上底+下底）×高÷2即可求解，只需对应找到各边长度代入计算。
(2) 证明勾股定理采用“面积法”：对同一个四边形ABED，用两种不同的拆分方式计算面积，所得结果相等，据此列出等式，化简后即可推导出$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
(1) 由题意得∠C=∠F=90°，$AC// DF$，四边形ACFD为直角梯形。
上底$AC=b$，下底$DF=DE+EF=a+b$，高CF为正方形ACFE的边长，即$CF=b$，代入梯形面积公式：
$S_{四边形ACFD}=\frac{1}{2}(AC+DF)· CF=\frac{1}{2}(b+b+a)· b=b^2+\frac{ab}{2}$。
(2) 由图可知$BF = CF - CB = b - a$。
第一种方式计算四边形ABED的面积：
$S_{四边形ABED} = S_{△ ABE} + S_{△ ADE}$，
其中$S_{△ABE}=\frac{1}{2}b^2$，$S_{△ADE}=\frac{1}{2}ab$，因此$S_{四边形ABED} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$。
连接BD，第二种方式计算四边形ABED的面积：
$S_{四边形ABED} = S_{△ ADB} + S_{△ DEB}$，
其中$S_{△ADB}=\frac{1}{2}c^2$，$S_{△DEB}=\frac{1}{2}a(b - a)$，因此$S_{四边形ABED} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$。
两种方式计算的面积相等，因此：
$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$，
等式两边同乘2，展开化简后可得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
(1) 四边形$ACFD$的面积为$b^2+\frac{ab}{2}$；
(2) 已证得$a^2 + b^2 = c^2$，过程如上。
【知识点】
梯形面积计算，三角形面积计算，面积法证勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，核心考查对图形的面积拆分能力，通过同一图形面积的两种不同表达式建立等量关系，化简后得到结论，体现了数形结合的数学思想，有助于加深对勾股定理推导逻辑的理解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先判断四边形ACFD的形状：由∠C和∠F都是直角，可得AC平行于DF，因此ACFD是直角梯形，直接套用梯形面积公式（上底+下底）×高÷2即可求解，只需对应找到各边长度代入计算。
(2) 证明勾股定理采用“面积法”：对同一个四边形ABED，用两种不同的拆分方式计算面积，所得结果相等，据此列出等式，化简后即可推导出$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
(1) 由题意得∠C=∠F=90°，$AC// DF$，四边形ACFD为直角梯形。
上底$AC=b$，下底$DF=DE+EF=a+b$，高CF为正方形ACFE的边长，即$CF=b$，代入梯形面积公式：
$S_{四边形ACFD}=\frac{1}{2}(AC+DF)· CF=\frac{1}{2}(b+b+a)· b=b^2+\frac{ab}{2}$。
(2) 由图可知$BF = CF - CB = b - a$。
第一种方式计算四边形ABED的面积：
$S_{四边形ABED} = S_{△ ABE} + S_{△ ADE}$，
其中$S_{△ABE}=\frac{1}{2}b^2$，$S_{△ADE}=\frac{1}{2}ab$，因此$S_{四边形ABED} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$。
连接BD，第二种方式计算四边形ABED的面积：
$S_{四边形ABED} = S_{△ ADB} + S_{△ DEB}$，
其中$S_{△ADB}=\frac{1}{2}c^2$，$S_{△DEB}=\frac{1}{2}a(b - a)$，因此$S_{四边形ABED} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$。
两种方式计算的面积相等，因此：
$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$，
等式两边同乘2，展开化简后可得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
(1) 四边形$ACFD$的面积为$b^2+\frac{ab}{2}$；
(2) 已证得$a^2 + b^2 = c^2$，过程如上。
【知识点】
梯形面积计算，三角形面积计算，面积法证勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，核心考查对图形的面积拆分能力，通过同一图形面积的两种不同表达式建立等量关系，化简后得到结论，体现了数形结合的数学思想，有助于加深对勾股定理推导逻辑的理解。
【难度系数】
0.7
2 [2026河南洛阳期末]如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔O的东南方向24 m处有一建筑工地B，若在AB间建一条直水管，则水管的长为
（
A.45 m
B.40 m
C.50 m
D.56 m
（
B
）A.45 m
B.40 m
C.50 m
D.56 m
答案
2. B 【解析】由题意可知 $∠ AOB = 90°$, 所以$AB^2 = OA^2 + OB^2$. 因为 $OA = 32\ \mathrm{m}, OB = 24\ \mathrm{m}$, 所以 $AB = 40\ \mathrm{m}$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先结合方向角的定义判断△AOB的形状：东北方向为北偏东45°，东南方向为南偏东45°，因此OA和OB的夹角为90°，△AOB是直角三角形。已知直角三角形的两条直角边OA、OB的长度，要求斜边AB的长度，可直接运用勾股定理计算，代入数值求解即可得到结果。
【解析】
由方向角的性质可知：OA在东北方向，OB在东南方向，因此$∠ AOB = 45° + 45° = 90°$，即$△ AOB$是直角三角形，$∠ O$为直角。
根据勾股定理可得：$AB^2 = OA^2 + OB^2$。
将$OA = 32\ \mathrm{m}$，$OB = 24\ \mathrm{m}$代入公式：
$AB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$
因此$AB = \sqrt{1600} = 40\ \mathrm{m}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方向角的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何基础应用题，将方向角识别和勾股定理计算两个考点结合，解题关键是先通过方向角判断三角形为直角三角形，再代入勾股定理求解，考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合方向角的定义判断△AOB的形状：东北方向为北偏东45°，东南方向为南偏东45°，因此OA和OB的夹角为90°，△AOB是直角三角形。已知直角三角形的两条直角边OA、OB的长度，要求斜边AB的长度，可直接运用勾股定理计算，代入数值求解即可得到结果。
【解析】
由方向角的性质可知：OA在东北方向，OB在东南方向，因此$∠ AOB = 45° + 45° = 90°$，即$△ AOB$是直角三角形，$∠ O$为直角。
根据勾股定理可得：$AB^2 = OA^2 + OB^2$。
将$OA = 32\ \mathrm{m}$，$OB = 24\ \mathrm{m}$代入公式：
$AB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$
因此$AB = \sqrt{1600} = 40\ \mathrm{m}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方向角的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何基础应用题，将方向角识别和勾股定理计算两个考点结合，解题关键是先通过方向角判断三角形为直角三角形，再代入勾股定理求解，考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
3[2026湖北宜昌调研]如图，一块边长为24米的正方形绿地四周被小路环绕，点B在正方形的边上，且距点C 7米，则居民沿A→C→B的路线到B处比从A沿直线AB直接到B处要多走
6
米.答案
3. 6 【解析】由题意可知 $∠ C = 90°, AC = 24$ 米, $BC = 7$ 米, 所以 $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 24^2 + 7^2 = 625$, 所以 $AB = 25$ 米, 所以 $AC + BC - AB = 7 + 24 - 25 = 6$(米), 即居民沿 $A \to C \to B$ 的路线比从 $A$ 沿直线 $AB$ 直接到 $B$ 处要多走 6 米,故答案为 6.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确两条路线的长度差即为所求。第一步：根据正方形的性质判断△ACB是直角三角形，∠C为直角；第二步：已知两条直角边AC、BC的长度，利用勾股定理求出斜边AB的长度；第三步：计算A→C→B路线的总长度，减去AB的长度即可得到多走的路程。
【解析】
由正方形的性质可得$∠ C=90°$，已知$AC=24$米，$BC=7$米。
在$Rt△ ACB$中，根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$
因此$AB=\sqrt{625}=25$米。
沿$A\to C\to B$的路线总长度为：$AC+BC=24+7=31$米
两条路线的长度差为：$31-25=6$米
【答案】
6
【知识点】
1.勾股定理 2.线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活场景中的基础应用，解题核心是先识别直角三角形，再用勾股定理求出未知边长，最后计算路程差即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确两条路线的长度差即为所求。第一步：根据正方形的性质判断△ACB是直角三角形，∠C为直角；第二步：已知两条直角边AC、BC的长度，利用勾股定理求出斜边AB的长度；第三步：计算A→C→B路线的总长度，减去AB的长度即可得到多走的路程。
【解析】
由正方形的性质可得$∠ C=90°$，已知$AC=24$米，$BC=7$米。
在$Rt△ ACB$中，根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$
因此$AB=\sqrt{625}=25$米。
沿$A\to C\to B$的路线总长度为：$AC+BC=24+7=31$米
两条路线的长度差为：$31-25=6$米
【答案】
6
【知识点】
1.勾股定理 2.线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活场景中的基础应用，解题核心是先识别直角三角形，再用勾股定理求出未知边长，最后计算路程差即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
4[2026陕西西安质检]遛狗时牵绳可以保障他人的安全,维护社区和谐.晚饭后小莉和家人一起出门遛狗,其示意图如图.小莉发现,遛狗时当她身体站直,牵绳的手离地面的高度$AB=1\ \mathrm{m}$时,小狗脖子上的绳到地面的高度$CD=BE=0.3\ \mathrm{m}$,小狗与小莉的距离$BC=ED=2.4\ \mathrm{m}$.求此时牵狗绳$AD$的长(绳子一直是直的).
答案
4.【解】由题意可知 $AE = AB - BE, AB = 1\ \mathrm{m}, BE = 0.3\ \mathrm{m}$, 所以 $AE = 1 - 0.3 = 0.7(\mathrm{m})$. 又因为 $ED = BC = 2.4\ \mathrm{m}$, 且 $∠ AED = 90°$, 所以 $AD^2 = AE^2 + ED^2 = 0.7^2 + 2.4^2 = 6.25$, 所以 $AD = 2.5\ \mathrm{m}$.
答:此时牵狗绳 $AD$ 的长为 $2.5\ \mathrm{m}$.
答:此时牵狗绳 $AD$ 的长为 $2.5\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
解题时首先从实际场景中抽象出几何模型，先找到包含所求线段$AD$的直角三角形：第一步先计算直角边$AE$的长度，$AE$等于手离地面的高度$AB$减去小狗绳离地面的高度$BE$；第二步结合已知的另一条直角边$ED$的长度，根据$AB$竖直、$ED$水平可判断$∠ AED$为直角，$△ AED$是直角三角形；最后利用勾股定理即可求出斜边$AD$的长度。
【解析】
解：由题意可知，
$AE = AB - BE$，已知$AB=1\ \mathrm{m}$，$BE=0.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE = 1 - 0.3 = 0.7(\mathrm{m})$，
又$\because ED = 2.4\ \mathrm{m}$，且$∠ AED = 90°$，$△ AED$为直角三角形，
根据勾股定理可得：
$AD^2 = AE^2 + ED^2 = 0.7^2 + 2.4^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25$，
$\therefore AD = \sqrt{6.25} = 2.5(\mathrm{m})$。
答：此时牵狗绳$AD$的长为$2.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；线段和差运算；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题核心是从生活场景中提炼出直角三角形数学模型，准确计算两条直角边长度后即可通过勾股定理求解斜边，题目贴近生活，难度较低，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先从实际场景中抽象出几何模型，先找到包含所求线段$AD$的直角三角形：第一步先计算直角边$AE$的长度，$AE$等于手离地面的高度$AB$减去小狗绳离地面的高度$BE$；第二步结合已知的另一条直角边$ED$的长度，根据$AB$竖直、$ED$水平可判断$∠ AED$为直角，$△ AED$是直角三角形；最后利用勾股定理即可求出斜边$AD$的长度。
【解析】
解：由题意可知，
$AE = AB - BE$，已知$AB=1\ \mathrm{m}$，$BE=0.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE = 1 - 0.3 = 0.7(\mathrm{m})$，
又$\because ED = 2.4\ \mathrm{m}$，且$∠ AED = 90°$，$△ AED$为直角三角形，
根据勾股定理可得：
$AD^2 = AE^2 + ED^2 = 0.7^2 + 2.4^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25$，
$\therefore AD = \sqrt{6.25} = 2.5(\mathrm{m})$。
答：此时牵狗绳$AD$的长为$2.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；线段和差运算；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题核心是从生活场景中提炼出直角三角形数学模型，准确计算两条直角边长度后即可通过勾股定理求解斜边，题目贴近生活，难度较低，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
1 [2026 山东青岛期中,中]如图,铁路上A,B两点相距40千米,C,D为铁路两侧的两个村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A和B,DA=24千米,CB=16千米.现要在铁路旁修建一个候车点E(A,B,E三点共线),使得C,D两村庄到该候车点的距离相等,则候车点E应距A点 (
A.12千米
B.16千米
C.20千米
D.24千米
B
)A.12千米
B.16千米
C.20千米
D.24千米
答案
1. B 【解析】设 $AE = x\ \mathrm{km}$, 则 $BE = (40 - x)\ \mathrm{km}$. 因为 $DA ⊥ AB, CB ⊥ AB$, $C,D$ 两村庄到该候车点 $E$ 的距离相等, 所以 $AD^2 + AE^2 = BE^2 + BC^2$, 即 $24^2 + x^2 = (40 - x)^2 + 16^2$, 解得 $x = 16$, 则候车点 $E$ 应距 $A$ 点 $16\ \mathrm{km}$. 故选 B.
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“C、D两村庄到候车点E的距离相等”这一条件，即DE=CE。已知DA、CB都垂直于AB，可得△DAE和△CBE都是直角三角形，可结合勾股定理分别表示DE²和CE²，再通过DE=CE建立等量关系，设未知数列出方程求解即可。
【解析】
设候车点E距A点$x\ \mathrm{km}$，则E距B点$(40-x)\ \mathrm{km}$。
因为$DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，所以$△ DAE$和$△ CBE$均为直角三角形。
由于$DE=CE$，根据勾股定理可得：$AD^2 + AE^2 = DE^2$，$BE^2 + BC^2 = CE^2$，因此$AD^2 + AE^2 = BE^2 + BC^2$。
代入已知数值$AD=24\mathrm{km}$、$BC=16\mathrm{km}$，得：
$24^2 + x^2 = (40 - x)^2 + 16^2$
展开计算：
$576 + x^2 = 1600 - 80x + x^2 + 256$
消去两侧$x^2$后整理得：
$80x = 1280$
解得$x=16$
即候车点E应距A点16千米。
【答案】B
【知识点】勾股定理；列方程解应用题；垂直的性质
【点评】本题是勾股定理解决实际问题的典型题型，解题关键是利用距离相等的条件结合勾股定理建立等量关系，通过方程思想将几何问题转化为代数问题求解，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住“C、D两村庄到候车点E的距离相等”这一条件，即DE=CE。已知DA、CB都垂直于AB，可得△DAE和△CBE都是直角三角形，可结合勾股定理分别表示DE²和CE²，再通过DE=CE建立等量关系，设未知数列出方程求解即可。
【解析】
设候车点E距A点$x\ \mathrm{km}$，则E距B点$(40-x)\ \mathrm{km}$。
因为$DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，所以$△ DAE$和$△ CBE$均为直角三角形。
由于$DE=CE$，根据勾股定理可得：$AD^2 + AE^2 = DE^2$，$BE^2 + BC^2 = CE^2$，因此$AD^2 + AE^2 = BE^2 + BC^2$。
代入已知数值$AD=24\mathrm{km}$、$BC=16\mathrm{km}$，得：
$24^2 + x^2 = (40 - x)^2 + 16^2$
展开计算：
$576 + x^2 = 1600 - 80x + x^2 + 256$
消去两侧$x^2$后整理得：
$80x = 1280$
解得$x=16$
即候车点E应距A点16千米。
【答案】B
【知识点】勾股定理；列方程解应用题；垂直的性质
【点评】本题是勾股定理解决实际问题的典型题型，解题关键是利用距离相等的条件结合勾股定理建立等量关系，通过方程思想将几何问题转化为代数问题求解，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
2[2026山西晋中期中,中]包装纸箱是我们生活中常见的物品.如图(1),创意小组的同学将一个10 cm×30 cm×40 cm的长方体纸箱裁去一部分,得到如图(2)所示的简易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发,沿书架内壁爬行到顶点B处,则它爬行的最短路程为 (
A.70 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
C
)A.70 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
答案
2. C 【解析】如图是书架的侧面展开图,连接 $AB$, 则 $AB$ 的长即爬行的最短路程, 连接 $AC$, 交 $BD$ 于点 $O$, 则 $AC ⊥ BD$. 易知 $OA = 30 + 10 = 40(\mathrm{cm})$, $OB = 40 - 10 = 30\ (\mathrm{cm})$, 所以在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中, $AB^2 = 40^2 + 30^2$, 所以 $AB = 50\ \mathrm{cm}$, 所以蜘蛛爬行的最短路程为 $50\ \mathrm{cm}$, 故选 C.
解析
【分析】
求解立体图形表面两点的最短爬行路径，核心是“化立体为平面”：先将涉及的立体表面展开到同一平面，根据“两点之间线段最短”，连接两点的线段长度就是最短路径，再将该线段作为直角三角形的斜边，利用勾股定理计算长度即可。本题先将书架侧面展开，确定A、B在展开图中的位置，找到对应直角三角形的两条直角边长，代入勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
将书架侧面展开，连接AB，则AB的长度就是蜘蛛爬行的最短路程，连接AC交BD于点O，可得AC⊥BD。
由展开图的边长可得：$OA = 30 + 10 = 40(\mathrm{cm})$，$OB = 40 - 10 = 30(\mathrm{cm})$
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据勾股定理：
$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$
因此$AB = 50\ \mathrm{cm}$，即蜘蛛爬行的最短路程为50 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
最短路径求解，勾股定理应用，立体图形展开
【点评】
本题结合生活实际场景考查最短路径计算，解题的关键是掌握将立体图形展开为平面、转化为直角三角形边长计算的思路，能够很好地考查学生的空间想象能力和勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
求解立体图形表面两点的最短爬行路径，核心是“化立体为平面”：先将涉及的立体表面展开到同一平面，根据“两点之间线段最短”，连接两点的线段长度就是最短路径，再将该线段作为直角三角形的斜边，利用勾股定理计算长度即可。本题先将书架侧面展开，确定A、B在展开图中的位置，找到对应直角三角形的两条直角边长，代入勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
将书架侧面展开，连接AB，则AB的长度就是蜘蛛爬行的最短路程，连接AC交BD于点O，可得AC⊥BD。
由展开图的边长可得：$OA = 30 + 10 = 40(\mathrm{cm})$，$OB = 40 - 10 = 30(\mathrm{cm})$
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据勾股定理：
$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$
因此$AB = 50\ \mathrm{cm}$，即蜘蛛爬行的最短路程为50 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
最短路径求解，勾股定理应用，立体图形展开
【点评】
本题结合生活实际场景考查最短路径计算，解题的关键是掌握将立体图形展开为平面、转化为直角三角形边长计算的思路，能够很好地考查学生的空间想象能力和勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
3[中]某隧道的横截面上边是半圆,下边是长方形,如图所示,已知半圆的直径为2 m,长方形的另一条边长是2.3 m,有一辆装满货物的卡车,高2.5 m,宽1.6 m.
(1)此卡车是否能通过隧道？试说明你的理由.
(2)为了适应车流量的增加,现把隧道改为双行道,要使宽为1.2 m,高为2.8 m的卡车能安全通过,此隧道的宽至少增加到多少？
(1)此卡车是否能通过隧道？试说明你的理由.
(2)为了适应车流量的增加,现把隧道改为双行道,要使宽为1.2 m,高为2.8 m的卡车能安全通过,此隧道的宽至少增加到多少？
答案
3. 思路分析 过隧道问题
[过隧道问题思维导图]
【解】(1)该卡车能通过隧道. 理由如下: 如图(1),$MN$ 为卡车的宽度, 分别过 $M,N$ 作 $AB$ 的垂线交半圆于 $C,D$, 连接 $CD$, 过 $AB$ 的中点 $O$ 作 $OE ⊥ CD$,$E$ 为垂足, 连接 $OC$. 易知 $CD = MN = 1.6\ \mathrm{m}, AB = 2\ \mathrm{m}$, 所以由对称可得 $CE = DE = 0.8\ \mathrm{m}, OC = OA = 1\ \mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中, $OE^2 = OC^2 - CE^2 = 0.36$, 所以 $OE = 0.6\ \mathrm{m}$, 所以 $CM = 2.3 + 0.6 = 2.9(\mathrm{m}) ＞ 2.5\ \mathrm{m}$, 所以这辆卡车能通过隧道.
(2)如图(2),$EC$ 为卡车的宽度,$O$ 为 $AH$ 的中点, 过 $E$ 作 $AH$ 的垂线交半圆于 $B$, 垂足为 $F$, 连接 $OB$, 过 $B$ 作 $BG ⊥ CO$, 交 $CO$ 的延长线于 $G$. 根据题意可知 $CG = BE = 2.8\ \mathrm{m}, BG = OF = EC = 1.2\ \mathrm{m}, EF = AD = 2.3\ \mathrm{m}$, 所以 $BF = 2.8 - 2.3 = 0.5(\mathrm{m})$. 根据勾股定理得 $OA^2 = OB^2 = BF^2 + OF^2 = 0.5^2 + 1.2^2 = 1.69$, 所以 $OA = 1.3\ \mathrm{m}$, 所以隧道的宽至少增加到 $1.3 × 2 = 2.6(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
解决隧道通行类问题的核心是比较卡车对应宽度位置的隧道高度与卡车高度的大小：
1. 第一问判断卡车能否通过：先根据卡车宽度，利用圆的对称性确定半圆上对应点到圆心的水平距离，构造直角三角形，用勾股定理算出该点到半圆直径的竖直高度，加下方长方形的高度得到该位置隧道总高度，和卡车高度对比即可得出结论。
2. 第二问求隧道最小宽度：双行道下卡车沿单侧通行，已知卡车宽度和高度，先算出半圆部分需要提供的额外高度，将其与卡车宽度作为直角边，用勾股定理求出半圆半径，半径的2倍即为隧道的最小总宽度。
【解析】
(1) 该卡车能通过隧道，理由如下：
如图(1)，设$MN$为卡车的宽度，分别过$M,N$作$AB$的垂线交半圆于$C,D$，连接$CD$，过$AB$的中点$O$作$OE ⊥ CD$，$E$为垂足，连接$OC$。
由题意得$CD = MN = 1.6\ \mathrm{m}$，半圆直径$AB = 2\ \mathrm{m}$，因此半圆半径$OC = OA = 1\ \mathrm{m}$。
根据圆的对称性可得$CE = DE = \frac{1}{2}CD = 0.8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：$OE^2 = OC^2 - CE^2 = 1^2 - 0.8^2 = 0.36$，解得$OE = 0.6\ \mathrm{m}$。
该位置隧道总高度为：$2.3 + 0.6 = 2.9(\mathrm{m})$，因为$2.9\ \mathrm{m} ＞ 2.5\ \mathrm{m}$，所以这辆卡车能通过隧道。
(2) 如图(2)，$EC$为卡车的宽度，$O$为$AH$的中点，过$E$作$AH$的垂线交半圆于$B$，垂足为$F$，连接$OB$，过$B$作$BG ⊥ CO$，交$CO$的延长线于$G$。
根据题意可知$CG = BE = 2.8\ \mathrm{m}$，$BG = OF = EC = 1.2\ \mathrm{m}$，长方形高度$EF = 2.3\ \mathrm{m}$，因此半圆部分需要的竖直高度$BF = CG - EF = 2.8 - 2.3 = 0.5(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，由勾股定理得：$OB^2 = BF^2 + OF^2 = 0.5^2 + 1.2^2 = 1.69$，解得$OB = 1.3\ \mathrm{m}$，即半圆半径为$1.3\ \mathrm{m}$。
因此隧道的总宽度至少为：$1.3 × 2 = 2.6(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 此卡车能通过隧道，理由见解析；
(2) 此隧道的宽至少增加到$\boxed{2.6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理，圆的对称性，实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合几何性质解决实际问题的典型题型，解题关键是将隧道通行的实际问题转化为直角三角形边长计算问题，结合圆的对称性构造直角三角形即可求解，能有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解决隧道通行类问题的核心是比较卡车对应宽度位置的隧道高度与卡车高度的大小：
1. 第一问判断卡车能否通过：先根据卡车宽度，利用圆的对称性确定半圆上对应点到圆心的水平距离，构造直角三角形，用勾股定理算出该点到半圆直径的竖直高度，加下方长方形的高度得到该位置隧道总高度，和卡车高度对比即可得出结论。
2. 第二问求隧道最小宽度：双行道下卡车沿单侧通行，已知卡车宽度和高度，先算出半圆部分需要提供的额外高度，将其与卡车宽度作为直角边，用勾股定理求出半圆半径，半径的2倍即为隧道的最小总宽度。
【解析】
(1) 该卡车能通过隧道，理由如下：
如图(1)，设$MN$为卡车的宽度，分别过$M,N$作$AB$的垂线交半圆于$C,D$，连接$CD$，过$AB$的中点$O$作$OE ⊥ CD$，$E$为垂足，连接$OC$。
由题意得$CD = MN = 1.6\ \mathrm{m}$，半圆直径$AB = 2\ \mathrm{m}$，因此半圆半径$OC = OA = 1\ \mathrm{m}$。
根据圆的对称性可得$CE = DE = \frac{1}{2}CD = 0.8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：$OE^2 = OC^2 - CE^2 = 1^2 - 0.8^2 = 0.36$，解得$OE = 0.6\ \mathrm{m}$。
该位置隧道总高度为：$2.3 + 0.6 = 2.9(\mathrm{m})$，因为$2.9\ \mathrm{m} ＞ 2.5\ \mathrm{m}$，所以这辆卡车能通过隧道。
(2) 如图(2)，$EC$为卡车的宽度，$O$为$AH$的中点，过$E$作$AH$的垂线交半圆于$B$，垂足为$F$，连接$OB$，过$B$作$BG ⊥ CO$，交$CO$的延长线于$G$。
根据题意可知$CG = BE = 2.8\ \mathrm{m}$，$BG = OF = EC = 1.2\ \mathrm{m}$，长方形高度$EF = 2.3\ \mathrm{m}$，因此半圆部分需要的竖直高度$BF = CG - EF = 2.8 - 2.3 = 0.5(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，由勾股定理得：$OB^2 = BF^2 + OF^2 = 0.5^2 + 1.2^2 = 1.69$，解得$OB = 1.3\ \mathrm{m}$，即半圆半径为$1.3\ \mathrm{m}$。
因此隧道的总宽度至少为：$1.3 × 2 = 2.6(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 此卡车能通过隧道，理由见解析；
(2) 此隧道的宽至少增加到$\boxed{2.6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理，圆的对称性，实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合几何性质解决实际问题的典型题型，解题关键是将隧道通行的实际问题转化为直角三角形边长计算问题，结合圆的对称性构造直角三角形即可求解，能有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
