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1[2026安徽合肥期中,中]对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若AD=2,BC=4,则$AB^2 + CD^2$的值为 (
A.20
B.16
C.18
D.25
A
)A.20
B.16
C.18
D.25
答案
因为$AC⊥BD$,所以$∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°$. 由勾股定理得$AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$,$AD^2 + BC^2 = AO^2 + DO^2 + BO^2 + CO^2$,所以$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$. 因为$AD=2,BC=4$,所以$AB^2 + CD^2 = 2^2 + 4^2 = 20$. 故选 A.
解析
【分析】
首先根据“垂美”四边形的定义可知其对角线互相垂直，由此得到四个直角三角形。题目所求为边长平方的和，优先考虑用勾股定理求解。我们可以先利用勾股定理分别将AB²、CD²、AD²、BC²拆分为对角线各分段的平方和，对比两组式子可发现AB²+CD²与AD²+BC²相等，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴AC⊥BD，即∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
根据勾股定理得：
$AB^2=AO^2+BO^2$，$CD^2=CO^2+DO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，
同理可得：$AD^2=AO^2+DO^2$，$BC^2=BO^2+CO^2$，
∴$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
∵AD=2，BC=4，
∴$AB^2+CD^2=2^2+4^2=4+16=20$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；新定义应用
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“垂美四边形”对角线互相垂直的性质，结合勾股定理对边长平方和做等价转化，是勾股定理的典型灵活应用题目，掌握转化思想即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先根据“垂美”四边形的定义可知其对角线互相垂直，由此得到四个直角三角形。题目所求为边长平方的和，优先考虑用勾股定理求解。我们可以先利用勾股定理分别将AB²、CD²、AD²、BC²拆分为对角线各分段的平方和，对比两组式子可发现AB²+CD²与AD²+BC²相等，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴AC⊥BD，即∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
根据勾股定理得：
$AB^2=AO^2+BO^2$，$CD^2=CO^2+DO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，
同理可得：$AD^2=AO^2+DO^2$，$BC^2=BO^2+CO^2$，
∴$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
∵AD=2，BC=4，
∴$AB^2+CD^2=2^2+4^2=4+16=20$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；新定义应用
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“垂美四边形”对角线互相垂直的性质，结合勾股定理对边长平方和做等价转化，是勾股定理的典型灵活应用题目，掌握转化思想即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2[2026 浙江温州期末,中]如图,在$△ ABC$中,D为BC上一点,$BD=5$,$CD=4$,且$AC=AD$.记AB长为x,AC长为y,当x,y变化时,下列代数式的值不变的是 (
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + y^2$
C.$x - y$
D.$x + y$
A
)A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + y^2$
C.$x - y$
D.$x + y$
答案
如图
,过点 A 作$AE⊥BC$,垂足为 E,则$∠AEB=90°$. 因为$AC=AD,AE⊥BC$,所以$DE=CE=\frac{1}{2}CD=2$. 因为$BD=5$,所以$BE=BD+DE=5+2=7$. 在$Rt△ABE$中,$AE^2=AB^2-BE^2=x^2-49$,在$Rt△ADE$中,$AE^2=AD^2-DE^2=y^2-4$,所以$x^2-49=y^2-4$,所以$x^2-y^2=45$,所以当 x,y 变化时,$x^2-y^2$的值不变,故选 A.解析
【分析】
题干给出AC=AD，说明△ACD是等腰三角形，遇到等腰三角形可优先考虑“三线合一”性质，作底边上的高构造直角三角形，即可用勾股定理计算。解题思路如下：第一步过点A作BC的垂线AE，利用三线合一求出DE的长度，进而得到BE的长度；第二步分别在Rt△ABE和Rt△ADE中，用勾股定理表示公共边AE的平方；第三步联立两个表达式，整理后即可判断哪个代数式为定值。
【解析】
过点A作$AE⊥BC$，垂足为E，则$∠ AEB=90°$。
∵ $AC=AD$，$AE⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ $DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$。
又
∵ $BD=5$，
∴ $BE=BD+DE=5+2=7$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理可得：$AE^2=AB^2-BE^2=x^2-7^2=x^2-49$；
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理可得：$AE^2=AD^2-DE^2=y^2-2^2=y^2-4$。
联立两式得$x^2-49=y^2-4$，移项整理得$x^2-y^2=45$，为固定值。
因此当x、y变化时，$x^2-y^2$的值不变，故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，定值计算
【点评】
本题是几何基础综合题型，核心考查等腰三角形三线合一和勾股定理的应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，通过公共边建立等量关系推导定值，能较好地考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
题干给出AC=AD，说明△ACD是等腰三角形，遇到等腰三角形可优先考虑“三线合一”性质，作底边上的高构造直角三角形，即可用勾股定理计算。解题思路如下：第一步过点A作BC的垂线AE，利用三线合一求出DE的长度，进而得到BE的长度；第二步分别在Rt△ABE和Rt△ADE中，用勾股定理表示公共边AE的平方；第三步联立两个表达式，整理后即可判断哪个代数式为定值。
【解析】
过点A作$AE⊥BC$，垂足为E，则$∠ AEB=90°$。
∵ $AC=AD$，$AE⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ $DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$。
又
∵ $BD=5$，
∴ $BE=BD+DE=5+2=7$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理可得：$AE^2=AB^2-BE^2=x^2-7^2=x^2-49$；
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理可得：$AE^2=AD^2-DE^2=y^2-2^2=y^2-4$。
联立两式得$x^2-49=y^2-4$，移项整理得$x^2-y^2=45$，为固定值。
因此当x、y变化时，$x^2-y^2$的值不变，故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，定值计算
【点评】
本题是几何基础综合题型，核心考查等腰三角形三线合一和勾股定理的应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，通过公共边建立等量关系推导定值，能较好地考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3[2026黑龙江哈尔滨期中,中]在直线上依次摆着7个正方形(如图),已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3,水平放置的4个正方形的面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$,则$S_1+S_2+S_3+S_4$等于 (
A.5
B.6
C.4
D.8
C
)A.5
B.6
C.4
D.8
答案
如图
,由题意可得$∠ACE=∠CDE=∠ABC=90°,EC=AC$,所以$∠ECD+∠ACB=∠CAB+∠ACB=90°$,所以$∠ECD=∠CAB$. 在$△CDE$和$△ABC$中,$\begin{cases}∠EDC=∠CBA,\\∠ECD=∠CAB,\\EC=CA,\end{cases}$所以$△CDE≌△ABC(AAS)$,所以$AB=CD,BC=DE$,所以$S_3+S_4=DE^2+AB^2=DE^2+CD^2=CE^2=3$. 同理可得$S_1+S_2=LK^2+FG^2=LK^2+KH^2=HL^2=1$,所以$S_1+S_2+S_3+S_4=1+3=4$. 故选 C.解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：倾斜正方形的边与相邻两个水平正方形旁的直角三角形的边构成全等关系的条件。我们可以先通过“AAS”证明倾斜正方形旁的两个直角三角形全等，得到对应边相等，再结合勾股定理，将水平放置正方形的面积和与倾斜正方形的面积关联起来：每两个相邻水平正方形的面积和等于它们之间夹着的倾斜正方形的面积，最后求和即可。
【解析】
如图，由题意可得$∠ ACE=∠ CDE=∠ ABC=90°,EC=AC$，所以$∠ ECD+∠ ACB=∠ CAB+∠ ACB=90°$，所以$∠ ECD=∠ CAB$。
在$△ CDE$和$△ ABC$中，
$\begin{cases}∠ EDC=∠ CBA,\\∠ ECD=∠ CAB,\\EC=CA,\end{cases}$
所以$△ CDE≌△ ABC(\mathrm{AAS})$，所以$AB=CD,BC=DE$，因此$S_3+S_4=DE^2+AB^2=DE^2+CD^2=CE^2=3$。
同理可得$S_1+S_2=LK^2+FG^2=LK^2+KH^2=HL^2=1$，所以$S_1+S_2+S_3+S_4=1+3=4$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理与全等三角形结合的常见几何题型，解题核心是通过证明三角形全等得到边的等量关系，再利用勾股定理搭建不同正方形面积的等量关系，解题时注意观察图形中角的互余关系，快速找到全等的条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：倾斜正方形的边与相邻两个水平正方形旁的直角三角形的边构成全等关系的条件。我们可以先通过“AAS”证明倾斜正方形旁的两个直角三角形全等，得到对应边相等，再结合勾股定理，将水平放置正方形的面积和与倾斜正方形的面积关联起来：每两个相邻水平正方形的面积和等于它们之间夹着的倾斜正方形的面积，最后求和即可。
【解析】
如图
，由题意可得$∠ ACE=∠ CDE=∠ ABC=90°,EC=AC$，所以$∠ ECD+∠ ACB=∠ CAB+∠ ACB=90°$，所以$∠ ECD=∠ CAB$。在$△ CDE$和$△ ABC$中，
$\begin{cases}∠ EDC=∠ CBA,\\∠ ECD=∠ CAB,\\EC=CA,\end{cases}$
所以$△ CDE≌△ ABC(\mathrm{AAS})$，所以$AB=CD,BC=DE$，因此$S_3+S_4=DE^2+AB^2=DE^2+CD^2=CE^2=3$。
同理可得$S_1+S_2=LK^2+FG^2=LK^2+KH^2=HL^2=1$，所以$S_1+S_2+S_3+S_4=1+3=4$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理与全等三角形结合的常见几何题型，解题核心是通过证明三角形全等得到边的等量关系，再利用勾股定理搭建不同正方形面积的等量关系，解题时注意观察图形中角的互余关系，快速找到全等的条件。
【难度系数】
0.7
4[2026浙江杭州调研,中]如图,△ABC的顶点A,B,C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上,CD⊥AB于点D,则CD的长为
(第4题图)
(第5题图)
$\frac{13}{5}$
.(第4题图)
(第5题图)
答案
如图
,$S_{△ABC}=4×4-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×3×4=\frac{13}{2}$. 在$Rt△ABE$中,因为$AB^2=AE^2+BE^2=4^2+3^2=5^2$,所以$AB=5$,所以$\frac{1}{2}AB·CD=\frac{13}{2}$,所以$CD=\frac{13}{5}$,故答案为$\frac{13}{5}$.解析
【分析】
要求AB边上的高CD，可通过三角形面积的两种计算方法求解：第一步，用割补法计算△ABC的面积，将△ABC放在边长为4的大正方形中，用大正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到△ABC的面积；第二步，利用勾股定理求出AB的长度；第三步，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将求得的面积和AB长度代入，即可计算出CD的长。
【解析】
首先用割补法计算△ABC的面积：
$S_{△ABC}=4×4-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×3×4=\frac{13}{2}$
再求AB的长度：在$Rt△ABE$中，由勾股定理得$AB^2=AE^2+BE^2=4^2+3^2=25$，因此$AB=5$。
已知CD是AB边上的高，根据三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×5×CD=\frac{13}{2}$
解得$CD=\frac{13}{5}$。
【答案】
$\frac{13}{5}$
【知识点】
勾股定理、割补法求面积、三角形面积公式
【点评】
本题为典型的网格几何题，结合了勾股定理与面积法的应用，解题核心是通过割补法快速求出三角形面积，再结合勾股定理得到底边长，最终通过面积公式求出高，对学生的图形观察能力和计算能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.65
要求AB边上的高CD，可通过三角形面积的两种计算方法求解：第一步，用割补法计算△ABC的面积，将△ABC放在边长为4的大正方形中，用大正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到△ABC的面积；第二步，利用勾股定理求出AB的长度；第三步，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将求得的面积和AB长度代入，即可计算出CD的长。
【解析】
首先用割补法计算△ABC的面积：
$S_{△ABC}=4×4-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×3×4=\frac{13}{2}$
再求AB的长度：在$Rt△ABE$中，由勾股定理得$AB^2=AE^2+BE^2=4^2+3^2=25$，因此$AB=5$。
已知CD是AB边上的高，根据三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×5×CD=\frac{13}{2}$
解得$CD=\frac{13}{5}$。
【答案】
$\frac{13}{5}$【知识点】
勾股定理、割补法求面积、三角形面积公式
【点评】
本题为典型的网格几何题，结合了勾股定理与面积法的应用，解题核心是通过割补法快速求出三角形面积，再结合勾股定理得到底边长，最终通过面积公式求出高，对学生的图形观察能力和计算能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.65
5[2025河南郑州质检,中]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=9,射线CD与边AB交于点D.E,F分别为AD,BD的中点,设点E,F到射线CD的距离分别为m,n,则m+n的最大值为
7.5
.答案
如图
,连接 CE,CF,过 E 作 CD 的垂线,垂足为 M,过 F 作 CD 的垂线,垂足为 N,即$EM=m,FN=n$,所以$S_{△CDF}=\frac{1}{2}CD×n$,$S_{△CDE}=\frac{1}{2}CD×m$. 因为 E,F 分别为 AD,BD 的中点,所以$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△CDA}$,$S_{△CDF}=\frac{1}{2}S_{△CDB}$,所以$S_{△CEF}=S_{△CDE}+S_{△CDF}=\frac{1}{2}(S_{△CDA}+S_{△CDB})$,所以$\frac{1}{2}(m+n)CD=\frac{1}{2}S_{△ABC}$. 因为$∠ACB=90°$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×9×12=54$,所以$\frac{1}{2}(m+n)CD=27$,所以$(m+n)CD=54$,所以当 CD 最短时,m+n 有最大值,此时$CD⊥AB$. 因为在$Rt△ABC$中,由勾股定理得$AB^2=12^2+9^2=225$,所以$AB=15$. 设 AB 边上的高为 h,所以$\frac{1}{2}AB·h=54$,所以$h=7.2$,即 CD 的最小值为 7.2,此时$m+n=\frac{54}{7.2}=7.5$,所以 m+n 的最大值为 7.5. 故答案为 7.5.解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：E、F分别是AD、BD的中点，根据三角形中线平分三角形面积的性质，可得到△CDE、△CDF的面积分别是△CDA、△CDB面积的一半，两者相加即为△ABC面积的一半。再结合m、n是点E、F到CD的距离，可用CD、m、n表示这两个小三角形的面积，进而推导得到m+n与CD的乘积为定值。要让m+n最大，就需要CD取最小值，根据垂线段最短，CD垂直AB时长度最小，最后用勾股定理和面积法计算出对应数值即可。
【解析】
连接CE、CF，过E作CD的垂线，垂足为M，过F作CD的垂线，垂足为N，即$EM=m$，$FN=n$。
根据三角形面积公式可得：$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}CD· m$，$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}CD· n$。
因为E是AD中点，CE是△ACD的中线，故$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ CDA}$；同理F是BD中点，$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}S_{△ CDB}$。
因此$S_{△ CDE}+S_{△ CDF}=\frac{1}{2}(S_{△ CDA}+S_{△ CDB})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，代入面积表达式化简得：$(m+n)· CD = S_{△ ABC}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=9$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12×9=54$，即$(m+n)· CD=54$，变形得$m+n=\frac{54}{CD}$。
根据垂线段最短，当$CD⊥ AB$时，CD的长度最小，此时m+n取得最大值。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$。
设AB边上的高为h，由面积法得$\frac{1}{2}× AB× h = S_{△ ABC}=54$，代入AB=15解得$h=7.2$，即CD的最小值为7.2。
代入得$m+n=\frac{54}{7.2}=7.5$，即m+n的最大值为7.5。
【答案】
7.5
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；垂线段最短
【点评】
本题属于中等难度的几何最值题，解题关键是通过面积关系将未知的m+n最值转化为CD的最值问题，将几何定值与最值结合考查，渗透了转化的数学思想，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件入手：E、F分别是AD、BD的中点，根据三角形中线平分三角形面积的性质，可得到△CDE、△CDF的面积分别是△CDA、△CDB面积的一半，两者相加即为△ABC面积的一半。再结合m、n是点E、F到CD的距离，可用CD、m、n表示这两个小三角形的面积，进而推导得到m+n与CD的乘积为定值。要让m+n最大，就需要CD取最小值，根据垂线段最短，CD垂直AB时长度最小，最后用勾股定理和面积法计算出对应数值即可。
【解析】
连接CE、CF，过E作CD的垂线，垂足为M，过F作CD的垂线，垂足为N，即$EM=m$，$FN=n$。
根据三角形面积公式可得：$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}CD· m$，$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}CD· n$。
因为E是AD中点，CE是△ACD的中线，故$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ CDA}$；同理F是BD中点，$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}S_{△ CDB}$。
因此$S_{△ CDE}+S_{△ CDF}=\frac{1}{2}(S_{△ CDA}+S_{△ CDB})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，代入面积表达式化简得：$(m+n)· CD = S_{△ ABC}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=9$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12×9=54$，即$(m+n)· CD=54$，变形得$m+n=\frac{54}{CD}$。
根据垂线段最短，当$CD⊥ AB$时，CD的长度最小，此时m+n取得最大值。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$。
设AB边上的高为h，由面积法得$\frac{1}{2}× AB× h = S_{△ ABC}=54$，代入AB=15解得$h=7.2$，即CD的最小值为7.2。
代入得$m+n=\frac{54}{7.2}=7.5$，即m+n的最大值为7.5。
【答案】
7.5
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；垂线段最短
【点评】
本题属于中等难度的几何最值题，解题关键是通过面积关系将未知的m+n最值转化为CD的最值问题，将几何定值与最值结合考查，渗透了转化的数学思想，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
6[2025陕西西安质检,中]探究:
(1)图(1)是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形,若$AB+AC=20$,$OC=5$,求该飞镖状图形的面积.
(2)图(2)是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形$ABCD$,记图中正方形$ABCD$,正方形$EFGH$,正方形$MNKT$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$.若$S_2=6$,求$S_1+S_3$的值.
(1)图(1)是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形,若$AB+AC=20$,$OC=5$,求该飞镖状图形的面积.
(2)图(2)是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形$ABCD$,记图中正方形$ABCD$,正方形$EFGH$,正方形$MNKT$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$.若$S_2=6$,求$S_1+S_3$的值.
答案
(1)由题意得$OB=OC=5$. 因为$AB+AC=20,OC=5$,所以$AB+(OA-5)=20$,$OA^2+5^2=AB^2$,所以$AB=25-OA$,所以$OA^2+5^2=(25-OA)^2$,解得$OA=12$,所以该飞镖状图形的面积为$4×\frac{1}{2}×12×5=120$.
(2)设直角三角形的长直角边长为 a,短直角边长为 b,斜边长为 c,则$c^2=a^2+b^2$. 由题意得$S_1=(a+b)^2$,$S_2=c^2=6$,$S_3=(a-b)^2$,所以$S_1+S_3=(a+b)^2+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=c^2+c^2=2c^2=12$.
(2)设直角三角形的长直角边长为 a,短直角边长为 b,斜边长为 c,则$c^2=a^2+b^2$. 由题意得$S_1=(a+b)^2$,$S_2=c^2=6$,$S_3=(a-b)^2$,所以$S_1+S_3=(a+b)^2+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=c^2+c^2=2c^2=12$.
解析
【分析】
(1) 飞镖状图形由4个全等的直角三角形组成，根据全等三角形性质可得OB=OC=5，要求图形总面积只需先求出单个直角三角形的面积。已知AB+AC=20，结合AC=OA-OC可推导出AB与OA的关系，再利用Rt△AOB满足勾股定理，列方程求出OA的长度，即可计算单个直角三角形的面积，最终得到总面积。
(2) 要求$S_1+S_3$的值，可先设八个全等直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，根据勾股定理有$c^2=a^2+b^2$。再结合图形分别用a、b、c表示三个正方形的面积，将$S_1$和$S_3$的表达式展开化简，结合勾股定理即可找到其与$S_2$的关系，代入$S_2=6$即可求出结果。
【解析】
(1) 因为四个直角三角形全等，所以$OB=OC=5$。
由图可知$AC=OA-OC$，已知$AB+AC=20$，$OC=5$，代入得：
$AB + (OA - 5) = 20$，整理得$AB = 25 - OA$。
在$Rt△ AOB$中，根据勾股定理得$OA^2 + OB^2 = AB^2$，即：
$OA^2 + 5^2 = (25 - OA)^2$
展开得$OA^2 +25 = 625 -50OA + OA^2$，
解得$OA=12$。
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×12×5=30$，
所以飞镖状图形的面积为$4×30=120$。
(2) 设每个全等直角三角形的长直角边长为a，短直角边长为b，斜边长为c，根据勾股定理得$c^2=a^2+b^2$。
由图可知：
大正方形ABCD的边长为$a+b$，故$S_1=(a+b)^2$；
正方形EFGH的边长为斜边c，故$S_2=c^2=6$；
正方形MNKT的边长为$a-b$，故$S_3=(a-b)^2$。
则$S_1+S_3=(a+b)^2+(a-b)^2$
展开化简得：$a^2+2ab+b^2 + a^2-2ab+b^2 = 2a^2+2b^2$，
结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入得：
$S_1+S_3=2(a^2+b^2)=2c^2=2S_2=2×6=12$。
【答案】
(1) $\boxed{120}$；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理在拼接图形面积计算中的典型应用，第一问结合全等性质和勾股定理列方程求解边长，考查方程思想的运用；第二问通过设参数表示各图形面积，结合整式化简和勾股定理推导面积关系，对几何观察能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 飞镖状图形由4个全等的直角三角形组成，根据全等三角形性质可得OB=OC=5，要求图形总面积只需先求出单个直角三角形的面积。已知AB+AC=20，结合AC=OA-OC可推导出AB与OA的关系，再利用Rt△AOB满足勾股定理，列方程求出OA的长度，即可计算单个直角三角形的面积，最终得到总面积。
(2) 要求$S_1+S_3$的值，可先设八个全等直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，根据勾股定理有$c^2=a^2+b^2$。再结合图形分别用a、b、c表示三个正方形的面积，将$S_1$和$S_3$的表达式展开化简，结合勾股定理即可找到其与$S_2$的关系，代入$S_2=6$即可求出结果。
【解析】
(1) 因为四个直角三角形全等，所以$OB=OC=5$。
由图可知$AC=OA-OC$，已知$AB+AC=20$，$OC=5$，代入得：
$AB + (OA - 5) = 20$，整理得$AB = 25 - OA$。
在$Rt△ AOB$中，根据勾股定理得$OA^2 + OB^2 = AB^2$，即：
$OA^2 + 5^2 = (25 - OA)^2$
展开得$OA^2 +25 = 625 -50OA + OA^2$，
解得$OA=12$。
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×12×5=30$，
所以飞镖状图形的面积为$4×30=120$。
(2) 设每个全等直角三角形的长直角边长为a，短直角边长为b，斜边长为c，根据勾股定理得$c^2=a^2+b^2$。
由图可知：
大正方形ABCD的边长为$a+b$，故$S_1=(a+b)^2$；
正方形EFGH的边长为斜边c，故$S_2=c^2=6$；
正方形MNKT的边长为$a-b$，故$S_3=(a-b)^2$。
则$S_1+S_3=(a+b)^2+(a-b)^2$
展开化简得：$a^2+2ab+b^2 + a^2-2ab+b^2 = 2a^2+2b^2$，
结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入得：
$S_1+S_3=2(a^2+b^2)=2c^2=2S_2=2×6=12$。
【答案】
(1) $\boxed{120}$；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理在拼接图形面积计算中的典型应用，第一问结合全等性质和勾股定理列方程求解边长，考查方程思想的运用；第二问通过设参数表示各图形面积，结合整式化简和勾股定理推导面积关系，对几何观察能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7[2025辽宁抚顺质检,较难]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D为AB中点,点E在BC边上(点E不与点B,C重合),连接DE,过点D作$DF⊥ DE$交AC于点F,连接EF.
(1)试说明:$AF^2+BE^2=EF^2$;
(2)若$AC=7$,$BC=5$,$EC=1$,直接写出AF的长.
再刷一会鸭
(1)试说明:$AF^2+BE^2=EF^2$;
(2)若$AC=7$,$BC=5$,$EC=1$,直接写出AF的长.
再刷一会鸭
答案
(1)延长 ED 至 M 使$DM=DE$,连接 AM,FM,如图
. 因为 D 为 AB 中点,所以$AD=BD$. 在$△ADM$与$△BDE$中,$\begin{cases}AD=BD,\\∠ADM=∠BDE,\\DM=DE,\end{cases}$所以$△ADM≌△BDE(SAS)$,所以$AM=BE,∠DAM=∠B$,所以$AM//BC$,所以$∠MAF=180°-∠C=90°$. 因为$FD⊥ME,DE=DM$,所以 FD 是 EM 的垂直平分线,所以$MF=FE$. 因为在$Rt△MAF$中,$AM^2+AF^2=MF^2$,所以$AF^2+BE^2=EF^2$.(2)$AF=\frac{17}{7}$. 设$AF=x$. 因为$AC=7,BC=5,CE=1$,所以$CF=AC-AF=7-x$,$BE=BC-CE=4$. 因为$∠C=90°$,所以$CF^2+CE^2=EF^2$,所以$EF^2=(7-x)^2+1$. 由(1)知$MF=EF,∠MAF=90°$,$AM=BE$,所以$MF^2=(7-x)^2+1$,$AM=4$. 因为$∠MAF=90°$,所以$AF^2+AM^2=MF^2$,所以$x^2+4^2=(7-x)^2+1$,解得$x=\frac{17}{7}$,所以$AF=\frac{17}{7}$.
解析
【分析】
(1)要证明$AF^2+BE^2=EF^2$，符合勾股定理的形式，因此需要将三条线段转化到同一个直角三角形中。已知D是AB中点，可采用倍长中线法构造全等三角形：延长ED到M使$DM=DE$，先证$△ADM≌△BDE$，将BE转化为AM，再证明$∠FAM$是直角，结合FD垂直平分EM得到$EF=MF$，最后在$Rt△FAM$中用勾股定理即可证明结论。
(2)设AF的长为x，分别用含x的式子表示CF、BE的长度，先在$Rt△CEF$中用勾股定理表示$EF^2$，再结合(1)的结论列方程，求解即可得到AF的长度。
【解析】
(1) 延长 ED 至 M 使$DM=DE$，连接 AM,FM，如图。
因为 D 为 AB 中点，所以$AD=BD$。
在$△ADM$与$△BDE$中，$\begin{cases}AD=BD,\\∠ADM=∠BDE,\\DM=DE,\end{cases}$
所以$△ADM≌△BDE(SAS)$，因此$AM=BE,∠DAM=∠B$，
所以$AM//BC$，可得$∠MAF=180°-∠C=90°$。
因为$FD⊥ME,DE=DM$，所以 FD 是 EM 的垂直平分线，因此$MF=FE$。
在$Rt△MAF$中，由勾股定理得$AM^2+AF^2=MF^2$，
代入$AM=BE$、$MF=EF$，可得$AF^2+BE^2=EF^2$。
(2) 设$AF=x$，
因为$AC=7,BC=5,CE=1$，所以$CF=AC-AF=7-x$，$BE=BC-CE=5-1=4$。
因为$∠C=90°$，在$Rt△CEF$中，由勾股定理得$CF^2+CE^2=EF^2$，即$EF^2=(7-x)^2+1^2=(7-x)^2+1$。
由(1)的结论可知$AF^2+BE^2=EF^2$，代入对应边长度得：
$x^2+4^2=(7-x)^2+1$
展开得$x^2+16=49-14x+x^2+1$，
化简得$14x=34$，解得$x=\frac{17}{7}$，即$AF=\frac{17}{7}$。
【答案】
(1) 证明过程如上，辅助线构造如图；
(2) $AF=\frac{17}{7}$
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题第一问通过倍长中线构造全等三角形实现线段的转化，将分散的三条线段整合到同一个直角三角形中，结合勾股定理证明平方和关系；第二问利用方程思想，结合勾股定理列方程求解，需要熟练掌握常见辅助线的构造方法和勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.35
(1)要证明$AF^2+BE^2=EF^2$，符合勾股定理的形式，因此需要将三条线段转化到同一个直角三角形中。已知D是AB中点，可采用倍长中线法构造全等三角形：延长ED到M使$DM=DE$，先证$△ADM≌△BDE$，将BE转化为AM，再证明$∠FAM$是直角，结合FD垂直平分EM得到$EF=MF$，最后在$Rt△FAM$中用勾股定理即可证明结论。
(2)设AF的长为x，分别用含x的式子表示CF、BE的长度，先在$Rt△CEF$中用勾股定理表示$EF^2$，再结合(1)的结论列方程，求解即可得到AF的长度。
【解析】
(1) 延长 ED 至 M 使$DM=DE$，连接 AM,FM，如图
。因为 D 为 AB 中点，所以$AD=BD$。
在$△ADM$与$△BDE$中，$\begin{cases}AD=BD,\\∠ADM=∠BDE,\\DM=DE,\end{cases}$
所以$△ADM≌△BDE(SAS)$，因此$AM=BE,∠DAM=∠B$，
所以$AM//BC$，可得$∠MAF=180°-∠C=90°$。
因为$FD⊥ME,DE=DM$，所以 FD 是 EM 的垂直平分线，因此$MF=FE$。
在$Rt△MAF$中，由勾股定理得$AM^2+AF^2=MF^2$，
代入$AM=BE$、$MF=EF$，可得$AF^2+BE^2=EF^2$。
(2) 设$AF=x$，
因为$AC=7,BC=5,CE=1$，所以$CF=AC-AF=7-x$，$BE=BC-CE=5-1=4$。
因为$∠C=90°$，在$Rt△CEF$中，由勾股定理得$CF^2+CE^2=EF^2$，即$EF^2=(7-x)^2+1^2=(7-x)^2+1$。
由(1)的结论可知$AF^2+BE^2=EF^2$，代入对应边长度得：
$x^2+4^2=(7-x)^2+1$
展开得$x^2+16=49-14x+x^2+1$，
化简得$14x=34$，解得$x=\frac{17}{7}$，即$AF=\frac{17}{7}$。
【答案】
(1) 证明过程如上，辅助线构造如图
；(2) $AF=\frac{17}{7}$
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题第一问通过倍长中线构造全等三角形实现线段的转化，将分散的三条线段整合到同一个直角三角形中，结合勾股定理证明平方和关系；第二问利用方程思想，结合勾股定理列方程求解，需要熟练掌握常见辅助线的构造方法和勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.35
