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1[2026山西太原质检]下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾顺次相连能围成直角三角形的是（
A.6,9
B.10,16
C.9,15
D.15,18
C
）A.6,9
B.10,16
C.9,15
D.15,18
答案
【解析】因为9²+12²=15²,所以能围成直角三角形,所以选项C中的线段长度符合题意;选项A,B,D中的线段与长度为12的线段不能围成直角三角形,不符合题意.故选C.
解析
【分析】要判断三条线段能否围成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形三条边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时对每个选项，先将选项给出的两条线段与长度为12的线段放在一起，确定三条边中的最长边，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
【解析】根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A. 三条线段长为6，9，12，最长边为12，$6^2+9^2=36+81=117$，$12^2=144$，$117≠144$，不能构成直角三角形；
B. 三条线段长为10，12，16，最长边为16，$10^2+12^2=100+144=244$，$16^2=256$，$244≠256$，不能构成直角三角形；
C. 三条线段长为9，12，15，最长边为15，$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，满足两短边平方和等于最长边平方，能构成直角三角形；
D. 三条线段长为12，15，18，最长边为18，$12^2+15^2=144+225=369$，$18^2=324$，$369≠324$，不能构成直角三角形。
综上，选C。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时需注意先确定最长边作为斜边再进行验证，避免因未区分边长大小导致计算错误。
【难度系数】0.8
【解析】根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A. 三条线段长为6，9，12，最长边为12，$6^2+9^2=36+81=117$，$12^2=144$，$117≠144$，不能构成直角三角形；
B. 三条线段长为10，12，16，最长边为16，$10^2+12^2=100+144=244$，$16^2=256$，$244≠256$，不能构成直角三角形；
C. 三条线段长为9，12，15，最长边为15，$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，满足两短边平方和等于最长边平方，能构成直角三角形；
D. 三条线段长为12，15，18，最长边为18，$12^2+15^2=144+225=369$，$18^2=324$，$369≠324$，不能构成直角三角形。
综上，选C。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时需注意先确定最长边作为斜边再进行验证，避免因未区分边长大小导致计算错误。
【难度系数】0.8
2[2026北京东城区期末]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.(a+b)(a−b)=c²
D.a:b:c=5:12:13
B
）A.∠A+∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.(a+b)(a−b)=c²
D.a:b:c=5:12:13
答案
【解析】
A 因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,所以2∠C=180°,解得∠C=90°,所以△ABC为直角三角形 不符合题意
B 因为∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C = 180°,所以∠C= 180°×5/(3+4+5)=75°,所以△ABC不是直角三角形 符合题意
C 因为(a+b)(a−b)=c²,所以a²−b² = c²,所以a² = c² + b²,所以△ABC为直角三角形 不符合题意
D 因为a:b:c = 5:12:13,所以设a=5k,b=12k,c=13k,所以a² + b² = 25k² + 144k² = 169k² = c²,所以△ABC为直角三角形 不符合题意
故选B.
A 因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,所以2∠C=180°,解得∠C=90°,所以△ABC为直角三角形 不符合题意
B 因为∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C = 180°,所以∠C= 180°×5/(3+4+5)=75°,所以△ABC不是直角三角形 符合题意
C 因为(a+b)(a−b)=c²,所以a²−b² = c²,所以a² = c² + b²,所以△ABC为直角三角形 不符合题意
D 因为a:b:c = 5:12:13,所以设a=5k,b=12k,c=13k,所以a² + b² = 25k² + 144k² = 169k² = c²,所以△ABC为直角三角形 不符合题意
故选B.
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，可从两个维度思考：①从内角角度：利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角，或两个内角的和等于第三个内角；②从边长角度：利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”。我们只需逐个分析选项，找出不符合直角三角形特征的选项即可。
【解析】
A选项：
∵∠A+∠B=∠C，且三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
∴代入得2∠C=180°，解得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
B选项：
∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，三角形内角和为180°，
∴最大角∠C=$180°×\frac{5}{3+4+5}=75°＜90°$，故△ABC不是直角三角形，符合题意；
C选项：
∵$(a+b)(a-b)=c^2$，展开得$a^2-b^2=c^2$，即$a^2=b^2+c^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，不符合题意；
D选项：设$a=5k,b=12k,c=13k$（$k＞0$），
则$a^2+b^2=(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2=(13k)^2=c^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础常考题，核心考查角、边两个维度的判定方法，只要熟练掌握相关定理，注意计算时先确定最大边，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，可从两个维度思考：①从内角角度：利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角，或两个内角的和等于第三个内角；②从边长角度：利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”。我们只需逐个分析选项，找出不符合直角三角形特征的选项即可。
【解析】
A选项：
∵∠A+∠B=∠C，且三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
∴代入得2∠C=180°，解得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
B选项：
∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，三角形内角和为180°，
∴最大角∠C=$180°×\frac{5}{3+4+5}=75°＜90°$，故△ABC不是直角三角形，符合题意；
C选项：
∵$(a+b)(a-b)=c^2$，展开得$a^2-b^2=c^2$，即$a^2=b^2+c^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，不符合题意；
D选项：设$a=5k,b=12k,c=13k$（$k＞0$），
则$a^2+b^2=(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2=(13k)^2=c^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础常考题，核心考查角、边两个维度的判定方法，只要熟练掌握相关定理，注意计算时先确定最大边，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3[2026河南郑州调研]下列各组数中,是勾股数的是（
A.10,15,18
B.7,24,25
C.0.3,0.4,0.5
D.$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$
B
）A.10,15,18
B.7,24,25
C.0.3,0.4,0.5
D.$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$
答案
【解析】因为10²+15²≠18²,所以不能构成直角三角形,所以不是勾股数,故A选项不符合题意;因为7²+24²=25²,所以能构成直角三角形,且均为整数,是勾股数,故B选项符合题意;C和D选项中的数均不是整数,故不符合题意.故选B.
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个核心判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，也就是符合勾股定理逆定理的要求。解题时可以先根据第一个条件排除非整数的选项，再对剩下的整数组验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
勾股数是指满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，据此逐一分析选项：
A. 计算得$10^2+15^2=100+225=325$，$18^2=324$，$325≠324$，不满足平方和关系，不是勾股数，不符合题意；
B. 计算得$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足平方和关系，且7、24、25均为正整数，是勾股数，符合题意；
C. 0.3、0.4、0.5是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
D. $\frac{1}{6}、\frac{1}{8}、\frac{1}{10}$是分数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和相等就误选C、D选项，解题时需牢记勾股数的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个核心判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，也就是符合勾股定理逆定理的要求。解题时可以先根据第一个条件排除非整数的选项，再对剩下的整数组验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
勾股数是指满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，据此逐一分析选项：
A. 计算得$10^2+15^2=100+225=325$，$18^2=324$，$325≠324$，不满足平方和关系，不是勾股数，不符合题意；
B. 计算得$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足平方和关系，且7、24、25均为正整数，是勾股数，符合题意；
C. 0.3、0.4、0.5是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
D. $\frac{1}{6}、\frac{1}{8}、\frac{1}{10}$是分数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和相等就误选C、D选项，解题时需牢记勾股数的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.8
4[2026辽宁沈阳调研]一组勾股数，若其中两个为15,8，则第三个数为
17
.答案
【解析】设第三个数为x. 因为是一组勾股数,所以①x²+8²=15²,此时x的值不是整数;②15²+8²=x²,解得x=17,符合勾股数的定义.故答案为17.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确勾股数是满足勾股定理的三个正整数，由于不确定已知的15是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①假设15为斜边，第三个数和8是直角边，利用勾股定理计算第三个数，判断是否为正整数；②假设第三个数为斜边，15和8是直角边，同样利用勾股定理计算并判断是否符合勾股数的要求，最终得到符合条件的结果。
【解析】
设第三个数为$x$，根据勾股数的定义（三个正整数满足勾股定理），分两种情况讨论：
① 若$x$为直角边，15为斜边，则根据勾股定理可得：
$x^2 + 8^2 = 15^2$
计算得$x^2 = 15^2 - 8^2 = 225 - 64 = 161$，161不是完全平方数，因此$x$不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去该情况。
② 若$x$为斜边，15和8为直角边，则根据勾股定理可得：
$15^2 + 8^2 = x^2$
计算得$x^2 = 225 + 64 = 289$，解得$x = 17$（勾股数为正整数，舍去负根），17是正整数，符合勾股数的定义。
综上，第三个数为17。
【答案】
17
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题核心考查勾股数的概念和勾股定理的应用，解题时需注意两个关键点：一是勾股数必须是正整数，二是不确定斜边时要分情况讨论，避免因忽略限制条件或漏解出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确勾股数是满足勾股定理的三个正整数，由于不确定已知的15是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①假设15为斜边，第三个数和8是直角边，利用勾股定理计算第三个数，判断是否为正整数；②假设第三个数为斜边，15和8是直角边，同样利用勾股定理计算并判断是否符合勾股数的要求，最终得到符合条件的结果。
【解析】
设第三个数为$x$，根据勾股数的定义（三个正整数满足勾股定理），分两种情况讨论：
① 若$x$为直角边，15为斜边，则根据勾股定理可得：
$x^2 + 8^2 = 15^2$
计算得$x^2 = 15^2 - 8^2 = 225 - 64 = 161$，161不是完全平方数，因此$x$不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去该情况。
② 若$x$为斜边，15和8为直角边，则根据勾股定理可得：
$15^2 + 8^2 = x^2$
计算得$x^2 = 225 + 64 = 289$，解得$x = 17$（勾股数为正整数，舍去负根），17是正整数，符合勾股数的定义。
综上，第三个数为17。
【答案】
17
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题核心考查勾股数的概念和勾股定理的应用，解题时需注意两个关键点：一是勾股数必须是正整数，二是不确定斜边时要分情况讨论，避免因忽略限制条件或漏解出错。
【难度系数】
0.7
5 新考向开放性试题[2026浙江杭州调研]勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”。对任意正整数$a(a≠1)$，$b$，当$a$为偶数，$\frac{a^2}{2}=b+b+2$时，$a$，$b$，$b+2$为一组“勾股数”。若一组“勾股数”中的$a$为偶数，且其中一个数为8，则$b$对应的数为
(写出一个符合题意的数即可)
15(答案不唯一)
。(写出一个符合题意的数即可)
答案
【解析】当a=8时,b+b+2=8²/2,解得b=15,8,15,17是一组勾股数,故b=15符合题意;当b=8时,a²/2=8+8+2,则a=6(负值已舍去),6,8,10是一组勾股数,故b=8符合题意;当b+2=8时,b=6,则a²/2=6+6+2,所以a²=28,此时a不是正整数,故b=6不符合题意.综上所述,b对应的数为15或8,故答案为15(答案不唯一).
解析
【分析】
解决本题需结合题目给出的勾股数生成规则思考：已知勾股数$a$、$b$、$b+2$中有一个数为8，且$a$是不为1的正整数，因此需分三种情况讨论：①$a=8$；②$b=8$；③$b+2=8$，分别代入规则计算后，验证结果是否满足$a$为正整数的要求，即可得到符合条件的$b$值。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$a=8$时，代入公式$\frac{a^2}{2}=b+b+2$，可得$\frac{8^2}{2}=2b+2$，化简得$32=2b+2$，解得$b=15$，此时三个数为8、15、17，属于勾股数，符合要求；
2. 当$b=8$时，代入公式$\frac{a^2}{2}=b+b+2$，可得$\frac{a^2}{2}=8+8+2=18$，解得$a^2=36$，因$a$是不为1的正整数，故$a=6$，此时三个数为6、8、10，属于勾股数，符合要求；
3. 当$b+2=8$时，$b=6$，代入公式$\frac{a^2}{2}=6+6+2=14$，解得$a^2=28$，此时$a$不是正整数，不符合要求，舍去。
综上，符合题意的$b$值为15或8。
【答案】
15（答案不唯一，也可填8）
【知识点】
勾股数的定义；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股数的应用，解题的关键是明确三个数中等于8的对象，分情况计算后要注意验证结果是否满足正整数的要求，避免错解。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合题目给出的勾股数生成规则思考：已知勾股数$a$、$b$、$b+2$中有一个数为8，且$a$是不为1的正整数，因此需分三种情况讨论：①$a=8$；②$b=8$；③$b+2=8$，分别代入规则计算后，验证结果是否满足$a$为正整数的要求，即可得到符合条件的$b$值。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$a=8$时，代入公式$\frac{a^2}{2}=b+b+2$，可得$\frac{8^2}{2}=2b+2$，化简得$32=2b+2$，解得$b=15$，此时三个数为8、15、17，属于勾股数，符合要求；
2. 当$b=8$时，代入公式$\frac{a^2}{2}=b+b+2$，可得$\frac{a^2}{2}=8+8+2=18$，解得$a^2=36$，因$a$是不为1的正整数，故$a=6$，此时三个数为6、8、10，属于勾股数，符合要求；
3. 当$b+2=8$时，$b=6$，代入公式$\frac{a^2}{2}=6+6+2=14$，解得$a^2=28$，此时$a$不是正整数，不符合要求，舍去。
综上，符合题意的$b$值为15或8。
【答案】
15（答案不唯一，也可填8）
【知识点】
勾股数的定义；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股数的应用，解题的关键是明确三个数中等于8的对象，分情况计算后要注意验证结果是否满足正整数的要求，避免错解。
【难度系数】
0.7
6[2026江西九江期中]在$△ ABC$中，$∠ B=35°$，$BC^2 - AC^2 = AB^2$，则$∠ C$的大小为（
A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$90°$
B
）A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$90°$
答案
【解析】因为BC²−AC²=AB²,所以BC² = AC²+AB²,所以∠A=90°.因为∠B=35°,所以∠C=90°−∠B=55°,故选B.
解析
【分析】
首先观察题目给出的三角形三边的平方关系，联想到勾股定理的逆定理，先对等式变形判断三角形的形状，确定直角的位置，再结合三角形内角和为180°，代入已知的∠B的度数，即可求出∠C的大小。
【解析】
已知$BC^2 - AC^2 = AB^2$，移项可得$BC^2 = AC^2 + AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且最长边$BC$所对的角$∠ A=90°$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$∠ C=180°-∠ A-∠ B=90°-35°=55°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是通过边的平方关系，利用勾股定理逆定理确定直角的度数，再结合已知角度计算未知角，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的三角形三边的平方关系，联想到勾股定理的逆定理，先对等式变形判断三角形的形状，确定直角的位置，再结合三角形内角和为180°，代入已知的∠B的度数，即可求出∠C的大小。
【解析】
已知$BC^2 - AC^2 = AB^2$，移项可得$BC^2 = AC^2 + AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且最长边$BC$所对的角$∠ A=90°$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$∠ C=180°-∠ A-∠ B=90°-35°=55°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是通过边的平方关系，利用勾股定理逆定理确定直角的度数，再结合已知角度计算未知角，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7[2026云南昭通调研]如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=9 m,BC=12 m,CD=8 m,AD=17 m,则四边形ABCD的面积为 (
A.108 m²
B.114 m²
C.122 m²
D.158 m²
(第7题图)
(第8题图)
B
)A.108 m²
B.114 m²
C.122 m²
D.158 m²
(第7题图)
(第8题图)
答案
【解析】如图,连接AC. 因为∠B=90°,AB = 9 m, BC = 12 m, 所以AC²=AB²+BC²=9²+12²,所以AC = 15 m. 因为CD²+AC² = 8² + 15² = 17² = AD²,所以△ACD 为直角三角形,且∠ACD = 90°,所以四边形ABCD 的面积为S△ABC+S△ACD = 1/2×9×12 + 1/2×8×15 = 114 (m²),
故选B.解析
【分析】
本题求解不规则四边形的面积，可通过作辅助线将其转化为两个三角形计算面积。首先观察到∠B为直角，因此连接AC，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再结合已知的CD、AD的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；最后将两个直角三角形的面积相加，即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
如图，连接AC。
∵∠B=90°，AB=9 m，BC=12 m，
∴由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=225$，
∴AC=15 m。
∵CD=8 m，AD=17 m，
∴$CD^2+AC^2=8^2+15^2=289=17^2=AD^2$，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=54+60=114\ (\mathrm{m}^2)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，需要学生熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键，整体计算量不大，思路清晰即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题求解不规则四边形的面积，可通过作辅助线将其转化为两个三角形计算面积。首先观察到∠B为直角，因此连接AC，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再结合已知的CD、AD的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；最后将两个直角三角形的面积相加，即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
如图，连接AC。
∵∠B=90°，AB=9 m，BC=12 m，
∴由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=225$，
∴AC=15 m。
∵CD=8 m，AD=17 m，
∴$CD^2+AC^2=8^2+15^2=289=17^2=AD^2$，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=54+60=114\ (\mathrm{m}^2)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，需要学生熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键，整体计算量不大，思路清晰即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8[2025陕西咸阳质检]如图,在小正方形组成的$3×2$网格中,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B,C,D,M,N均在格点上,其中能与点M,N构成一个直角三角形的是 (
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
D
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
【解析】设题图中每个小正方形的边长均为1. A选项,连接MN,AN. 因为AM²=1²=1,MN²=1²+1²=2,AN²=1²+2²=5,所以AM²+MN²≠AN²,所以△AMN不是直角三角形,故A不符合题意. B选项,连接BM,BN,MN. 因为MN²=1²+1²=2,MB²=1²+2²=5,BN²=1²+2²=5,所以MN²+MB²≠BN²,所以△BMN不是直角三角形,故B不符合题意. C选项,连接MN,CN. 因为MN²=1²+1²=2,CN²=1²+2²=5,MC²=3²=9,所以MN²+CN²≠MC²,所以△CMN不是直角三角形,故C不符合题意. D选项,连接DM,DN,MN. 因为MN²=1²+1²=2,MD²=1²+3²=10,DN²=2²+2²=8,所以MN²+DN²=MD²,所以△DMN是直角三角形,故D符合题意.故选D.
解析
【分析】
要判断哪个点能与点M、N构成直角三角形，可利用勾股定理的逆定理解决。首先设每个小正方形的边长为1，针对每个选项，分别计算M、N与该点连接形成的三角形三条边的平方，再验证是否存在两条边的平方和等于第三条边的平方，满足该关系的即为直角三角形，对应选项即为正确答案。
【解析】
设题图中每个小正方形的边长均为1。
A选项，连接MN、AN：
$AM^2=1^2=1$，$MN^2=1^2+1^2=2$，$AN^2=1^2+2^2=5$，
∵$1+2≠5$，即$AM^2+MN^2≠AN^2$，
∴$△ AMN$不是直角三角形，故A不符合题意。
B选项，连接BM、BN、MN：
$MN^2=1^2+1^2=2$，$MB^2=1^2+2^2=5$，$BN^2=1^2+2^2=5$，
∵$2+5≠5$，即$MN^2+MB^2≠BN^2$，
∴$△ BMN$不是直角三角形，故B不符合题意。
C选项，连接MN、CN：
$MN^2=1^2+1^2=2$，$CN^2=1^2+2^2=5$，$MC^2=3^2=9$，
∵$2+5≠9$，即$MN^2+CN^2≠MC^2$，
∴$△ CMN$不是直角三角形，故C不符合题意。
D选项，连接DM、DN、MN：
$MN^2=1^2+1^2=2$，$MD^2=1^2+3^2=10$，$DN^2=2^2+2^2=8$，
∵$2+8=10$，即$MN^2+DN^2=MD^2$，
∴$△ DMN$是直角三角形，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于网格类几何基础题，核心考查勾股定理及逆定理的应用，解题关键是准确计算各线段的平方，再通过三边平方的数量关系判断是否为直角三角形，是该知识点的常考题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪个点能与点M、N构成直角三角形，可利用勾股定理的逆定理解决。首先设每个小正方形的边长为1，针对每个选项，分别计算M、N与该点连接形成的三角形三条边的平方，再验证是否存在两条边的平方和等于第三条边的平方，满足该关系的即为直角三角形，对应选项即为正确答案。
【解析】
设题图中每个小正方形的边长均为1。
A选项，连接MN、AN：
$AM^2=1^2=1$，$MN^2=1^2+1^2=2$，$AN^2=1^2+2^2=5$，
∵$1+2≠5$，即$AM^2+MN^2≠AN^2$，
∴$△ AMN$不是直角三角形，故A不符合题意。
B选项，连接BM、BN、MN：
$MN^2=1^2+1^2=2$，$MB^2=1^2+2^2=5$，$BN^2=1^2+2^2=5$，
∵$2+5≠5$，即$MN^2+MB^2≠BN^2$，
∴$△ BMN$不是直角三角形，故B不符合题意。
C选项，连接MN、CN：
$MN^2=1^2+1^2=2$，$CN^2=1^2+2^2=5$，$MC^2=3^2=9$，
∵$2+5≠9$，即$MN^2+CN^2≠MC^2$，
∴$△ CMN$不是直角三角形，故C不符合题意。
D选项，连接DM、DN、MN：
$MN^2=1^2+1^2=2$，$MD^2=1^2+3^2=10$，$DN^2=2^2+2^2=8$，
∵$2+8=10$，即$MN^2+DN^2=MD^2$，
∴$△ DMN$是直角三角形，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于网格类几何基础题，核心考查勾股定理及逆定理的应用，解题关键是准确计算各线段的平方，再通过三边平方的数量关系判断是否为直角三角形，是该知识点的常考题型。
【难度系数】
0.8
9[2026湖北黄冈期中]如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面2.5 m处向地面拉一条长6.5 m的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部的距离为
6
m时，这根电线杆便与地面垂直了.答案
【解析】如图,要使得这根电线杆与地面垂直,即∠ACB=90°,只需保证AC² + BC² = AB². 由题意可知AC=2.5 m,AB=6.5 m,所以BC²=AB²−AC²=6.5²−2.5²=36,所以BC = 6 m,所以当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部的距离为6 m时,这根电线杆便与地面垂直了.
故答案为6.解析
【分析】
要判断电线杆与地面垂直，本质是要让电线杆、缆绳、地面围成的三角形为直角三角形，且电线杆与地面的夹角为直角。根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形。本题已知缆绳长度（即三角形的斜边）和电线杆上缆绳固定点到地面的高度（即一条直角边），代入逆定理公式即可求出地面固定点到电线杆底部的距离。
【解析】
若电线杆与地面垂直，则$∠ ACB=90°$，$△ ACB$为直角三角形，根据勾股定理的逆定理，三边需满足$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
由题意可知$AC=2.5\ \mathrm{m}$，$AB=6.5\ \mathrm{m}$，代入公式计算：
$BC^2=AB^2 - AC^2=6.5^2 - 2.5^2=42.25 - 6.25=36$
因为距离为正数，因此$BC=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合电工固定电线杆的生活场景考查勾股定理逆定理的应用，将实际问题转化为直角三角形的判定问题，既考查了学生对基础定理的掌握程度，也能引导学生关注数学知识在生活中的实际用途。
【难度系数】
0.8
要判断电线杆与地面垂直，本质是要让电线杆、缆绳、地面围成的三角形为直角三角形，且电线杆与地面的夹角为直角。根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形。本题已知缆绳长度（即三角形的斜边）和电线杆上缆绳固定点到地面的高度（即一条直角边），代入逆定理公式即可求出地面固定点到电线杆底部的距离。
【解析】
若电线杆与地面垂直，则$∠ ACB=90°$，$△ ACB$为直角三角形，根据勾股定理的逆定理，三边需满足$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
由题意可知$AC=2.5\ \mathrm{m}$，$AB=6.5\ \mathrm{m}$，代入公式计算：
$BC^2=AB^2 - AC^2=6.5^2 - 2.5^2=42.25 - 6.25=36$
因为距离为正数，因此$BC=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合电工固定电线杆的生活场景考查勾股定理逆定理的应用，将实际问题转化为直角三角形的判定问题，既考查了学生对基础定理的掌握程度，也能引导学生关注数学知识在生活中的实际用途。
【难度系数】
0.8
10[2025四川成都质检]如图,小区有一块三角形空地ABC,计划将这块空地种上三种不同的花卉,中间用小路AD,DE隔开(小路宽度忽略不计),$DE ⊥ AB$.经测量,$AB=15$米,$AC=13$米,$AD=12$米,$DC=5$米.
(1)求BD的长;
(2)若铺设小路AD,DE每米需30元,则需花费多少?
(1)求BD的长;
(2)若铺设小路AD,DE每米需30元,则需花费多少?
答案
(1) 因为DC=5米,AC=13米,AD=12米,所以AD²+CD²=AC²,所以△ADC是直角三角形,∠ADC=90°,所以∠BDA=90°,所以BD²=AB²−AD²=15²−12²=81,所以BD=9米.
(2) 因为DE⊥AB,所以S△ABD = 1/2×AB×DE = 1/2×BD×AD,即1/2×15×DE = 1/2×9×12,所以DE=36/5米,所以(36/5 +12)×30=576(元).
答:需花费576元.
(2) 因为DE⊥AB,所以S△ABD = 1/2×AB×DE = 1/2×BD×AD,即1/2×15×DE = 1/2×9×12,所以DE=36/5米,所以(36/5 +12)×30=576(元).
答:需花费576元.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先观察△ADC的三边长，通过计算边长平方的关系，用勾股定理逆定理判断△ADC为直角三角形，得到∠ADC=90°，进而推出△ADB也是直角三角形，再在Rt△ADB中用勾股定理即可求出BD的长度。解决第(2)问时，总花费由小路总长度决定，AD长度已知，只需求DE的长度；DE是AB边上的高，利用△ABD面积的两种表示方法（等面积法）列等式即可求出DE，再用总长度乘单价就能得到总花费。
【解析】
(1) 已知DC=5米，AC=13米，AD=12米，计算得：
$AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AC^2=13^2=169$，
因此$AD^2+CD^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，且$∠ ADC=90°$，
所以$∠ ADB=180°-∠ ADC=90°$，即△ADB为直角三角形。
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$，
所以$BD=\sqrt{81}=9$米。
(2) 因为$DE⊥ AB$，所以DE是△ABD中AB边上的高。
△ABD的面积可表示为两种形式：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，也可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AD$，
因此有$\frac{1}{2}×15× DE=\frac{1}{2}×9×12$，
化简得$15DE=108$，解得$DE=\frac{36}{5}$米。
小路总长度为$AD+DE=12+\frac{36}{5}=\frac{96}{5}$米，
总花费为$\frac{96}{5}×30=576$元。
【答案】
(1) BD的长为9米；(2) 需花费576元。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题结合生活实际场景考查直角三角形的判定与性质，解题关键是先通过勾股定理逆定理确定直角，再选用勾股定理、等面积法计算线段长度，侧重对基础方法的应用考查。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先观察△ADC的三边长，通过计算边长平方的关系，用勾股定理逆定理判断△ADC为直角三角形，得到∠ADC=90°，进而推出△ADB也是直角三角形，再在Rt△ADB中用勾股定理即可求出BD的长度。解决第(2)问时，总花费由小路总长度决定，AD长度已知，只需求DE的长度；DE是AB边上的高，利用△ABD面积的两种表示方法（等面积法）列等式即可求出DE，再用总长度乘单价就能得到总花费。
【解析】
(1) 已知DC=5米，AC=13米，AD=12米，计算得：
$AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AC^2=13^2=169$，
因此$AD^2+CD^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ADC是直角三角形，且$∠ ADC=90°$，
所以$∠ ADB=180°-∠ ADC=90°$，即△ADB为直角三角形。
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$，
所以$BD=\sqrt{81}=9$米。
(2) 因为$DE⊥ AB$，所以DE是△ABD中AB边上的高。
△ABD的面积可表示为两种形式：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，也可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AD$，
因此有$\frac{1}{2}×15× DE=\frac{1}{2}×9×12$，
化简得$15DE=108$，解得$DE=\frac{36}{5}$米。
小路总长度为$AD+DE=12+\frac{36}{5}=\frac{96}{5}$米，
总花费为$\frac{96}{5}×30=576$元。
【答案】
(1) BD的长为9米；(2) 需花费576元。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题结合生活实际场景考查直角三角形的判定与性质，解题关键是先通过勾股定理逆定理确定直角，再选用勾股定理、等面积法计算线段长度，侧重对基础方法的应用考查。
【难度系数】
0.7
