登录
1[2026河南信阳期末，中]如果正整数$a,b,c$满足等式$a^2+b^2=c^2$，那么正整数$a,b,c$叫作勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知$x+y$的值为（
A.47
B.62
C.79
D.98
C
）A.47
B.62
C.79
D.98
答案
【解析】由题可得,3=2²−1,4=2×2,5=2²+1;8=3²−1,6=2×3,10=3²+1;15=4²−1,8=2×4,17=4²+1,…,所以a=n²−1,b=2n,c=n²+1,所以当c=n²+1=65时,n=8,所以x=63,y=16,所以x+y=79,故选C.
解析
【分析】
首先观察表格中给出的几组勾股数，分别寻找a、b、c三个数的变化规律，尝试将它们用同一个正整数n表示出来；再结合已知c=65，代入c的表达式求出n的值，最后将n分别代入a、b的表达式求出x、y的值，相加即可得到结果。
【解析】
观察表格中的数据可得：
第1组：$3=2^2-1$，$4=2×2$，$5=2^2+1$；
第2组：$8=3^2-1$，$6=2×3$，$10=3^2+1$；
第3组：$15=4^2-1$，$8=2×4$，$17=4^2+1$；
……
由此可归纳规律：$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$（n为大于等于2的正整数）。
当$c=65$时，$n^2+1=65$，解得$n^2=64$，因为n是正整数，所以$n=8$。
则$x=a=8^2-1=63$，$y=b=2×8=16$，所以$x+y=63+16=79$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数，规律探究，代数式求值
【点评】
本题结合勾股数的定义考查数字规律的探究，解题核心是通过观察已知的几组数据归纳出通用的表达式，既考查了学生的观察归纳能力，也检验了代数运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中给出的几组勾股数，分别寻找a、b、c三个数的变化规律，尝试将它们用同一个正整数n表示出来；再结合已知c=65，代入c的表达式求出n的值，最后将n分别代入a、b的表达式求出x、y的值，相加即可得到结果。
【解析】
观察表格中的数据可得：
第1组：$3=2^2-1$，$4=2×2$，$5=2^2+1$；
第2组：$8=3^2-1$，$6=2×3$，$10=3^2+1$；
第3组：$15=4^2-1$，$8=2×4$，$17=4^2+1$；
……
由此可归纳规律：$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$（n为大于等于2的正整数）。
当$c=65$时，$n^2+1=65$，解得$n^2=64$，因为n是正整数，所以$n=8$。
则$x=a=8^2-1=63$，$y=b=2×8=16$，所以$x+y=63+16=79$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数，规律探究，代数式求值
【点评】
本题结合勾股数的定义考查数字规律的探究，解题核心是通过观察已知的几组数据归纳出通用的表达式，既考查了学生的观察归纳能力，也检验了代数运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
2[2026 四川绵阳期中,中]甲、乙两艘客轮同时离开港口,航行的速度都是40 m/min,甲客轮沿北偏东$30°$的方向航行,甲客轮用15 min到达点A,乙客轮用20 min到达点B.若A,B两点间的直线距离为1 000 m,则乙客轮的航行方向可能是 (
A.北偏西$30°$
B.南偏西$60°$
C.南偏东$60°$
D.南偏西$30°$
C
)A.北偏西$30°$
B.南偏西$60°$
C.南偏东$60°$
D.南偏西$30°$
答案
【解析】如图,甲客轮的路程 PA = 40 × 15 = 600( m ),乙客轮的路程 PB = 20 × 40 = 800( m ),AB = 1 000 m. 因为600² + 800² = 1 000²,所以PA² + PB² = AB²,所以△APB 为直角三角形,且∠APB = 90°. 因为∠NPA = 30°,所以∠SPB = ∠NPB' = 60°,所以乙客轮的航行方向为南偏东 60°或北偏西60°,
故选C.解析
【分析】
解题首先根据行程公式“路程=速度×时间”分别计算出港口到A、B两点的距离，再结合A、B两点的直线距离，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定夹角∠APB的度数；再结合甲客轮的方位角，计算出乙客轮航行方向与正南方向的夹角，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算两艘客轮的航行路程：
甲客轮的路程 $ PA = 40 × 15 = 600(\mathrm{m}) $，
乙客轮的路程 $ PB = 40 × 20 = 800(\mathrm{m}) $，
已知 $ AB = 1000\mathrm{m} $。
计算三边平方可得：$ 600^2 + 800^2 = 360000 + 640000 = 1000000 = 1000^2 $，即 $ PA^2 + PB^2 = AB^2 $。
根据勾股定理的逆定理可得，$△ APB$ 为直角三角形，且 $ ∠ APB = 90° $。
已知甲客轮沿北偏东$30°$方向航行，即$∠ NPA = 30°$，因此可得$∠ SPB = 180° - 90° - 30° = 60°$，即乙客轮的航行方向为南偏东$60°$（北偏西$60°$不在选项范围内）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、方位角应用、行程问题计算
【点评】
本题结合实际航行场景综合考查多个知识点，需要学生将几何知识和实际问题结合，能够锻炼学生的知识迁移应用能力和读图分析能力。
【难度系数】
0.6
解题首先根据行程公式“路程=速度×时间”分别计算出港口到A、B两点的距离，再结合A、B两点的直线距离，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定夹角∠APB的度数；再结合甲客轮的方位角，计算出乙客轮航行方向与正南方向的夹角，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算两艘客轮的航行路程：
甲客轮的路程 $ PA = 40 × 15 = 600(\mathrm{m}) $，
乙客轮的路程 $ PB = 40 × 20 = 800(\mathrm{m}) $，
已知 $ AB = 1000\mathrm{m} $。
计算三边平方可得：$ 600^2 + 800^2 = 360000 + 640000 = 1000000 = 1000^2 $，即 $ PA^2 + PB^2 = AB^2 $。
根据勾股定理的逆定理可得，$△ APB$ 为直角三角形，且 $ ∠ APB = 90° $。
已知甲客轮沿北偏东$30°$方向航行，即$∠ NPA = 30°$，因此可得$∠ SPB = 180° - 90° - 30° = 60°$，即乙客轮的航行方向为南偏东$60°$（北偏西$60°$不在选项范围内）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、方位角应用、行程问题计算
【点评】
本题结合实际航行场景综合考查多个知识点，需要学生将几何知识和实际问题结合，能够锻炼学生的知识迁移应用能力和读图分析能力。
【难度系数】
0.6
3[2026 广东潮州期末, 中]在$△ ABC$中,$∠ A$, $∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$,且满足$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$,则$△ ABC$是________三角形.
答案
【解析】因为(a−b)² + |a² + b² − c²| = 0,所以a−b = 0,a² + b² − c² = 0. 因为a² + b²−c²=0,所以△ABC是直角三角形. 因为a = b,所以△ABC是等腰三角形,所以△ABC 是等腰直角三角形,故答案为等腰直角.
解析
【分析】
首先观察等式左边的结构，平方和绝对值都属于非负数，根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，由此可得到两个等量关系。再分别分析两个等量关系对应的三角形特征：边相等对应等腰三角形，满足勾股逆定理对应直角三角形，结合两个特征即可确定三角形形状。
【解析】
∵ $(a-b)^2≥0$，$|a^2 + b^2 - c^2|≥0$，且$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$
∴ $a-b=0$，$a^2 + b^2 - c^2=0$
由$a-b=0$得$a=b$，说明$△ ABC$是等腰三角形；
由$a^2 + b^2 - c^2=0$得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
因此$△ ABC$既是等腰三角形又是直角三角形，即等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形判定
【点评】
本题属于基础综合题，结合非负数性质和特殊三角形判定两个考点，解题核心是先利用非负数性质得到边的关系，再结合对应判定定理判断三角形形状，是该章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
首先观察等式左边的结构，平方和绝对值都属于非负数，根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，由此可得到两个等量关系。再分别分析两个等量关系对应的三角形特征：边相等对应等腰三角形，满足勾股逆定理对应直角三角形，结合两个特征即可确定三角形形状。
【解析】
∵ $(a-b)^2≥0$，$|a^2 + b^2 - c^2|≥0$，且$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$
∴ $a-b=0$，$a^2 + b^2 - c^2=0$
由$a-b=0$得$a=b$，说明$△ ABC$是等腰三角形；
由$a^2 + b^2 - c^2=0$得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
因此$△ ABC$既是等腰三角形又是直角三角形，即等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形判定
【点评】
本题属于基础综合题，结合非负数性质和特殊三角形判定两个考点，解题核心是先利用非负数性质得到边的关系，再结合对应判定定理判断三角形形状，是该章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
4[较难]在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D,E均是网格线的交点,则∠ACB−∠DCE=
45
°.答案
【解析】如图,标出点F,G,连接CG,AG. 由勾股定理得AG²=CG²=1²+2²=5,AC²=1²+3²=10,则AG²+CG²=AC²,所以△CAG是等腰直角三角形,∠CGA=90°,所以∠CAG=45°. 因为AF//BC,所以∠CAF=∠BCA. 在△AFG和△CDE中,{AF=CD,∠AFG=∠CDE=90°,FG=DE,所以△AFG≌△CDE(SAS),所以∠FAG = ∠DCE,所以∠ACB − ∠DCE = ∠CAF − ∠FAG = ∠CAG = 45°.
故答案为45.解析
【分析】
求解本题的核心思路是通过角的转化，将两个未知角的差转化为可直接计算的特殊角。首先利用平行线的内错角相等性质，把∠ACB转移为与∠DCE共顶点方向的∠CAF，将所求问题转化为求∠CAF与∠DCE的差；其次构造全等三角形，把∠DCE转化为和∠CAF共顶点的∠FAG，此时两角差就变为∠CAG；最后通过勾股定理计算△CAG的三边长度，用勾股定理逆定理证明其为等腰直角三角形，即可得到所求角度差。
【解析】
如图，标出点F、G，连接CG、AG。
由勾股定理得：$AG^2=CG^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=1^2+3^2=10$，
则$AG^2+CG^2=AC^2$，所以△CAG是等腰直角三角形，$∠ CGA=90°$，因此$∠ CAG=45°$。
因为$AF// BC$，根据平行线内错角相等可得$∠ CAF=∠ BCA$。
在△AFG和△CDE中：
$\begin{cases}AF=CD \\∠ AFG=∠ CDE=90° \\FG=DE\end{cases}$
所以$△ AFG≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，因此$∠ FAG=∠ DCE$。
所以$∠ ACB-∠ DCE=∠ CAF-∠ FAG=∠ CAG=45°$。
【答案】
$45$
【知识点】
勾股定理及逆定理，全等三角形判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于网格类角度计算问题，解题关键是通过构造辅助线完成角度的转化，将未知的两角差转化为特殊角的度数，综合考查了几何性质的灵活运用和转化思想，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
求解本题的核心思路是通过角的转化，将两个未知角的差转化为可直接计算的特殊角。首先利用平行线的内错角相等性质，把∠ACB转移为与∠DCE共顶点方向的∠CAF，将所求问题转化为求∠CAF与∠DCE的差；其次构造全等三角形，把∠DCE转化为和∠CAF共顶点的∠FAG，此时两角差就变为∠CAG；最后通过勾股定理计算△CAG的三边长度，用勾股定理逆定理证明其为等腰直角三角形，即可得到所求角度差。
【解析】
如图，标出点F、G，连接CG、AG。
由勾股定理得：$AG^2=CG^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=1^2+3^2=10$，
则$AG^2+CG^2=AC^2$，所以△CAG是等腰直角三角形，$∠ CGA=90°$，因此$∠ CAG=45°$。
因为$AF// BC$，根据平行线内错角相等可得$∠ CAF=∠ BCA$。
在△AFG和△CDE中：
$\begin{cases}AF=CD \\∠ AFG=∠ CDE=90° \\FG=DE\end{cases}$
所以$△ AFG≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，因此$∠ FAG=∠ DCE$。
所以$∠ ACB-∠ DCE=∠ CAF-∠ FAG=∠ CAG=45°$。
【答案】
$45$
【知识点】
勾股定理及逆定理，全等三角形判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于网格类角度计算问题，解题关键是通过构造辅助线完成角度的转化，将未知的两角差转化为特殊角的度数，综合考查了几何性质的灵活运用和转化思想，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
5[中]定义:如图,点M,N把线段AB分割成线段AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”.
(1)已知M,N把线段AB分割成线段AM,MN,NB,若$AM^2=4$,$MN^2=16$,$BN^2=12$,则点M,N是线段AB的“勾股分割点”吗?请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”,且AM不是最长线段,若$AB=12$,$AM=5$,求BN的长.
刷素养 走向重高
(1)已知M,N把线段AB分割成线段AM,MN,NB,若$AM^2=4$,$MN^2=16$,$BN^2=12$,则点M,N是线段AB的“勾股分割点”吗?请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”,且AM不是最长线段,若$AB=12$,$AM=5$,求BN的长.
刷素养 走向重高
答案
(1)是. 理由:因为AM²+BN²=4+12=16,MN²=16,所以AM²+NB²=MN²,所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形. 故点M,N是线段AB的“勾股分割点”.
(2)设BN=x,则MN=AB−AM−BN=7−x. ①当MN为最长线段时,依题意得MN² = AM² + NB²,即(7−x)²=x²+25,解得x=12/7;
②当BN为最长线段时,依题意得BN²=AM²+MN²,即x²=25+(7−x)²,解得x=37/7.
综上所述,BN 的长为12/7或37/7.
(2)设BN=x,则MN=AB−AM−BN=7−x. ①当MN为最长线段时,依题意得MN² = AM² + NB²,即(7−x)²=x²+25,解得x=12/7;
②当BN为最长线段时,依题意得BN²=AM²+MN²,即x²=25+(7−x)²,解得x=37/7.
综上所述,BN 的长为12/7或37/7.
解析
【分析】
(1)判断是否为“勾股分割点”的核心是验证AM、MN、NB的长度是否满足勾股定理逆定理，即两个较小边的平方和是否等于最大边的平方，只需将已知的三个平方值代入验证即可。
(2)已知AM不是最长线段，因此最长线段只能是MN或BN，需分两类讨论：先设BN长为x，利用线段和差关系用x表示出MN的长度，再根据两种最长边的情况分别列勾股定理方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1)点M,N是线段AB的“勾股分割点”，理由如下：
已知$AM^2=4$，$MN^2=16$，$BN^2=12$，
则$AM^2+BN^2=4+12=16=MN^2$，
根据勾股定理逆定理，以AM、MN、NB为边的三角形是直角三角形，符合“勾股分割点”的定义。
(2)设$BN=x$，则$MN=AB-AM-BN=12-5-x=7-x$，
由AM不是最长线段，分两种情况讨论：
①当MN为最长线段时，依题意得$MN^2=AM^2+BN^2$，
代入得：$(7-x)^2=5^2+x^2$，
展开化简得：$49-14x=25$，解得$x=\frac{12}{7}$；
②当BN为最长线段时，依题意得$BN^2=AM^2+MN^2$，
代入得：$x^2=5^2+(7-x)^2$，
展开化简得：$14x=74$，解得$x=\frac{37}{7}$。
【答案】
(1)是，理由见解析；
(2)BN的长为$\frac{12}{7}$或$\frac{37}{7}$。
【知识点】
勾股定理逆定理；分类讨论思想；线段和差计算
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是准确理解新定义的含义，第二问需要根据最长边的不同情况分类讨论，避免漏解，对逻辑思维的严谨性有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
(1)判断是否为“勾股分割点”的核心是验证AM、MN、NB的长度是否满足勾股定理逆定理，即两个较小边的平方和是否等于最大边的平方，只需将已知的三个平方值代入验证即可。
(2)已知AM不是最长线段，因此最长线段只能是MN或BN，需分两类讨论：先设BN长为x，利用线段和差关系用x表示出MN的长度，再根据两种最长边的情况分别列勾股定理方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1)点M,N是线段AB的“勾股分割点”，理由如下：
已知$AM^2=4$，$MN^2=16$，$BN^2=12$，
则$AM^2+BN^2=4+12=16=MN^2$，
根据勾股定理逆定理，以AM、MN、NB为边的三角形是直角三角形，符合“勾股分割点”的定义。
(2)设$BN=x$，则$MN=AB-AM-BN=12-5-x=7-x$，
由AM不是最长线段，分两种情况讨论：
①当MN为最长线段时，依题意得$MN^2=AM^2+BN^2$，
代入得：$(7-x)^2=5^2+x^2$，
展开化简得：$49-14x=25$，解得$x=\frac{12}{7}$；
②当BN为最长线段时，依题意得$BN^2=AM^2+MN^2$，
代入得：$x^2=5^2+(7-x)^2$，
展开化简得：$14x=74$，解得$x=\frac{37}{7}$。
【答案】
(1)是，理由见解析；
(2)BN的长为$\frac{12}{7}$或$\frac{37}{7}$。
【知识点】
勾股定理逆定理；分类讨论思想；线段和差计算
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是准确理解新定义的含义，第二问需要根据最长边的不同情况分类讨论，避免漏解，对逻辑思维的严谨性有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
6 核心素养推理能力 [较难]在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，设$AB$为最长边，当$a^2+b^2=c^2$时，$△ ABC$是直角三角形；当$a^2+b^2≠c^2$时，通过比较代数式$a^2+b^2$和$c^2$的大小，探究$△ ABC$的形状(按角分类)。
(1)当$△ ABC$三边长分别为6,8,9时，$△ ABC$为
(2)猜想：当$a^2+b^2$
(3)当$a=2,b=4$时，探究$△ ABC$的形状，并求出对应的$c^2$的取值范围。
(1)当$△ ABC$三边长分别为6,8,9时，$△ ABC$为
锐角
三角形；当$△ ABC$三边长分别为6,8,11时，$△ ABC$为钝角
三角形。(2)猜想：当$a^2+b^2$
＞
$c^2$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$a^2+b^2$ ＜
$c^2$时，$△ ABC$为钝角三角形。(3)当$a=2,b=4$时，探究$△ ABC$的形状，并求出对应的$c^2$的取值范围。
答案
(1)当一个直角三角形的两直角边长为6,8时,斜边长为10,因为9＜10,所以当△ABC三边长分别为6,8,9时,△ABC为锐角三角形;因为11＞10,所以当△ABC三边长分别为6,8,11时,△ABC为钝角三角形. 故答案为锐角,钝角.
(2)当a²+b²＞c²时,△ABC为锐角三角形;当a²+b²＜c²时,△ABC为钝角三角形. 故答案为＞,＜.
(3)因为c为最长边的长,2+4=6,所以4≤c＜6.
①当a²+b²＞c²,即c²＜20时,△ABC是锐角三角形,此时16≤c²＜20;
②当a²+b²=c²,即c²=20时,△ABC是直角三角形;
③当a²+b²＜c²,即c²＞20时,△ABC是钝角三角形,此时20＜c²＜36.
(2)当a²+b²＞c²时,△ABC为锐角三角形;当a²+b²＜c²时,△ABC为钝角三角形. 故答案为＞,＜.
(3)因为c为最长边的长,2+4=6,所以4≤c＜6.
①当a²+b²＞c²,即c²＜20时,△ABC是锐角三角形,此时16≤c²＜20;
②当a²+b²=c²,即c²=20时,△ABC是直角三角形;
③当a²+b²＜c²,即c²＞20时,△ABC是钝角三角形,此时20＜c²＜36.
解析
【分析】
本题是基于勾股定理逆定理的探究类题目，核心思路是通过最长边平方与另外两边平方和的大小关系判断三角形形状，具体思考步骤如下：1. 解决第(1)问时，先计算6、8为直角边时的斜边长为10，将给定的第三边与10比较：最长边小于10时，最大角小于90°，为锐角三角形；最长边大于10时，最大角大于90°，为钝角三角形。2. 第(2)问可通过第(1)问的实例直接归纳规律，比较$a^2+b^2$和$c^2$的大小即可得到对应结论。3. 第(3)问首先要注意题干中“AB为最长边”的前提，c是最长边意味着c对应的角是最大角，先根据三角形三边关系求出c的取值范围，再得到$c^2$的取值范围，最后分$a^2+b^2＞c^2$、$a^2+b^2=c^2$、$a^2+b^2＜c^2$三种情况分类讨论，得到不同形状下$c^2$的取值范围。
【解析】
(1) 当直角三角形两直角边长分别为6、8时，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。当△ABC三边长为6、8、9时，最大边长9＜10，说明最大角为锐角，因此△ABC为锐角三角形；当三边长为6、8、11时，最大边长11＞10，说明最大角为钝角，因此△ABC为钝角三角形。
(2) 由(1)的结论可猜想：当$a^2+b^2＞c^2$时，最大角为锐角，△ABC为锐角三角形；当$a^2+b^2＜c^2$时，最大角为钝角，△ABC为钝角三角形。
(3) 已知$a=2$，$b=4$，且c为最长边，根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，最长边不小于其余两边）可得：$4≤ c＜2+4=6$，因此$c^2$的取值范围为$16≤ c^2＜36$。
计算得$a^2+b^2=2^2+4^2=20$，分三种情况讨论：
① 当$a^2+b^2＞c^2$，即$c^2＜20$时，△ABC是锐角三角形，结合$c^2$的范围得$16≤ c^2＜20$；
② 当$a^2+b^2=c^2$，即$c^2=20$时，△ABC是直角三角形；
③ 当$a^2+b^2＜c^2$，即$c^2＞20$时，△ABC是钝角三角形，结合$c^2$的范围得$20＜c^2＜36$。
【答案】
(1) 锐角；钝角
(2) ＞；＜
(3) 当$16≤ c^2＜20$时，△ABC为锐角三角形；当$c^2=20$时，△ABC为直角三角形；当$20＜c^2＜36$时，△ABC为钝角三角形。
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理逆定理的拓展应用类题目，需要结合实例归纳规律，解题时要优先确定最长边的取值范围，再通过分类讨论得到不同情况的对应结论，能够有效锻炼逻辑推理和探究分析能力。
【难度系数】
0.6
本题是基于勾股定理逆定理的探究类题目，核心思路是通过最长边平方与另外两边平方和的大小关系判断三角形形状，具体思考步骤如下：1. 解决第(1)问时，先计算6、8为直角边时的斜边长为10，将给定的第三边与10比较：最长边小于10时，最大角小于90°，为锐角三角形；最长边大于10时，最大角大于90°，为钝角三角形。2. 第(2)问可通过第(1)问的实例直接归纳规律，比较$a^2+b^2$和$c^2$的大小即可得到对应结论。3. 第(3)问首先要注意题干中“AB为最长边”的前提，c是最长边意味着c对应的角是最大角，先根据三角形三边关系求出c的取值范围，再得到$c^2$的取值范围，最后分$a^2+b^2＞c^2$、$a^2+b^2=c^2$、$a^2+b^2＜c^2$三种情况分类讨论，得到不同形状下$c^2$的取值范围。
【解析】
(1) 当直角三角形两直角边长分别为6、8时，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。当△ABC三边长为6、8、9时，最大边长9＜10，说明最大角为锐角，因此△ABC为锐角三角形；当三边长为6、8、11时，最大边长11＞10，说明最大角为钝角，因此△ABC为钝角三角形。
(2) 由(1)的结论可猜想：当$a^2+b^2＞c^2$时，最大角为锐角，△ABC为锐角三角形；当$a^2+b^2＜c^2$时，最大角为钝角，△ABC为钝角三角形。
(3) 已知$a=2$，$b=4$，且c为最长边，根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，最长边不小于其余两边）可得：$4≤ c＜2+4=6$，因此$c^2$的取值范围为$16≤ c^2＜36$。
计算得$a^2+b^2=2^2+4^2=20$，分三种情况讨论：
① 当$a^2+b^2＞c^2$，即$c^2＜20$时，△ABC是锐角三角形，结合$c^2$的范围得$16≤ c^2＜20$；
② 当$a^2+b^2=c^2$，即$c^2=20$时，△ABC是直角三角形；
③ 当$a^2+b^2＜c^2$，即$c^2＞20$时，△ABC是钝角三角形，结合$c^2$的范围得$20＜c^2＜36$。
【答案】
(1) 锐角；钝角
(2) ＞；＜
(3) 当$16≤ c^2＜20$时，△ABC为锐角三角形；当$c^2=20$时，△ABC为直角三角形；当$20＜c^2＜36$时，△ABC为钝角三角形。
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理逆定理的拓展应用类题目，需要结合实例归纳规律，解题时要优先确定最长边的取值范围，再通过分类讨论得到不同情况的对应结论，能够有效锻炼逻辑推理和探究分析能力。
【难度系数】
0.6
