登录
1[中]已知$(x+a)(x+b)=x^2+mx+24$，其中$a,b$为整数，则整数$m$可能的取值有（
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
D
）A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
答案
1. D 【解析】$\because (x+a)(x+b)=x^2+mx+24$，$\therefore x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab=x^2+mx+24$，$\therefore a+b=m,ab=24$. $\because a,b$为整数，$\therefore \begin{cases}a=24,\\b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=12,\\b=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=8,\\b=3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=4,\\b=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=3,\\b=8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=2,\\b=12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=1,\\b=24\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-24,\\b=-1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-12,\\b=-2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-8,\\b=-3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-6,\\b=-4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-4,\\b=-6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-3,\\b=-8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-2,\\b=-12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-1,\\b=-24.\end{cases}$ $\because 24+1=25,12+2=14,8+3=11,6+4=10,-24-1=-25,-12-2=-14,-8-3=-11,-6-4=-10$，$\therefore a+b=25$或14或11或10或$-25$或$-14$或$-11$或$-10$，$\therefore$ 整数$m$可能的取值有8个.
2[中]甲、乙两个长方形的边长如图所示(m为正整数)，其面积分别为$S_1,S_2$.若满足条件$0＜n＜|S_1-S_2|$的整数$n$有且只有8个，则$m$为（
A.4
B.5
C.7
D.8
B
）A.4
B.5
C.7
D.8
答案
2. B 【解析】$\because S_1=(m+7)(m+1)=m^2+8m+7$，$S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8$，$\therefore S_1-S_2=2m-1$. $\because m$为正整数，$\therefore m$最小为1，$\therefore 2m-1＞0$，$\therefore |S_1-S_2|=|2m-1|=2m-1$. $\because 0＜n＜|S_1-S_2|$，$\therefore 0＜n＜2m-1$. 由题意得$8＜2m-1≤9$，解得$\frac{9}{2}＜m≤5$. $\because m$为正整数，$\therefore m=5$. 故选B.
3 新考法[2026湖南株洲期末,中]已知$(x+a)(x+b)=x^2+mx+n$,若不论a为何值,$2m-n$的值始终是一个确定的值,则这个确定的值是
4
.答案
3. 4 【解析】$\because (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$，$(x+a)(x+b)=x^2+mx+n$，$\therefore x^2+(a+b)x+ab=x^2+mx+n$，$\therefore m=a+b,n=ab$，$\therefore 2m-n=2a+2b-ab=a(2-b)+2b$. $\because$ 不论$a$为何值，$2m-n$的值始终是一个确定的值，$\therefore 2-b=0$，$\therefore b=2$，$\therefore 2m-n=2b=4$. 故答案为4.
4[2025重庆沙坪坝区校级期中,中]一个整式的项数若为奇数,则用此整式去乘$x-1$,若为偶数,则用此整式去乘$x+1$,所得结果记作$S_1$;$S_1$合并同类项后的项数若为奇数,则用$S_1$去乘$x-1$,若为偶数,则用$S_1$去乘$x+1$,所得结果记作$S_2$.下列说法正确的个数为
①若一个整式为$x+1$,则$S_1=x^2+2x+1$;
②若一个整式为$x$,且$S_1=3$,则$x^3-4x+1$的值为5;
③若一个整式为$2x^2+3$,且$S_1· S_2=a_7x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$,则$a_1+a_3+a_5+a_7=100$.
2
个.①若一个整式为$x+1$,则$S_1=x^2+2x+1$;
②若一个整式为$x$,且$S_1=3$,则$x^3-4x+1$的值为5;
③若一个整式为$2x^2+3$,且$S_1· S_2=a_7x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$,则$a_1+a_3+a_5+a_7=100$.
答案
4. 2 【解析】①若一个整式为$x+1$，则$S_1=(x+1)(x+1)=x^2+2x+1$，故①正确. ②若一个整式为$x$，则$S_1=x(x-1)=x^2-x$. $\because S_1=3$，$\therefore x^2-x=3$，$\therefore x^3=3x+x^2$，$\therefore x^3-4x+1=3x+x^2-4x+1=x^2-x+1=3+1=4$，故②错误. ③若一个整式为$2x^2+3$，则$S_1=(2x^2+3)(x+1)=2x^3+2x^2+3x+3$，$S_2=(2x^3+2x^2+3x+3)(x+1)=2x^4+2x^3+3x^2+3x+2x^3+2x^2+3x+3=2x^4+4x^3+5x^2+6x+3$，$\therefore S_1· S_2=4x^7+4x^6+6x^5+6x^4+8x^6+8x^5+12x^4+12x^3+10x^5+10x^4+15x^3+15x^2+12x^4+12x^3+18x^2+18x+6x^3+6x^2+9x+9=4x^7+12x^6+24x^5+40x^4+45x^3+39x^2+27x+9$. $\because S_1· S_2=a_7x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$，$\therefore a_1=27$，$a_3=45$，$a_5=24$，$a_7=4$，$\therefore a_1+a_3+a_5+a_7=27+45+24+4=100$，故③正确. 故答案为2.
5[中]有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决,请先阅读下面的解题过程,再解答问题.
例:若$x=6789×6786,y=6788×6787$,试比较$x,y$的大小.
解:设$6788=a$,那么$x=(a+1)(a-2)=a^2 -a -2,y=a(a-1)=a^2 -a$.
因为$x-y=(a^2 -a -2)-(a^2 -a)=-2$,所以$x＜y$.
利用上面的方法解答下面的问题:
若$x=2007×2011 -2008×2010,y=2008×2012 -2009×2011$,试比较$x,y$的大小.
例:若$x=6789×6786,y=6788×6787$,试比较$x,y$的大小.
解:设$6788=a$,那么$x=(a+1)(a-2)=a^2 -a -2,y=a(a-1)=a^2 -a$.
因为$x-y=(a^2 -a -2)-(a^2 -a)=-2$,所以$x＜y$.
利用上面的方法解答下面的问题:
若$x=2007×2011 -2008×2010,y=2008×2012 -2009×2011$,试比较$x,y$的大小.
答案
5.【解】设$2007=a$，则$x=a(a+4)-(a+1)(a+3)=a^2+4a-(a^2+3a+a+3)=a^2+4a-a^2-3a-a-3=-3$，$y=(a+1)(a+5)-(a+2)(a+4)=(a^2+5a+a+5)-(a^2+4a+2a+8)=a^2+5a+a+5-a^2-4a-2a-8=-3$，所以$x=y$.
6 核心素养运算能力[2026浙江杭州期末,较难]对于关于x的四个多项式A=x+a,B=x+b,C=x+c,D=x+d(a,b,c,d是常数),若存在一种将四个多项式分成两对的组合,使得其中一对多项式的积与另一对多项式的积的差为常数n,则称这种组合为消元组合,常数n是这种组合的消元余量.
例如:对于多项式A=x+1,B=x+2,C=x+3,D=x+4,因为A×D−B×C=(x+1)(x+4)−(x+2)⋅(x+3)=−2,所以A,D与C,B这种组合为消元组合,消元余量为−2.因为A×B−C×D=(x+1)(x+2)−(x+3)(x+4)=−4x−10,结果不是常数,所以A,B与C,D这种组合不是消元组合.
(1)若多项式A=x+1,B=x+4,C=x+8,D=x+5,判断A,C与B,D是否为消元组合.若是,请求出消元余量;若不是,请说明理由.
(2)若多项式A=x+1,B=x−2,C=x+5,D=x+p存在消元组合,则p的值为
(3)若多项式A=2x+1,B=x+4,C=2x+a,D=x+b存在消元组合,求a与b的关系式.
例如:对于多项式A=x+1,B=x+2,C=x+3,D=x+4,因为A×D−B×C=(x+1)(x+4)−(x+2)⋅(x+3)=−2,所以A,D与C,B这种组合为消元组合,消元余量为−2.因为A×B−C×D=(x+1)(x+2)−(x+3)(x+4)=−4x−10,结果不是常数,所以A,B与C,D这种组合不是消元组合.
(1)若多项式A=x+1,B=x+4,C=x+8,D=x+5,判断A,C与B,D是否为消元组合.若是,请求出消元余量;若不是,请说明理由.
(2)若多项式A=x+1,B=x−2,C=x+5,D=x+p存在消元组合,则p的值为
-6或8或2
.(3)若多项式A=2x+1,B=x+4,C=2x+a,D=x+b存在消元组合,求a与b的关系式.
答案
6.【解】(1)$A,C$与$B,D$是消元组合. $\because A=x+1$，$B=x+4$，$C=x+8$，$D=x+5$，$\therefore A× C - B× D=(x+1)(x+8)-(x+4)(x+5)=x^2+9x+8-(x^2+9x+20)=x^2+9x+8-x^2-9x-20=-12$，$\therefore A,C$与$B,D$是消元组合，消元余量是$-12$.
(2)分三种情况讨论:①$A,B$与$C,D$是消元组合，$A× B - C× D=(x+1)(x-2)-(x+5)(x+p)=x^2-x-2-(x^2+px+5x+5p)=x^2-x-2-x^2-px-5x-5p=-6x-px-2-5p=(-6-p)x-2-5p$，$\therefore -6-p=0$，解得$p=-6$.
②$A,C$与$B,D$是消元组合，$A× C - B× D=(x+1)(x+5)-(x-2)(x+p)=x^2+6x+5-(x^2+px-2x-2p)=x^2+6x+5-x^2-px+2x+2p=(8-p)x+5+2p$，$\therefore 8-p=0$，解得$p=8$.
③$A,D$与$B,C$是消元组合，$A× D - B× C=(x+1)(x+p)-(x-2)(x+5)=x^2+px+x+p-(x^2+5x-2x-10)=x^2+px+x+p-x^2-3x+10=(p-2)x+10+p$，$\therefore p-2=0$，解得$p=2$. 综上，$p=-6$或8或2. 故答案为$-6$或8或2.
(3)分三种情况讨论:①$A× B - C× D=(2x+1)(x+4)-(2x+a)(x+b)=2x^2+8x+x+4-(2x^2+2bx+ax+ab)=2x^2+9x+4-2x^2-2bx-ax-ab=(9-a-2b)x+4-ab$，若$A,B$与$C,D$是消元组合，则$9-a-2b=0$，$\therefore a=9-2b$.
②$\because A× C - B× D=(2x+1)(2x+a)-(x+4)(x+b)=4x^2+2ax+2x+a-(x^2+bx+4x+4b)=4x^2+2ax+2x+a-x^2-bx-4x-4b=3x^2+(2a-2-b)x+a-4b$，$\therefore A,C$与$B,D$不是消元组合.
③$A× D - B× C=(2x+1)(x+b)-(x+4)(2x+a)=2x^2+2bx+x+b-(2x^2+ax+8x+4a)=2x^2+2bx+x+b-2x^2-ax-8x-4a=(2b-a-7)x+b-4a$，若$A,D$与$B,C$是消元组合，则$2b-a-7=0$，$\therefore a=2b-7$. 综上，$a$与$b$的关系式为$a=9-2b$或$a=2b-7$.
(2)分三种情况讨论:①$A,B$与$C,D$是消元组合，$A× B - C× D=(x+1)(x-2)-(x+5)(x+p)=x^2-x-2-(x^2+px+5x+5p)=x^2-x-2-x^2-px-5x-5p=-6x-px-2-5p=(-6-p)x-2-5p$，$\therefore -6-p=0$，解得$p=-6$.
②$A,C$与$B,D$是消元组合，$A× C - B× D=(x+1)(x+5)-(x-2)(x+p)=x^2+6x+5-(x^2+px-2x-2p)=x^2+6x+5-x^2-px+2x+2p=(8-p)x+5+2p$，$\therefore 8-p=0$，解得$p=8$.
③$A,D$与$B,C$是消元组合，$A× D - B× C=(x+1)(x+p)-(x-2)(x+5)=x^2+px+x+p-(x^2+5x-2x-10)=x^2+px+x+p-x^2-3x+10=(p-2)x+10+p$，$\therefore p-2=0$，解得$p=2$. 综上，$p=-6$或8或2. 故答案为$-6$或8或2.
(3)分三种情况讨论:①$A× B - C× D=(2x+1)(x+4)-(2x+a)(x+b)=2x^2+8x+x+4-(2x^2+2bx+ax+ab)=2x^2+9x+4-2x^2-2bx-ax-ab=(9-a-2b)x+4-ab$，若$A,B$与$C,D$是消元组合，则$9-a-2b=0$，$\therefore a=9-2b$.
②$\because A× C - B× D=(2x+1)(2x+a)-(x+4)(x+b)=4x^2+2ax+2x+a-(x^2+bx+4x+4b)=4x^2+2ax+2x+a-x^2-bx-4x-4b=3x^2+(2a-2-b)x+a-4b$，$\therefore A,C$与$B,D$不是消元组合.
③$A× D - B× C=(2x+1)(x+b)-(x+4)(2x+a)=2x^2+2bx+x+b-(2x^2+ax+8x+4a)=2x^2+2bx+x+b-2x^2-ax-8x-4a=(2b-a-7)x+b-4a$，若$A,D$与$B,C$是消元组合，则$2b-a-7=0$，$\therefore a=2b-7$. 综上，$a$与$b$的关系式为$a=9-2b$或$a=2b-7$.
