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7 核心素养推理能力[难]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,点$D$在$AC$上,点$E$在$AB$上,连接$DE$.
(1)当$DE// BC$时,如图(1).
①若$DE$平分$△ ABC$的面积(即把$△ ABC$的面积分成相等的两部分),求$AD$的长.
②若$DE$平分$△ ABC$的周长,求$AD$的长.
(2)如图(2),试问:是否存在$DE$将$△ ABC$的周长和面积同时平分?若存在,求出$AD$的长;若不存在,请说明理由.
(1)当$DE// BC$时,如图(1).
①若$DE$平分$△ ABC$的面积(即把$△ ABC$的面积分成相等的两部分),求$AD$的长.
②若$DE$平分$△ ABC$的周长,求$AD$的长.
(2)如图(2),试问:是否存在$DE$将$△ ABC$的周长和面积同时平分?若存在,求出$AD$的长;若不存在,请说明理由.
答案
7. 【解】(1)①
∵ DE//BC,
∴ △ADE∽△ACB.
∵ DE平分△ABC的面积,
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACB}} = \frac{1}{2}$,
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,即 $\frac{AD}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,解得 $AD = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
②在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴ $AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$,
∴ △ABC的周长为3+4+5=12.
∵ DE平分△ABC的周长,
∴ AD+AE = 6,即 AE = 6 - AD.
∵ DE//BC,
∴ △ADE∽△ACB,
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$,即 $\frac{AD}{3} = \frac{6-AD}{5}$,解得 $AD = \frac{9}{4}$.
(2)存在. 如图
,过点E作EF⊥AC于F. 设DE将△ABC的周长平分,则AD+AE=6.设AD=x,则AE=6-x.
∵ EF//BC,
∴ △AEF∽△ABC,
∴ $\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB}$,即 $\frac{EF}{4} = \frac{6-x}{5}$,解得 $EF = \frac{24-4x}{5}$,
∴ $S_{△ ADE} = \frac{1}{2} AD · EF = \frac{1}{2} x · \frac{24-4x}{5} = -\frac{2}{5} x^2 + \frac{12}{5} x$.
当DE将△ABC的面积平分时, $-\frac{2}{5} x^2 + \frac{12}{5} x = \frac{1}{2} × 3 × 4 × \frac{1}{2}$,解得$x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2}$, $x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$.
∵ 0＜x＜3,
∴ $x=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$,即当$AD=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$时,DE将△ABC的周长和面积同时平分.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用相似三角形的性质建立线段与面积的关系：
1. (1)①中，由DE//BC可证△ADE∽△ACB，相似三角形面积比等于相似比的平方，已知DE平分△ABC的面积，即$S_{△ADE}:S_{△ACB}=1:2$，先求出相似比，再结合AC=3即可计算AD的长。
2. (1)②中，先由勾股定理求出AB的长度，得到△ABC的总周长，平分周长则AD+AE等于周长的一半即6，再利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求解AD。
3. (2)中，假设存在符合条件的DE，设AD=x，由平分周长得AE=6-x，过E作EF⊥AC于F，可证△AEF∽△ABC，用相似比例式将EF用含x的代数式表示，再根据△ADE的面积等于原三角形面积的一半列一元二次方程，求解后结合AD的取值范围（$0＜AD＜3$）舍去不合理解，即可得出结论。
【解析】
(1)①
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ACB。
∵ DE平分△ABC的面积，
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACB}} = \frac{1}{2}$，
∴ 相似比$\frac{AD}{AC} = \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即 $\frac{AD}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，解得 $AD = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
②在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得$AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$，
∴ △ABC的周长为$3+4+5=12$。
∵ DE平分△ABC的周长，
∴ $AD+AE = \frac{1}{2}×12=6$，即 $AE = 6 - AD$。
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ACB，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，即 $\frac{AD}{3} = \frac{6-AD}{5}$，
交叉相乘得$5AD=18-3AD$，解得 $AD = \frac{9}{4}$。
(2)存在。 如图，过点E作EF⊥AC于F。
若DE将△ABC的周长平分，则$AD+AE=6$，
设$AD=x$，则$AE=6-x$。
∵ EF//BC，
∴ △AEF∽△ABC，
∴ $\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB}$，即 $\frac{EF}{4} = \frac{6-x}{5}$，解得 $EF = \frac{24-4x}{5}$，
∴ $S_{△ ADE} = \frac{1}{2} · AD · EF = \frac{1}{2} x · \frac{24-4x}{5} = -\frac{2}{5} x^2 + \frac{12}{5} x$。
若DE平分△ABC的面积，则$S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$，即$-\frac{2}{5} x^2 + \frac{12}{5} x = 3$，
化简得$2x^2-12x+15=0$，解得$x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$。
∵ 点D在AC上，
∴$0＜x＜3$，
$\frac{6+\sqrt{6}}{2}＞3$，不符合要求，舍去，
∴ $x=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，即当$AD=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$时，DE将△ABC的周长和面积同时平分。
【答案】
(1)①$AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$；②$AD=\frac{9}{4}$；
(2)存在，$AD=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，辅助线作法：如图，过点E作EF⊥AC于F。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题综合考查了相似三角形、勾股定理和一元二次方程的相关知识，解题的关键是结合平分周长、平分面积的条件，利用相似三角形的性质建立等量关系列方程求解，同时要注意结合线段的实际取值范围对方程的解进行取舍，对综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
解决本题的核心是利用相似三角形的性质建立线段与面积的关系：
1. (1)①中，由DE//BC可证△ADE∽△ACB，相似三角形面积比等于相似比的平方，已知DE平分△ABC的面积，即$S_{△ADE}:S_{△ACB}=1:2$，先求出相似比，再结合AC=3即可计算AD的长。
2. (1)②中，先由勾股定理求出AB的长度，得到△ABC的总周长，平分周长则AD+AE等于周长的一半即6，再利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求解AD。
3. (2)中，假设存在符合条件的DE，设AD=x，由平分周长得AE=6-x，过E作EF⊥AC于F，可证△AEF∽△ABC，用相似比例式将EF用含x的代数式表示，再根据△ADE的面积等于原三角形面积的一半列一元二次方程，求解后结合AD的取值范围（$0＜AD＜3$）舍去不合理解，即可得出结论。
【解析】
(1)①
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ACB。
∵ DE平分△ABC的面积，
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACB}} = \frac{1}{2}$，
∴ 相似比$\frac{AD}{AC} = \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即 $\frac{AD}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，解得 $AD = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
②在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得$AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$，
∴ △ABC的周长为$3+4+5=12$。
∵ DE平分△ABC的周长，
∴ $AD+AE = \frac{1}{2}×12=6$，即 $AE = 6 - AD$。
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ACB，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，即 $\frac{AD}{3} = \frac{6-AD}{5}$，
交叉相乘得$5AD=18-3AD$，解得 $AD = \frac{9}{4}$。
(2)存在。 如图
，过点E作EF⊥AC于F。若DE将△ABC的周长平分，则$AD+AE=6$，
设$AD=x$，则$AE=6-x$。
∵ EF//BC，
∴ △AEF∽△ABC，
∴ $\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB}$，即 $\frac{EF}{4} = \frac{6-x}{5}$，解得 $EF = \frac{24-4x}{5}$，
∴ $S_{△ ADE} = \frac{1}{2} · AD · EF = \frac{1}{2} x · \frac{24-4x}{5} = -\frac{2}{5} x^2 + \frac{12}{5} x$。
若DE平分△ABC的面积，则$S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$，即$-\frac{2}{5} x^2 + \frac{12}{5} x = 3$，
化简得$2x^2-12x+15=0$，解得$x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$。
∵ 点D在AC上，
∴$0＜x＜3$，
$\frac{6+\sqrt{6}}{2}＞3$，不符合要求，舍去，
∴ $x=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，即当$AD=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$时，DE将△ABC的周长和面积同时平分。
【答案】
(1)①$AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$；②$AD=\frac{9}{4}$；
(2)存在，$AD=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，辅助线作法：如图
，过点E作EF⊥AC于F。【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题综合考查了相似三角形、勾股定理和一元二次方程的相关知识，解题的关键是结合平分周长、平分面积的条件，利用相似三角形的性质建立等量关系列方程求解，同时要注意结合线段的实际取值范围对方程的解进行取舍，对综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
1 直角三角形内接四边形 [2025上海静安区期中，中]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=6$，$AC=8$，四边形$DEGF$为其内接正方形，那么$AD:EB=$
16:9
。答案
1. 16:9 【解析】如图
,作CN⊥AB,交GF于点M,交AB于点N. 在Rt△ABC中,∵ AC=8, BC=6,
∴ AB=10,
∴ $\frac{1}{2} AB · CN = \frac{1}{2} AC · BC$,
∴ $CN = \frac{24}{5}$. 设正方形DEGF的边长为a,
∵ GF//AB,
∴ △CGF∽△CAB,
∴ $\frac{CM}{CN} = \frac{GF}{AB}$,
∴ $\frac{\frac{24}{5} - a}{\frac{24}{5}} = \frac{a}{10}$, 解得$a=\frac{120}{37}$. 又
∵ △ADG∽△ACB,
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{DG}{CB}$,
∴ $\frac{AD}{8} = \frac{a}{6}$, 得$AD= \frac{160}{37}$. 同理可得$BE= \frac{90}{37}$,
∴ AD:EB = 16:9.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度，再通过三角形面积的两种计算方式求出斜边上的高CN；接下来利用内接正方形对边平行的性质，可得△CGF与△CAB相似，结合相似三角形对应高的比等于相似比，求出正方形的边长；最后根据左右两侧的小直角三角形与大直角三角形相似，分别求出AD、EB的长度，计算二者的比值即可。
【解析】
如图，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
根据三角形面积相等可得：$\frac{1}{2} AB · CN = \frac{1}{2} AC · BC$，
代入数值计算得：$CN=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$。
设正方形DEGF的边长为a，
∵ 四边形DEGF是正方形，
∴ GF//AB，
∴ △CGF∽△CAB，CM、CN分别是△CGF和△CAB的对应高，
∴ $\frac{CM}{CN} = \frac{GF}{AB}$，其中$CM=CN - MN=\frac{24}{5}-a$，$GF=a$，
代入得：$\frac{\frac{24}{5} - a}{\frac{24}{5}} = \frac{a}{10}$，
解方程得$a=\frac{120}{37}$。
∵ FD⊥AB，∠A是△ADF和△ACB的公共角，
∴ △ADF∽△ACB，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{DF}{BC}$，即$\frac{AD}{8} = \frac{\frac{120}{37}}{6}$，解得$AD=\frac{160}{37}$。
同理可得△BEG∽△BCA，代入数值计算得$EB=\frac{90}{37}$。
∴ $AD:EB=\frac{160}{37}:\frac{90}{37}=16:9$。
【答案】
$16:9$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形在三角形内接多边形问题中的典型应用，解题核心是通过作斜边上的高构造相似三角形，结合正方形的性质利用相似比求解未知线段，这类题的解题方法通用性较强，需要熟练掌握其辅助线作法和推导逻辑。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度，再通过三角形面积的两种计算方式求出斜边上的高CN；接下来利用内接正方形对边平行的性质，可得△CGF与△CAB相似，结合相似三角形对应高的比等于相似比，求出正方形的边长；最后根据左右两侧的小直角三角形与大直角三角形相似，分别求出AD、EB的长度，计算二者的比值即可。
【解析】
如图
，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N。在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
根据三角形面积相等可得：$\frac{1}{2} AB · CN = \frac{1}{2} AC · BC$，
代入数值计算得：$CN=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$。
设正方形DEGF的边长为a，
∵ 四边形DEGF是正方形，
∴ GF//AB，
∴ △CGF∽△CAB，CM、CN分别是△CGF和△CAB的对应高，
∴ $\frac{CM}{CN} = \frac{GF}{AB}$，其中$CM=CN - MN=\frac{24}{5}-a$，$GF=a$，
代入得：$\frac{\frac{24}{5} - a}{\frac{24}{5}} = \frac{a}{10}$，
解方程得$a=\frac{120}{37}$。
∵ FD⊥AB，∠A是△ADF和△ACB的公共角，
∴ △ADF∽△ACB，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{DF}{BC}$，即$\frac{AD}{8} = \frac{\frac{120}{37}}{6}$，解得$AD=\frac{160}{37}$。
同理可得△BEG∽△BCA，代入数值计算得$EB=\frac{90}{37}$。
∴ $AD:EB=\frac{160}{37}:\frac{90}{37}=16:9$。
【答案】
$16:9$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形在三角形内接多边形问题中的典型应用，解题核心是通过作斜边上的高构造相似三角形，结合正方形的性质利用相似比求解未知线段，这类题的解题方法通用性较强，需要熟练掌握其辅助线作法和推导逻辑。
【难度系数】
0.6
2 锐角三角形内接四边形 [2025江苏南京期中,较难]如图,△ABC是一块锐角三角形材料,边BC=120 mm,高AD=80 mm.
(1)如图(1),要把它加工成正方形零件PNMQ,使得正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,求这个正方形零件的边长.
(2)如图(2),要把它加工成矩形零件PNMQ,PN＞PQ,且矩形的长是宽的2倍,其他条件不变,求这个矩形零件的长和宽.
(3)如图(3),如果要加工成的矩形零件PNMQ的长与宽的倍数不确定,其他条件不变,那么这个矩形零件的面积有最大值,求这个矩形零件的最大面积.
(1)如图(1),要把它加工成正方形零件PNMQ,使得正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,求这个正方形零件的边长.
(2)如图(2),要把它加工成矩形零件PNMQ,PN＞PQ,且矩形的长是宽的2倍,其他条件不变,求这个矩形零件的长和宽.
(3)如图(3),如果要加工成的矩形零件PNMQ的长与宽的倍数不确定,其他条件不变,那么这个矩形零件的面积有最大值,求这个矩形零件的最大面积.
答案
2. 【解】(1)设正方形零件的边长为x mm, 则AE = AD - ED = (80 - x) mm.
由题可知PN//BC,
∴ △APN∽△ABC,
∴ $\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$,
∴ $\frac{x}{120} = \frac{80-x}{80}$, 解得x=48,
∴ 这个正方形零件的边长是48 mm.
(2)设PN=2y mm,则PQ=ED=y mm,
∴ AE = AD - ED = (80 - y) mm.
由题可知,PN//BC,
∴ △APN∽△ABC,
∴ $\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$,
∴ $\frac{2y}{120} = \frac{80-y}{80}$, 解得$y=\frac{240}{7}$,
∴ $PN= \frac{240}{7} × 2 = \frac{480}{7}$ (mm),
∴ 这个矩形零件的长和宽分别为$\frac{480}{7}$ mm, $\frac{240}{7}$ mm.
(3)设PN=a mm,矩形零件PQMN的面积为S mm². 同理可得△APN∽△ABC,
∴ $\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$,
∴ $\frac{a}{120} = \frac{80-PQ}{80}$, 解得$PQ = 80 - \frac{2}{3} a$,
∴ $S = PN · PQ = a(80 - \frac{2}{3} a) = -\frac{2}{3} a^2 + 80a = -\frac{2}{3} (a-60)^2 + 2400$.
∵ $-\frac{2}{3} ＜ 0$,
∴ 当a=60时,S有最大值,最大值为2400,
∴ 这个矩形零件的最大面积为2400 mm².
由题可知PN//BC,
∴ △APN∽△ABC,
∴ $\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$,
∴ $\frac{x}{120} = \frac{80-x}{80}$, 解得x=48,
∴ 这个正方形零件的边长是48 mm.
(2)设PN=2y mm,则PQ=ED=y mm,
∴ AE = AD - ED = (80 - y) mm.
由题可知,PN//BC,
∴ △APN∽△ABC,
∴ $\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$,
∴ $\frac{2y}{120} = \frac{80-y}{80}$, 解得$y=\frac{240}{7}$,
∴ $PN= \frac{240}{7} × 2 = \frac{480}{7}$ (mm),
∴ 这个矩形零件的长和宽分别为$\frac{480}{7}$ mm, $\frac{240}{7}$ mm.
(3)设PN=a mm,矩形零件PQMN的面积为S mm². 同理可得△APN∽△ABC,
∴ $\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$,
∴ $\frac{a}{120} = \frac{80-PQ}{80}$, 解得$PQ = 80 - \frac{2}{3} a$,
∴ $S = PN · PQ = a(80 - \frac{2}{3} a) = -\frac{2}{3} a^2 + 80a = -\frac{2}{3} (a-60)^2 + 2400$.
∵ $-\frac{2}{3} ＜ 0$,
∴ 当a=60时,S有最大值,最大值为2400,
∴ 这个矩形零件的最大面积为2400 mm².
解析
【分析】
本题三个小问均以三角形内接矩形（含正方形）为背景，核心解题思路一致：①首先由矩形对边平行得到PN//BC，进而判定△APN∽△ABC；②根据相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质建立比例式；③结合各小问的图形性质设未知数，列方程或函数关系式求解。
（1）问设正方形边长为x，利用AE=AD-ED（ED等于正方形边长）代入比例式解方程即可；（2）问设矩形宽为y，则长为2y，同理代入比例式求解后得到长宽；（3）问设矩形长为a，先通过比例式把宽用a表示，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，配方求最大值即可。
【解析】
(1) 设正方形零件的边长为x mm，则ED=x mm，AE = AD - ED = (80 - x) mm。
∵四边形PNMQ是正方形，
∴PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：$\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$，
代入数据得：$\frac{x}{120} = \frac{80-x}{80}$，
解得x=48。
(2) 设矩形的宽PQ=y mm，由长是宽的2倍且PN＞PQ，得PN=2y mm，则ED=PQ=y mm，AE = AD - ED = (80 - y) mm。
∵四边形PNMQ是矩形，
∴PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
同理可得：$\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$，
代入数据得：$\frac{2y}{120} = \frac{80-y}{80}$，
解得$y=\frac{240}{7}$，
则长$PN=2y=2×\frac{240}{7}=\frac{480}{7}$ mm。
(3) 设矩形的长PN=a mm，矩形面积为S mm²。
由PN//BC得△APN∽△ABC，故$\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$，即$\frac{a}{120} = \frac{80-PQ}{80}$，
解得$PQ = 80 - \frac{2}{3}a$。
矩形面积$S = PN·PQ = a(80 - \frac{2}{3}a) = -\frac{2}{3}a^2 + 80a$，
配方得：$S= -\frac{2}{3}(a-60)^2 + 2400$，
∵$-\frac{2}{3} ＜ 0$，二次函数开口向下，
∴当a=60时，S取得最大值，最大值为2400 mm²。
【答案】
(1) 这个正方形零件的边长是48 mm；
(2) 这个矩形零件的长为$\frac{480}{7}$ mm，宽为$\frac{240}{7}$ mm；
(3) 这个矩形零件的最大面积为2400 mm²。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 二次函数最值应用
3. 矩形与正方形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题型，解题的关键是抓住相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，既考查了相似三角形的基础性质，又结合了二次函数求最值的知识，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
本题三个小问均以三角形内接矩形（含正方形）为背景，核心解题思路一致：①首先由矩形对边平行得到PN//BC，进而判定△APN∽△ABC；②根据相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质建立比例式；③结合各小问的图形性质设未知数，列方程或函数关系式求解。
（1）问设正方形边长为x，利用AE=AD-ED（ED等于正方形边长）代入比例式解方程即可；（2）问设矩形宽为y，则长为2y，同理代入比例式求解后得到长宽；（3）问设矩形长为a，先通过比例式把宽用a表示，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，配方求最大值即可。
【解析】
(1) 设正方形零件的边长为x mm，则ED=x mm，AE = AD - ED = (80 - x) mm。
∵四边形PNMQ是正方形，
∴PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：$\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$，
代入数据得：$\frac{x}{120} = \frac{80-x}{80}$，
解得x=48。
(2) 设矩形的宽PQ=y mm，由长是宽的2倍且PN＞PQ，得PN=2y mm，则ED=PQ=y mm，AE = AD - ED = (80 - y) mm。
∵四边形PNMQ是矩形，
∴PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
同理可得：$\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$，
代入数据得：$\frac{2y}{120} = \frac{80-y}{80}$，
解得$y=\frac{240}{7}$，
则长$PN=2y=2×\frac{240}{7}=\frac{480}{7}$ mm。
(3) 设矩形的长PN=a mm，矩形面积为S mm²。
由PN//BC得△APN∽△ABC，故$\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$，即$\frac{a}{120} = \frac{80-PQ}{80}$，
解得$PQ = 80 - \frac{2}{3}a$。
矩形面积$S = PN·PQ = a(80 - \frac{2}{3}a) = -\frac{2}{3}a^2 + 80a$，
配方得：$S= -\frac{2}{3}(a-60)^2 + 2400$，
∵$-\frac{2}{3} ＜ 0$，二次函数开口向下，
∴当a=60时，S取得最大值，最大值为2400 mm²。
【答案】
(1) 这个正方形零件的边长是48 mm；
(2) 这个矩形零件的长为$\frac{480}{7}$ mm，宽为$\frac{240}{7}$ mm；
(3) 这个矩形零件的最大面积为2400 mm²。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 二次函数最值应用
3. 矩形与正方形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题型，解题的关键是抓住相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，既考查了相似三角形的基础性质，又结合了二次函数求最值的知识，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
