1[中]如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$CA=4$,点$D$为$AC$中点,点$E$在$AB$上,当$AE=$时,$△ ABC$与以点$A,D,E$为顶点的三角形相似.

(第1题图)
(第2题图)

1. 3 或 $\frac{4}{3}$
【解析】
∵ D 为 AC 中点,
∴ AD = $\frac{1}{2}CA=2$. 当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时,
∵ ∠A = ∠A,
∴ △AED∽△ABC,
∴ AE = $\frac{AB·AD}{AC}=\frac{6×2}{4}=3$. 当$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$时,
∵ ∠A = ∠A,
∴ △ADE ∽ △ABC,
∴ AE = $\frac{AC·AD}{AB}=\frac{4×2}{6}=\frac{4}{3}$. 综上, AE = 3 或 $\frac{4}{3}$ 时,△ABC 与以点 A,D,E 为顶点的三角形相似。

【分析】
本题是相似三角形的存在性问题，解题思路如下：首先根据点D是AC中点求出AD的长度；其次两个三角形有公共角∠A，结合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，由于题目未明确两个三角形的顶点对应顺序，需分两种情况讨论对应边的比例关系；最后分别根据两种比例关系列等式求解AE的长度，汇总结果即可。
【解析】
解：
∵ 点D为AC中点，$CA=4$，
∴ $AD = \frac{1}{2}CA = \frac{1}{2}×4=2$。
两个三角形有公共角$∠ A$，分两种情况讨论：
① 当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时，
∵ $∠ A = ∠ A$，
∴ $△ AED ∽ △ ABC$，
代入$AB=6$，$AD=2$，$AC=4$，得：
$AE = \frac{AB·AD}{AC}=\frac{6×2}{4}=3$。
② 当$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$时，
∵ $∠ A = ∠ A$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
代入$AC=4$，$AD=2$，$AB=6$，得：
$AE = \frac{AC·AD}{AB}=\frac{4×2}{6}=\frac{4}{3}$。
综上，$AE$的长为3或$\frac{4}{3}$。
【答案】
3 或 $\frac{4}{3}$

【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形判定的常见题型，解题的关键是明确未给出对应顶点顺序时要分情况讨论，避免漏解，能够考查学生对相似三角形判定定理的掌握程度和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6

2[2025山东淄博期中,中]如图,在$△ ABC$中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BDEF是平行四边形,$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$.若$△ ADE$的面积为1,则平行四边形BDEF的面积为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6

2. B
【解析】
∵ 四边形 BDEF 是平行四边形,
∴ DE // BC, EF // AB,
∴ ∠ADE = ∠ABC, ∠AED = ∠ACF, ∠CEF = ∠CAB, ∠CFE = ∠CBA,
∴ △ADE ∽ △ABC, △CEF ∽ △CAB.
∵ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{EC}{AC}=\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$,$\frac{S_{△CEF}}{S_{△ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$.
∵ $S_{△ADE}=1$,
∴ $S_{△ABC}=9$,
∴ $S_{△CEF}=4$.
∵ $S_{△ADE}+S_{△CEF}+S_{平行四边形BDEF}=S_{△ABC}$,
∴ $S_{平行四边形BDEF}=9-1-4=4$. 故选 B.

【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，得到两组相似三角形：$△ ADE ∽ △ ABC$，$△ CEF ∽ △ CAB$。再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，根据已知的$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，先求出$△ ABC$的总面积，再求出$△ CEF$的面积，最后用$△ ABC$的面积减去两个小三角形的面积，即可得到平行四边形$BDEF$的面积。
【解析】
∵ 四边形$BDEF$是平行四边形，
∴ $DE // BC$，$EF // AB$，
∴ $∠ ADE=∠ ABC$，$∠ AED=∠ ACB$，$∠ CEF=∠ CAB$，$∠ CFE=∠ CBA$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，$△ CEF ∽ △ CAB$。
∵ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴ $△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$\frac{1}{3}$，且$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，因此$\frac{EC}{AC}=\frac{2}{3}$，即$△ CEF$与$△ CAB$的相似比为$\frac{2}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
已知$S_{△ ADE}=1$，代入得$S_{△ ABC}=9$，进而$S_{△ CEF}=9×\frac{4}{9}=4$。
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ ADE}+S_{△ CEF}+S_{平行四边形BDEF}$，
∴ $S_{平行四边形BDEF}=9-1-4=4$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型面积计算题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，通过整体和局部的面积差求解目标图形面积，对学生运用性质解决综合问题的能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6

3[2026 安徽六安校级质检,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AD$是$∠ CAB$的平分线,$BI$平分$∠ CBA$交$AD$于$I$.
(1)$∠ AIB=$;
(2)若$BI=2\sqrt{7}$,$BD=4$,则$CD=$.

3. (1)135° (2)3
【解析】(1)
∵ AD 是 ∠CAB 的平分线,BI 平分 ∠CBA,
∴ ∠IAB = $\frac{1}{2}∠BAC$, ∠IBA = $\frac{1}{2}∠ABC$,
∴ ∠AIB = 180° - (∠IAB + ∠IBA) = 180° - $\frac{1}{2}(∠BAC + ∠ABC)$ = 180° - $\frac{1}{2}(180°-∠ACB)$ = 135°. 故答案为 135°.
(2)如图,连接 IC.
∵ AD 是 ∠CAB 的平分线,BI 平分 ∠CBA,
∴ CI 是 ∠ACB 的平分线,
∴ ∠BCI = $\frac{1}{2}∠ACB = 45°$.
又
∵ ∠AIB = 135°,
∴ ∠BID = 45° = ∠BCI. 又
∵ ∠IBD = ∠CBI,
∴ △BDI ∽ △BIC,
∴ $\frac{BI}{BC}=\frac{BD}{BI}$.
∵ $BI=2\sqrt{7}$,$BD=4$,
∴ BC =7,
∴ CD = BC - BD =7-4=3. 故答案为3.

【分析】
(1) 要求∠AIB的度数，已知AD、BI分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，可先将∠IAB+∠IBA转化为$\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)$，再结合△ABC中∠ACB=90°，利用三角形内角和定理即可求出∠AIB的度数。
(2) I是△ABC两个角平分线的交点，即△ABC的内心，因此连接IC可得CI平分∠ACB，得到∠BCI=45°；结合(1)的结论可推出∠BID=∠BCI=45°，再加上公共角∠IBD=∠CBI，可证△BDI∽△BIC，利用相似三角形对应边成比例求出BC的长度，再减去BD的长度即可得到CD的长。
【解析】
(1)
∵ AD是∠CAB的平分线，BI平分∠CBA，
∴ ∠IAB = $\frac{1}{2}∠BAC$，∠IBA = $\frac{1}{2}∠ABC$，
∴ ∠AIB = 180° - (∠IAB + ∠IBA) = 180° - $\frac{1}{2}(∠BAC + ∠ABC)$，
又
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠BAC + ∠ABC = 180° - ∠ACB = 90°，
代入得∠AIB = 180° - $\frac{1}{2}×90°$ = 135°。
(2) 如图，连接IC。

∵ AD是∠CAB的平分线，BI平分∠CBA，
∴ I是△ABC的内心，CI平分∠ACB，
∴ ∠BCI = $\frac{1}{2}∠ACB = \frac{1}{2}×90°=45°$，
∵ ∠AIB = 135°，
∴ ∠BID = 180° - 135° = 45°，即∠BID = ∠BCI，
又
∵ ∠IBD = ∠CBI（公共角），
∴ △BDI ∽ △BIC，
∴ $\frac{BI}{BC}=\frac{BD}{BI}$，即$BI^2 = BD·BC$，
将$BI=2\sqrt{7}$，$BD=4$代入得：$(2\sqrt{7})^2 = 4·BC$，
解得BC = 7，
∴ CD = BC - BD = 7 - 4 = 3。
【答案】
(1) $\boxed{135°}$；(2) $\boxed{3}$

【知识点】
角平分线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题第一问较为基础，直接结合角平分线定义和三角形内角和定理即可求解；第二问需要利用三角形内心的性质作辅助线，通过证明三角形相似得到边的比例关系求解，解题的关键是找到相等的角证明相似。
【难度系数】
0.6

4[中]如图,在边长为$\sqrt{3}$的菱形ABCD中,∠B=30°,过点A作AE⊥BC于点E,现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置,AF与CD交于点G,则CG等于.

(第4题图)
(第5题图)

4. $\sqrt{3}-1$
【解析】在 Rt△ABE 中,∠B = 30°,AB = $\sqrt{3}$,
∴ AE = $\frac{3}{2}$,由勾股定理得,BE = $\frac{3}{2}$.
根据折叠的性质可得 BF = 2BE = 3,
∴ CF = 3 - $\sqrt{3}$.
∵ AD // CF,
∴ △ADG ∽ △FCG,
∴ $\frac{AD}{CF}=\frac{DG}{CG}$. 设 CG = x,则 $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$,解得 x = $\sqrt{3}-1$, 故答案为 $\sqrt{3}-1$.

【分析】
解题可按三步推进：①先利用菱形的边长以及30°直角三角形的性质，计算Rt△ABE中BE的长度；②结合折叠的轴对称性质，求出BF的长度，进而得到CF的长度；③根据菱形对边平行的性质，可得到△ADG与△FCG相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求出CG的长度。
【解析】
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得$BE=\frac{3}{2}$。
根据折叠的性质可得$BF=2BE=3$，
∵菱形ABCD边长为$\sqrt{3}$，
∴$BC=AD=\sqrt{3}$，
∴$CF=BF-BC=3-\sqrt{3}$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD// CF$，
∴$△ ADG ∽ △ FCG$，
∴$\frac{AD}{CF}=\frac{DG}{CG}$。
设$CG=x$，则$DG=\sqrt{3}-x$，代入得$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$，
解得$x=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$

【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合计算题，融合了特殊直角三角形、图形变换、相似三角形多个考点，解题的核心是准确识别相似的“正8字型”模型，通过建立比例方程求解，能有效考察几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

5[2025山东日照期中,中]如图,$△ ABC$中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接BE,CD,且BE,CD交于点O.若$∠ ACO=∠ EBC$,则$\frac{CD}{BC}$的值是.

5. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【解析】如图所示,连接 DE.
∵ 点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,
∴ DE 为 △ABC 的中位线,
∴ DE // BC,DE = $\frac{1}{2}BC$,
∴ △DOE ∽ △COB,
∴ $\frac{DO}{OC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$.
设 DO = k,则 OC = 2k,
∴ CD = 3k.
∵ DE // BC,
∴ ∠EBC = ∠DEB. 又
∵ ∠ACO = ∠EBC,
∴ ∠DEB = ∠ACO. 又
∵ ∠EDO = ∠CDE,
∴ △DEO ∽ △DCE,
∴ $\frac{DE}{DC}=\frac{DO}{DE}$,
∴ $DE^2 = DC·DO$,即 $DE^2 = 3k×k = 3k^2$,
∴ DE = $\sqrt{3}k$,
∴ BC = $2\sqrt{3}k$,
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{3k}{2\sqrt{3}k}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

【分析】
本题求解线段比值，可按以下思路推导：1. 看到AB、AC边上的中点D、E，首先考虑构造三角形中位线，因此连接DE，利用中位线性质得到DE与BC的平行关系和长度比例，进而推出△DOE与△COB相似，得到CD上两段的比例关系；2. 结合已知的∠ACO=∠EBC，利用平行线的内错角相等推导等角，再结合公共角证明△DEO∽△DCE，通过相似的等积式用参数表示出DE的长度；3. 最后将CD和BC都用同一参数表示，代入计算即可得到比值。
【解析】
如图所示，连接DE.
∵ 点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,
∴ DE 为 △ABC 的中位线,
∴ DE // BC,DE = $\frac{1}{2}BC$,
∴ △DOE ∽ △COB,
∴ $\frac{DO}{OC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$.
设 DO = k,则 OC = 2k,
∴ CD = 3k.
∵ DE // BC,
∴ ∠EBC = ∠DEB.
又
∵ ∠ACO = ∠EBC,
∴ ∠DEB = ∠ACO.
又
∵ ∠EDO = ∠CDE,
∴ △DEO ∽ △DCE,
∴ $\frac{DE}{DC}=\frac{DO}{DE}$,
∴ $DE^2 = DC·DO$,即 $DE^2 = 3k×k = 3k^2$,
∴ DE = $\sqrt{3}k$,
∴ BC = $2\sqrt{3}k$,
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{3k}{2\sqrt{3}k}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题型，解题核心是通过构造中位线得到基础相似关系，再结合角相等的条件找到第二组相似三角形，利用设参数的方法量化各线段后计算比值，能很好地考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

6[2026安徽合肥期末,中]如图,矩形ABCD中,E是BC边上一动点,$\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}=\sqrt{2}$,$∠ AEF=90°$,若BE=1,则CF的长度为 ()

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$

(第6题图)
(第7题图)

6. B
【解析】如图,连接 AC.
∵ $\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}=\sqrt{2}$,
∴ $\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{AE}$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠B = 90°.
∵ ∠AEF = 90°,
∴ ∠B = ∠AEF,
∴ △ABC ∽ △AEF,
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AE}$,∠BAC = ∠EAF,
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AE}$,∠EAF - ∠CAE = ∠BAC - ∠CAE,
∴ ∠CAF = ∠BAE,
∴ △ACF ∽ △ABE,
∴ $\frac{CF}{BE}=\frac{AC}{AB}$.
∵ BC = $\sqrt{2}AB$, BE = 1,
∴ AC = $\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{AB^2+(\sqrt{2}AB)^2}=\sqrt{3}AB$,
∴ $\frac{CF}{BE}=\frac{\sqrt{3}AB}{AB}=\sqrt{3}$,
∴ CF = $\sqrt{3}BE=\sqrt{3}$, 故选 B.

【分析】
首先结合已知的线段比例关系、直角条件和矩形的性质，第一步利用“两边对应成比例且夹角相等”证明△ABC与△AEF相似，得到对应边的比例关系和相等的对应角；再通过角的和差推导得到∠CAF=∠BAE，结合第一步得到的边比例，再次证明△ACF与△ABE相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，结合勾股定理求出AC与AB的比例，代入已知BE的长度即可求出CF的长度。
【解析】
如图，连接AC。
∵ $\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}=\sqrt{2}$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{EF}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = 90°。
又
∵ ∠AEF = 90°，
∴ ∠B = ∠AEF，
∴ △ABC ∽ △AEF，
∴ $\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AE}$，∠BAC = ∠EAF，
∴ ∠EAF - ∠CAE = ∠BAC - ∠CAE，即∠CAF = ∠BAE，
∴ △ACF ∽ △ABE，
∴ $\frac{CF}{BE}=\frac{AC}{AB}$。
∵ BC = $\sqrt{2}AB$，BE = 1，
由勾股定理得$AC = \sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{AB^2+(\sqrt{2}AB)^2}=\sqrt{3}AB$，
∴ $\frac{CF}{BE}=\frac{\sqrt{3}AB}{AB}=\sqrt{3}$，
∴ $CF = \sqrt{3}BE=\sqrt{3}$。
【答案】
B

【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题核心是通过已知的比例和直角条件，两次运用相似三角形的判定定理得到对应边的比例关系，结合矩形性质和勾股定理完成求解，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6

7[2026安徽马鞍山质检,中]如图,已知矩形ABCD,$AB=1$,$AD=4$,$E$为$BC$边上一个动点,$∠BAD=∠EAF$,$AF=2AE$,连接$DF$,则$DF$的最小值为（）

A.$\frac{9}{4}$
B.$2$
C.$\frac{7}{4}$
D.$\frac{3}{2}$

7. B
【解析】如图,取 AD 的中点 G,连接 FG.
∵ AD = 4,
∴ AG = DG = 2.
∵ AB = 1,
∴ $\frac{AG}{AB}=2$.
∵ AF = 2AE,
∴ $\frac{AF}{AE}=2$,
∴ $\frac{AG}{AB}=\frac{AF}{AE}$.
∵ ∠BAD = ∠EAF,
∴ ∠BAD - ∠EAD = ∠EAF - ∠EAD,
∴ ∠BAE = ∠GAF,
∴ △BAE ∽ △GAF,
∴ ∠AGF = ∠ABE = 90°,
∴ 点 F 在线段 AD 的垂直平分线上,
∴ DF = AF. 当点 F 与点 G 重合时,DF 有最小值,最小值为 2,故选 B.

【分析】
本题属于动点最值问题，解题的核心思路是通过构造相似三角形确定动点F的运动轨迹，再根据轨迹求线段的最小值。首先结合已知的边的比例关系AF=2AE，取AD的中点G得到AG=2，可得AG与AB的比值和AF与AE的比值相等；再结合已知的∠BAD=∠EAF推导得到相等的夹角，即可证明三角形相似，得到∠AGF为直角，进而确定F的运动路径是过G且垂直于AD的直线，最后根据垂线段最短求出DF的最小值。
【解析】
如图，取AD的中点G，连接FG。
∵ AD = 4，G为AD中点，
∴ AG = DG = $\frac{1}{2}$AD = 2。
∵ AB = 1，
∴ $\frac{AG}{AB}=\frac{2}{1}=2$。
∵ AF = 2AE，
∴ $\frac{AF}{AE}=2$，
∴ $\frac{AG}{AB}=\frac{AF}{AE}$。
∵ ∠BAD = ∠EAF，
∴ ∠BAD - ∠EAD = ∠EAF - ∠EAD，即∠BAE = ∠GAF，
∴ △BAE ∽ △GAF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠AGF = ∠ABE = 90°，即FG⊥AD，
∴ 点F在AD的垂直平分线上运动，DF=AF。
根据垂线段最短，当点F与点G重合时，DF取得最小值，最小值为DG=2。

【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，垂线段最短，矩形的性质
【点评】
本题将相似三角形和动点最值问题结合考查，解题的关键是构造合适的相似三角形确定动点的运动轨迹，将动态的最值问题转化为静态的线段长度计算，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

8[2026安徽安庆期末,较难](1)问题
如图(1),在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=90°时,求证:AD·BC=AP·BP.
(2)探究
若将90°角改为锐角(如图(2)),其他条件不变,上述结论还成立吗?说明理由.
(3)应用
如图(3),在△ABC中$,AB=2\sqrt{2},∠B=45°,$以点A为直角顶点作等腰直角△ADE.点D在BC上,点E在AC上,点F在BC上,且∠EFD=45°,若$CE=\sqrt{5},$求CD的长.

8. (1)【证明】
∵ ∠DPC = 90°,
∴ ∠BPC + ∠APD = 90°.
∵ ∠A = 90°,
∴ ∠ADP + ∠APD = 90°,
∴ ∠ADP = ∠BPC. 又
∵ ∠A = ∠B = 90°,
∴ △ADP ∽ △BPC,
∴ AD:BP = AP:BC,
∴ AD · BC = AP · BP.
(2)【解】结论 AD · BC = AP · BP 仍成立. 理由:
∵ ∠BPD = ∠DPC + ∠BPC = ∠A + ∠ADP, ∠DPC = ∠A,
∴ ∠BPC = ∠ADP. 又
∵ ∠A = ∠B,
∴ △ADP ∽ △BPC,
∴ AD:BP = AP:BC,
∴ AD · BC = AP · BP.
(3)【解】
∵ △ADE 是等腰直角三角形,
∴ ∠ADE = ∠AED = 45°, AD : DE = 1 : $\sqrt{2}$,
∴ ∠EFD = ∠B = ∠ADE = 45°, 同 (2) 可证 △ABD ∽ △DFE,
∴ AB : DF = AD : DE = 1 : $\sqrt{2}$.
∵ AB = $2\sqrt{2}$,
∴ DF = 4.
∵ ∠AED = 45°, ∠EFD = 45°,
∴ ∠DEC = ∠EFC = 180° - 45° = 135°. 又
∵ ∠C = ∠C,
∴ △DEC ∽ △EFC,
∴ DC:EC = EC:CF, 即 $EC^2 = FC · CD$,
∴ 5 = FC(4 + FC),
∴ FC = 1,
∴ CD = 5.

【分析】
(1) 要证明乘积式AD·BC=AP·BP，可先将其转化为比例式$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，只需证明△ADP与△BPC相似即可。已知三个角为直角，利用同角的余角相等可得到一组对应角相等，结合已知的直角相等，即可证得两三角形相似，进而推导出结论。
(2) 结论仍然成立，解题思路与(1)一致：利用三角形外角的性质，结合已知∠DPC=∠A，可推得∠BPC=∠ADP，再结合∠A=∠B，即可证△ADP∽△BPC，从而得到对应比例式，变形后得到结论。
(3) 首先根据等腰直角△ADE的性质得到∠ADE=45°，结合已知∠B=∠EFD=45°，可直接应用(2)的结论证明△ABD∽△DFE，利用相似比求出DF的长度；再通过角度推导得到∠DEC=∠EFC，结合公共角∠C证明△DEC∽△EFC，利用相似得到的比例关系列方程求出FC的长度，CD的长度即为DF与FC的和。
【解析】
(1)【证明】
∵ ∠DPC = 90°，
∴ ∠BPC + ∠APD = 90°。
∵ ∠A = 90°，
∴ ∠ADP + ∠APD = 90°，
∴ ∠ADP = ∠BPC。
又
∵ ∠A = ∠B = 90°，
∴ △ADP ∽ △BPC，
∴ AD:BP = AP:BC，
∴ AD · BC = AP · BP。
(2)【解】结论 AD · BC = AP · BP 仍成立。理由：
∵ ∠BPD = ∠DPC + ∠BPC = ∠A + ∠ADP，∠DPC = ∠A，
∴ ∠BPC = ∠ADP。
又
∵ ∠A = ∠B，
∴ △ADP ∽ △BPC，
∴ AD:BP = AP:BC，
∴ AD · BC = AP · BP。
(3)【解】
∵ △ADE 是等腰直角三角形，
∴ ∠ADE = ∠AED = 45°，$AD : DE = 1 : \sqrt{2}$，
∴ ∠EFD = ∠B = ∠ADE = 45°，同 (2) 可证 △ABD ∽ △DFE，
∴ $AB : DF = AD : DE = 1 : \sqrt{2}$。
∵ $AB = 2\sqrt{2}$，
∴ DF = 4。
∵ ∠AED = 45°，∠EFD = 45°，
∴ ∠DEC = ∠EFC = 180° - 45° = 135°。
又
∵ ∠C = ∠C，
∴ △DEC ∽ △EFC，
∴ $DC:EC = EC:CF$，即 $EC^2 = FC · CD$，
∴ $5 = FC(4 + FC)$，解得$FC=1$（负根舍去），
∴ $CD = 4 + 1 = 5$。
【答案】
(1) 证明成立，$AD·BC=AP·BP$；
(2) 结论$AD·BC=AP·BP$仍成立，理由见解析；
(3) $CD$的长为$\boldsymbol{5}$。

【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题围绕“一线三等角”的经典相似模型展开，先从特殊的直角情况入手探究结论，再推广到一般锐角情况，最后将结论应用到具体几何计算中，考查了从特殊到一般的数学思想，对相似三角形判定、性质的灵活运用和模型迁移能力要求较高。
【难度系数】
0.4