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1[2025安徽安庆期末,中]如图,△ABC的边上有D,E,F三点,若∠B=∠FAC,BD=AC,∠BDE=∠C,BE=7,EF=4,FC=5,则四边形ADEF与△ABC的面积之比为(
（第1题图）（第2题图）
D
)A.1:3 B.1:4 C.2:5 D.3:8（第1题图）（第2题图）答案
1. D 【解析】
∵ BE = 7, EF = 4, FC = 5,
∴ BC = 16.
∵ ∠C = ∠C, ∠CAF = ∠B,
∴ △CAF∽△CBA,
∴ $\frac{CA}{CB} = \frac{CF}{CA}$,
∴ $CA^2 = CF·CB$,
∴ $CA^2 = 5×16 = 80$,
∴ $CA = 4\sqrt{5}$ (负值已舍去),
∴ $\frac{AC}{CB} = \frac{4\sqrt{5}}{16} = \frac{\sqrt{5}}{4}$,
∴ $S_{△ ACF}:S_{△ ACB} = 5:16$. 同理可证△BDE∽△BCA.
∵ BD = AC,
∴ $\frac{BD}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{4}$,
∴ $S_{△ BDE}:S_{△ ABC} = 5:16$,
∴ $S_{\mathrm{四边形}ADEF}:S_{△ ABC} = (16-5-5):16 = 6:16 = 3:8$. 故选 D.
∵ BE = 7, EF = 4, FC = 5,
∴ BC = 16.
∵ ∠C = ∠C, ∠CAF = ∠B,
∴ △CAF∽△CBA,
∴ $\frac{CA}{CB} = \frac{CF}{CA}$,
∴ $CA^2 = CF·CB$,
∴ $CA^2 = 5×16 = 80$,
∴ $CA = 4\sqrt{5}$ (负值已舍去),
∴ $\frac{AC}{CB} = \frac{4\sqrt{5}}{16} = \frac{\sqrt{5}}{4}$,
∴ $S_{△ ACF}:S_{△ ACB} = 5:16$. 同理可证△BDE∽△BCA.
∵ BD = AC,
∴ $\frac{BD}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{4}$,
∴ $S_{△ BDE}:S_{△ ABC} = 5:16$,
∴ $S_{\mathrm{四边形}ADEF}:S_{△ ABC} = (16-5-5):16 = 6:16 = 3:8$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时首先根据已知线段长度求出BC的总长，再结合题中给出的等角条件，利用“两角分别相等的两个三角形相似”先后证明△CAF∽△CBA、△BDE∽△BCA；接着借助相似三角形对应边成比例求出AC的长度，得到相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，分别求出△ACF、△BDE与△ABC的面积比；最后用△ABC的总面积占比减去两个小三角形的面积占比，即可得到四边形ADEF与△ABC的面积比。
【解析】
第一步：计算BC的长度
已知BE=7，EF=4，FC=5，因此$BC=BE+EF+FC=7+4+5=16$。
第二步：证明△CAF∽△CBA并求面积比
在△CAF和△CBA中，∠C是公共角，且$∠ FAC=∠ B$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ CAF ∽ △ CBA$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{CA}{CB}=\frac{CF}{CA}$，即$CA^2=CF·CB$。
代入$CF=5$，$CB=16$，得$CA^2=5×16=80$，解得$CA=4\sqrt{5}$（边长为正，舍去负值）。
因此△CAF与△CBA的相似比为$\frac{AC}{CB}=\frac{4\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ACF}:S_{△ ABC}=(\frac{\sqrt{5}}{4})^2=\frac{5}{16}=5:16$。
第三步：证明△BDE∽△BCA并求面积比
在△BDE和△BCA中，∠B是公共角，且$∠ BDE=∠ C$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ BDE ∽ △ BCA$。
已知$BD=AC$，因此△BDE与△BCA的相似比为$\frac{BD}{BC}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，同理可得$S_{△ BDE}:S_{△ ABC}=5:16$。
第四步：计算四边形ADEF与△ABC的面积比
将△ABC的面积看作16份，则△ACF占5份，△BDE占5份，因此四边形ADEF的面积占$16-5-5=6$份，故$S_{四边形ADEF}:S_{△ ABC}=6:16=3:8$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题核心是通过等角条件判定三角形相似，再结合相似三角形的性质求出对应面积比，整体逻辑清晰，是相似章节的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知线段长度求出BC的总长，再结合题中给出的等角条件，利用“两角分别相等的两个三角形相似”先后证明△CAF∽△CBA、△BDE∽△BCA；接着借助相似三角形对应边成比例求出AC的长度，得到相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，分别求出△ACF、△BDE与△ABC的面积比；最后用△ABC的总面积占比减去两个小三角形的面积占比，即可得到四边形ADEF与△ABC的面积比。
【解析】
第一步：计算BC的长度
已知BE=7，EF=4，FC=5，因此$BC=BE+EF+FC=7+4+5=16$。
第二步：证明△CAF∽△CBA并求面积比
在△CAF和△CBA中，∠C是公共角，且$∠ FAC=∠ B$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ CAF ∽ △ CBA$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{CA}{CB}=\frac{CF}{CA}$，即$CA^2=CF·CB$。
代入$CF=5$，$CB=16$，得$CA^2=5×16=80$，解得$CA=4\sqrt{5}$（边长为正，舍去负值）。
因此△CAF与△CBA的相似比为$\frac{AC}{CB}=\frac{4\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ACF}:S_{△ ABC}=(\frac{\sqrt{5}}{4})^2=\frac{5}{16}=5:16$。
第三步：证明△BDE∽△BCA并求面积比
在△BDE和△BCA中，∠B是公共角，且$∠ BDE=∠ C$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ BDE ∽ △ BCA$。
已知$BD=AC$，因此△BDE与△BCA的相似比为$\frac{BD}{BC}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，同理可得$S_{△ BDE}:S_{△ ABC}=5:16$。
第四步：计算四边形ADEF与△ABC的面积比
将△ABC的面积看作16份，则△ACF占5份，△BDE占5份，因此四边形ADEF的面积占$16-5-5=6$份，故$S_{四边形ADEF}:S_{△ ABC}=6:16=3:8$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题核心是通过等角条件判定三角形相似，再结合相似三角形的性质求出对应面积比，整体逻辑清晰，是相似章节的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
2[中]如图，在$□ ABCD$中，$AB=6$，$AD=9$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，交$DC$的延长线于点$F$，$BG⊥ AE$，垂足为$G$，$BG=4\sqrt{2}$，则$△ CEF$的周长为（
A.$8$
B.$9.5$
C.$10$
D.$11.5$
A
）A.$8$
B.$9.5$
C.$10$
D.$11.5$
答案
2. A 【解析】在□ABCD中, AB = 6, AD = 9, ∠BAD的平分线交BC于点E,
∴ AB = CD = 6, AD = BC = 9, AB//DC, ∠BAF = ∠DAF,
∴ ∠BAF = ∠F,
∴ ∠DAF = ∠F,
∴ AD = DF = 9,
∴ CF = 3. 同理可得AB = BE = 6,
∴ ∠BEA = ∠BAE = ∠F = ∠CEF,
∴ CE = CF = 3.
∵ BG⊥AE,
∴ ∠AGB = 90°. 在Rt△ABG中, AB = 6, BG = $4\sqrt{2}$,
∴ AG = 2,
∴ AE = 2AG = 4,
∴ △ABE的周长等于16.
∵ AB//DF,
∴ △CEF∽△BEA,相似比为CE:BE = 3:6 = 1:2,
∴ △CEF的周长为8. 故选 A.
∴ AB = CD = 6, AD = BC = 9, AB//DC, ∠BAF = ∠DAF,
∴ ∠BAF = ∠F,
∴ ∠DAF = ∠F,
∴ AD = DF = 9,
∴ CF = 3. 同理可得AB = BE = 6,
∴ ∠BEA = ∠BAE = ∠F = ∠CEF,
∴ CE = CF = 3.
∵ BG⊥AE,
∴ ∠AGB = 90°. 在Rt△ABG中, AB = 6, BG = $4\sqrt{2}$,
∴ AG = 2,
∴ AE = 2AG = 4,
∴ △ABE的周长等于16.
∵ AB//DF,
∴ △CEF∽△BEA,相似比为CE:BE = 3:6 = 1:2,
∴ △CEF的周长为8. 故选 A.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，推导得到等腰三角形，求出CF、CE、BE的长度；②再根据等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出AE的长度，得到△ABE的周长；③最后利用平行线判定△CEF与△BEA相似，结合相似三角形周长比等于相似比，即可求出△CEF的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=6，AD=9，
∴ AB=CD=6，AD=BC=9，AB//DC，AD//BC，
∵ AF平分∠BAD，
∴ ∠BAF=∠DAF，
∵ AB//DC，
∴ ∠BAF=∠F，
∴ ∠DAF=∠F，
∴ AD=DF=9，
∴ CF=DF-CD=9-6=3，
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE=∠BEA，又∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BAE=∠BEA，
∴ AB=BE=6，
∴ CE=BC-BE=9-6=3，即CE=CF=3，
∵ BG⊥AE，△ABE为等腰三角形，
∴ G为AE中点，即AE=2AG，
在Rt△ABG中，AB=6，BG=4√2，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{36-32}=2$，
∴ AE=2AG=4，
∴ △ABE的周长为AB+BE+AE=6+6+4=16，
∵ AB//DF，
∴ △CEF∽△BEA，
相似比为$CE:BE=3:6=1:2$，
∵ 相似三角形周长比等于相似比，
∴ △CEF的周长为$16×\frac{1}{2}=8$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，将平行四边形、等腰三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是先通过角的等量关系推导等腰三角形，得到线段长度，再利用相似三角形的性质求解，要求学生具备一定的知识整合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：①首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，推导得到等腰三角形，求出CF、CE、BE的长度；②再根据等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出AE的长度，得到△ABE的周长；③最后利用平行线判定△CEF与△BEA相似，结合相似三角形周长比等于相似比，即可求出△CEF的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=6，AD=9，
∴ AB=CD=6，AD=BC=9，AB//DC，AD//BC，
∵ AF平分∠BAD，
∴ ∠BAF=∠DAF，
∵ AB//DC，
∴ ∠BAF=∠F，
∴ ∠DAF=∠F，
∴ AD=DF=9，
∴ CF=DF-CD=9-6=3，
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE=∠BEA，又∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BAE=∠BEA，
∴ AB=BE=6，
∴ CE=BC-BE=9-6=3，即CE=CF=3，
∵ BG⊥AE，△ABE为等腰三角形，
∴ G为AE中点，即AE=2AG，
在Rt△ABG中，AB=6，BG=4√2，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{36-32}=2$，
∴ AE=2AG=4，
∴ △ABE的周长为AB+BE+AE=6+6+4=16，
∵ AB//DF，
∴ △CEF∽△BEA，
相似比为$CE:BE=3:6=1:2$，
∵ 相似三角形周长比等于相似比，
∴ △CEF的周长为$16×\frac{1}{2}=8$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，将平行四边形、等腰三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是先通过角的等量关系推导等腰三角形，得到线段长度，再利用相似三角形的性质求解，要求学生具备一定的知识整合运用能力。
【难度系数】
0.6
3[较难]如图所示,已知△ABC中,BC=12,BC边上的高h=6,D为BC上一点,EF//BC,交AB于点E,交AC于点F,设点E到边BC的距离为x,则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为 (
(第3题图)
(第4题图)
D
)(第3题图)
(第4题图)
答案
3. D 【解析】如图
,过点A作AH⊥BC于点H. 因为EF//BC,所以△AEF∽△ABC,所以$\frac{EF}{12} = \frac{6-x}{6}$,即EF = 2(6-x),所以$y = \frac{1}{2} × 2(6-x)x = -x^2 + 6x$ (0＜x＜6),该函数的图象是抛物线的一部分,且开口向下,故选 D.解析
【分析】
要推导△DEF的面积y关于x的函数图象，首先明确△DEF的高等于点E到BC的距离x，只需求出底EF的长度即可。由于EF//BC，可判定△AEF与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比，就能用x表示出EF的长，再代入三角形面积公式得到y与x的函数表达式，最后根据函数性质判断对应图象即可。
【解析】
如图，过点A作AH⊥BC于点H，由题可知AH=6。
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC。
△AEF对应BC边上的高为$6-x$，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{EF}{BC} = \frac{6-x}{AH}$，代入BC=12、AH=6，得$\frac{EF}{12} = \frac{6-x}{6}$，解得$EF = 2(6-x)$。
△DEF的高为点E到BC的距离x，代入三角形面积公式得：
$y = \frac{1}{2} × EF × x = \frac{1}{2} × 2(6-x)x = -x^2 + 6x$，其中x的取值范围为$0＜x＜6$。
该函数是二次函数，二次项系数为-1＜0，因此图象是开口向下的抛物线的一部分，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的图象与性质；三角形面积计算
【点评】
本题为几何与代数综合题，解题核心是利用相似三角形的性质求出底边长，再结合面积公式推导函数关系式，进而判断图象，考查了知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要推导△DEF的面积y关于x的函数图象，首先明确△DEF的高等于点E到BC的距离x，只需求出底EF的长度即可。由于EF//BC，可判定△AEF与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比，就能用x表示出EF的长，再代入三角形面积公式得到y与x的函数表达式，最后根据函数性质判断对应图象即可。
【解析】
如图
，过点A作AH⊥BC于点H，由题可知AH=6。∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC。
△AEF对应BC边上的高为$6-x$，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{EF}{BC} = \frac{6-x}{AH}$，代入BC=12、AH=6，得$\frac{EF}{12} = \frac{6-x}{6}$，解得$EF = 2(6-x)$。
△DEF的高为点E到BC的距离x，代入三角形面积公式得：
$y = \frac{1}{2} × EF × x = \frac{1}{2} × 2(6-x)x = -x^2 + 6x$，其中x的取值范围为$0＜x＜6$。
该函数是二次函数，二次项系数为-1＜0，因此图象是开口向下的抛物线的一部分，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的图象与性质；三角形面积计算
【点评】
本题为几何与代数综合题，解题核心是利用相似三角形的性质求出底边长，再结合面积公式推导函数关系式，进而判断图象，考查了知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4[中]如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作平行于△ABC各边的直线,所形成的三个小三角形△FDM,△IEM,△GHM(图中阴影部分)的面积分别是1,4,9,则△ABC的面积是
36
.答案
4. 36 【解析】由题可得△FDM∽△IME∽△MGH∽△ABC. 因为△FDM,△IEM,△GHM的面积比为1:4:9,所以它们对应边边长的比为1:2:3. 又因为易得四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形,所以DM = BG, EM = CH. 设DM为x,则ME = 2x, GH = 3x,所以BC = BG+GH+CH = DM+GH+ME = x+3x+2x = 6x,所以BC:DM = 6x:x = 6:1. 由面积比等于相似比的平方得$S_{△ ABC}:S_{△ FDM} = 36:1$,所以$S_{△ ABC} = 36×S_{△ FDM} = 36×1 = 36$. 故答案为36.
解析
【分析】
首先观察图形特征，过点M作△ABC三边的平行线，可得三个阴影小三角形都与△ABC相似，且三个小三角形之间也互相相似。已知三个小三角形的面积，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可先求出三个小三角形的边长之比。再结合平行线围成的平行四边形对边相等的性质，推导△ABC的边长与最小阴影三角形的边长之比，最后再次利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：由题意可知，过M作三边平行线得到的△FDM、△IEM、△GHM均与△ABC相似，即$△ FDM ∽ △ IEM ∽ △ GHM ∽ △ ABC$。
已知三个阴影小三角形的面积分别为1、4、9，因此它们的面积比为$1:4:9$。
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，可得三个小三角形对应边的边长比为$\sqrt{1}:\sqrt{4}:\sqrt{9}=1:2:3$。
由所作平行线可知，四边形BDMG、四边形CEMH均为平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得$DM=BG$，$EM=CH$。
设DM的长度为$x$，则$ME=2x$，$GH=3x$。
因此△ABC的边$BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+3x+2x=6x$。
可得△ABC与△FDM的相似比为$BC:DM=6x:x=6:1$。
再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ABC}:S_{△ FDM}=6^2:1^2=36:1$。
代入$S_{△ FDM}=1$，得$S_{△ ABC}=36×1=36$。
【答案】
36
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
3.平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题核心是利用面积比得到相似比，再结合平行四边形的性质推导大三角形与小三角形的相似比，需要学生熟练掌握相似三角形的性质并能灵活结合图形特征分析线段关系。
【难度系数】
0.6
首先观察图形特征，过点M作△ABC三边的平行线，可得三个阴影小三角形都与△ABC相似，且三个小三角形之间也互相相似。已知三个小三角形的面积，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可先求出三个小三角形的边长之比。再结合平行线围成的平行四边形对边相等的性质，推导△ABC的边长与最小阴影三角形的边长之比，最后再次利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：由题意可知，过M作三边平行线得到的△FDM、△IEM、△GHM均与△ABC相似，即$△ FDM ∽ △ IEM ∽ △ GHM ∽ △ ABC$。
已知三个阴影小三角形的面积分别为1、4、9，因此它们的面积比为$1:4:9$。
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，可得三个小三角形对应边的边长比为$\sqrt{1}:\sqrt{4}:\sqrt{9}=1:2:3$。
由所作平行线可知，四边形BDMG、四边形CEMH均为平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得$DM=BG$，$EM=CH$。
设DM的长度为$x$，则$ME=2x$，$GH=3x$。
因此△ABC的边$BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+3x+2x=6x$。
可得△ABC与△FDM的相似比为$BC:DM=6x:x=6:1$。
再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ABC}:S_{△ FDM}=6^2:1^2=36:1$。
代入$S_{△ FDM}=1$，得$S_{△ ABC}=36×1=36$。
【答案】
36
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
3.平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题核心是利用面积比得到相似比，再结合平行四边形的性质推导大三角形与小三角形的相似比，需要学生熟练掌握相似三角形的性质并能灵活结合图形特征分析线段关系。
【难度系数】
0.6
5[2026安徽宿州校级质检,中]如图,点A为反比例函数$y=-\frac{1}{x}(x＜0)$图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象交于点B,则$\frac{BO}{AO}$的值是
2
.答案
5. 2 【解析】如图
,作AG⊥x轴,垂足为G,作BH⊥x轴,垂足为H.∵ 点A在函数$y=-\frac{1}{x}$(x＜0)的图象上,
∴ $S_{△ AGO} = \frac{1}{2}$.
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$(x＞0)的图象上,
∴ $S_{△ BOH} = 2$.
∵ ∠AGO = ∠OHB = 90°, ∠AOB = 90°,
∴ ∠AOG = ∠HBO,
∴ △AGO∽△OHB,
∴ $\frac{S_{△ OHB}}{S_{△ AGO}} = (\frac{BO}{AO})^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$,
∴ $\frac{BO}{AO} = 2$. 故答案为2.
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：首先，看到反比例函数图象上的点与原点连线、且两条连线互相垂直的特征，优先过A、B两点作x轴的垂线构造直角三角形；其次，利用反比例函数k的几何意义，求出两个直角三角形的面积；接着，根据直角和垂直的条件，推导角的关系，证明两个直角三角形相似；最后，借助相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，就能求出$\frac{BO}{AO}$的比值。
【解析】
如图，作AG⊥x轴，垂足为G，作BH⊥x轴，垂足为H。
∵ 点A在函数$y=-\frac{1}{x}(x＜0)$的图象上，
∴ $S_{△ AGO}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $S_{△ BOH}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
∵ ∠AGO=∠OHB=90°，∠AOB=90°，
∴ ∠AOG+∠BOH=90°，∠BOH+∠HBO=90°，
∴ ∠AOG=∠HBO，
∴ △AGO∽△OHB，
∴ $\frac{S_{△ OHB}}{S_{△ AGO}}=(\frac{BO}{AO})^2=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，
∵ $\frac{BO}{AO}$为正数，
∴ $\frac{BO}{AO}=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，将反比例函数的性质与相似三角形的性质结合求解，能较好地考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题可按以下思路推导：首先，看到反比例函数图象上的点与原点连线、且两条连线互相垂直的特征，优先过A、B两点作x轴的垂线构造直角三角形；其次，利用反比例函数k的几何意义，求出两个直角三角形的面积；接着，根据直角和垂直的条件，推导角的关系，证明两个直角三角形相似；最后，借助相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，就能求出$\frac{BO}{AO}$的比值。
【解析】
如图
，作AG⊥x轴，垂足为G，作BH⊥x轴，垂足为H。∵ 点A在函数$y=-\frac{1}{x}(x＜0)$的图象上，
∴ $S_{△ AGO}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $S_{△ BOH}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
∵ ∠AGO=∠OHB=90°，∠AOB=90°，
∴ ∠AOG+∠BOH=90°，∠BOH+∠HBO=90°，
∴ ∠AOG=∠HBO，
∴ △AGO∽△OHB，
∴ $\frac{S_{△ OHB}}{S_{△ AGO}}=(\frac{BO}{AO})^2=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，
∵ $\frac{BO}{AO}$为正数，
∴ $\frac{BO}{AO}=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，将反比例函数的性质与相似三角形的性质结合求解，能较好地考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
6[2025广西玉林期末,中]如图(1),在边长为4的正方形ABCD中,点H为AB上一动点,且2≤BH＜4,截取HM=HB,且HM交线段AD于M,过M作HM的垂线MN交DC于N.
(1)求证:△AHM∽△DMN;
(2)如图(2),若点M是AD的中点,求△DMN的周长;
(3)在动点H逐渐向点A运动(HB逐渐增大)的过程中,△DMN的周长如何变化?请说明理由.
图(1) 图(2) 备用图
刷素养 走向重高
(1)求证:△AHM∽△DMN;
(2)如图(2),若点M是AD的中点,求△DMN的周长;
(3)在动点H逐渐向点A运动(HB逐渐增大)的过程中,△DMN的周长如何变化?请说明理由.
图(1) 图(2) 备用图
刷素养 走向重高
答案
6. (1)【证明】
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠D = ∠A = 90°.
∵ HM ⊥ MN,
∴ ∠HMN = 90°,
∴ ∠DMN + ∠AMH = ∠AHM + ∠AMH = 90°,
∴ ∠AHM = ∠DMN,
∴ △AHM∽△DMN.
(2)【解】
∵ 点M是AD的中点,正方形ABCD的边长为4,
∴ MD=AM=2. 设HM=HB=x,则AH=4-x. 在Rt△AHM中,AH²+AM²=HM²,
∴ (4-x)²+2²=x²,解得x=2.5,
∴ AH=1.5.
∵ △AHM∽△DMN,
∴ $\frac{AM}{DN} = \frac{MH}{MN} = \frac{AH}{MD}$,即$\frac{2}{DN} = \frac{2.5}{MN} = \frac{1.5}{2}$,
∴ $DN = \frac{8}{3}$, $MN = \frac{10}{3}$,
∴ △DMN的周长为$DN+MN+DM = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} + 2 = 8$.
(3)△DMN的周长是一个定值,始终为8. 理由如下:
设HM=HB=x,则AH=4-x. 在Rt△AHM中,AH²+AM²=HM²,
∴ (4-x)²+AM²=x²,即$AM = \sqrt{8x-16}$,
∴ $DM = 4 - AM = 4 - \sqrt{8x-16}$.
∵ △AHM ∽ △DMN, 且相似比为 $\frac{AH}{MD} = \frac{4-x}{4-\sqrt{8x-16}}$,
∴ $C_{△ DMN} = C_{△ AHM} · \frac{4-\sqrt{8x-16}}{4-x} = (4-x + x + \sqrt{8x-16}) · \frac{4-\sqrt{8x-16}}{4-x} = 8$,
∴ 在动点H逐渐向点A运动的过程中,△DMN的周长是一个定值,始终为8.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠D = ∠A = 90°.
∵ HM ⊥ MN,
∴ ∠HMN = 90°,
∴ ∠DMN + ∠AMH = ∠AHM + ∠AMH = 90°,
∴ ∠AHM = ∠DMN,
∴ △AHM∽△DMN.
(2)【解】
∵ 点M是AD的中点,正方形ABCD的边长为4,
∴ MD=AM=2. 设HM=HB=x,则AH=4-x. 在Rt△AHM中,AH²+AM²=HM²,
∴ (4-x)²+2²=x²,解得x=2.5,
∴ AH=1.5.
∵ △AHM∽△DMN,
∴ $\frac{AM}{DN} = \frac{MH}{MN} = \frac{AH}{MD}$,即$\frac{2}{DN} = \frac{2.5}{MN} = \frac{1.5}{2}$,
∴ $DN = \frac{8}{3}$, $MN = \frac{10}{3}$,
∴ △DMN的周长为$DN+MN+DM = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} + 2 = 8$.
(3)△DMN的周长是一个定值,始终为8. 理由如下:
设HM=HB=x,则AH=4-x. 在Rt△AHM中,AH²+AM²=HM²,
∴ (4-x)²+AM²=x²,即$AM = \sqrt{8x-16}$,
∴ $DM = 4 - AM = 4 - \sqrt{8x-16}$.
∵ △AHM ∽ △DMN, 且相似比为 $\frac{AH}{MD} = \frac{4-x}{4-\sqrt{8x-16}}$,
∴ $C_{△ DMN} = C_{△ AHM} · \frac{4-\sqrt{8x-16}}{4-x} = (4-x + x + \sqrt{8x-16}) · \frac{4-\sqrt{8x-16}}{4-x} = 8$,
∴ 在动点H逐渐向点A运动的过程中,△DMN的周长是一个定值,始终为8.
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，首先正方形的性质可得∠A和∠D均为直角，已有一组角相等；再结合HM⊥MN，利用同角的余角相等推出另一组角相等，即可通过“两角对应相等的两个三角形相似”完成证明。
(2) 先根据M是AD中点得到AM、MD的长度，设HB=HM=x，在Rt△AHM中用勾股定理列方程求出x，得到AH的长度；再利用(1)的相似结论得到对应边的比例关系，求出DN、MN的长度，三边相加即可得到△DMN的周长。
(3) 设HB=HM=x，先用勾股定理表示出AM、DM的长度，再根据相似三角形周长比等于相似比，将△DMN的周长用△AHM的周长和相似比表示，化简后即可判断周长为定值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠D = ∠A = 90°，
∵ HM ⊥ MN，
∴ ∠HMN = 90°，
∴ ∠DMN + ∠AMH = ∠AHM + ∠AMH = 90°，
∴ ∠AHM = ∠DMN，
∴ △AHM∽△DMN。
(2) 解：
∵ 点M是AD的中点，正方形ABCD的边长为4，
∴ MD=AM=2。
设HM=HB=x，则AH=4-x，
在Rt△AHM中，AH²+AM²=HM²，
∴ (4-x)²+2²=x²，解得x=2.5，
∴ AH=4-2.5=1.5。
∵ △AHM∽△DMN，
∴ $\frac{AM}{DN} = \frac{MH}{MN} = \frac{AH}{MD}$，即$\frac{2}{DN} = \frac{2.5}{MN} = \frac{1.5}{2}$，
解得 $DN = \frac{8}{3}$， $MN = \frac{10}{3}$，
∴ △DMN的周长为$DN+MN+DM = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} + 2 = 8$。
(3) 解：△DMN的周长是定值，始终为8，理由如下：
设HM=HB=x，则AH=4-x，
在Rt△AHM中，AH²+AM²=HM²，
∴ (4-x)²+AM²=x²，解得$AM = \sqrt{8x-16}$，
∴ $DM = 4 - AM = 4 - \sqrt{8x-16}$。
∵ △AHM ∽ △DMN， 且相似比为 $\frac{AH}{MD} = \frac{4-x}{4-\sqrt{8x-16}}$，
相似三角形的周长比等于相似比，
∴ $C_{△ DMN} = C_{△ AHM} · \frac{DM}{AH} = (4-x + x + \sqrt{8x-16}) · \frac{4-\sqrt{8x-16}}{4-x}$
化简可得$C_{△ DMN}=8$，
∴ 在动点H逐渐向点A运动的过程中，△DMN的周长是定值，始终为8。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{8}$；
(3) △DMN的周长为定值8，不随点H的运动发生变化。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了正方形性质、勾股定理、相似三角形的相关知识，前两问难度较低，第三问通过设参数、利用相似三角形周长比的性质化简得到定值，对代数运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明两个三角形相似，首先正方形的性质可得∠A和∠D均为直角，已有一组角相等；再结合HM⊥MN，利用同角的余角相等推出另一组角相等，即可通过“两角对应相等的两个三角形相似”完成证明。
(2) 先根据M是AD中点得到AM、MD的长度，设HB=HM=x，在Rt△AHM中用勾股定理列方程求出x，得到AH的长度；再利用(1)的相似结论得到对应边的比例关系，求出DN、MN的长度，三边相加即可得到△DMN的周长。
(3) 设HB=HM=x，先用勾股定理表示出AM、DM的长度，再根据相似三角形周长比等于相似比，将△DMN的周长用△AHM的周长和相似比表示，化简后即可判断周长为定值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠D = ∠A = 90°，
∵ HM ⊥ MN，
∴ ∠HMN = 90°，
∴ ∠DMN + ∠AMH = ∠AHM + ∠AMH = 90°，
∴ ∠AHM = ∠DMN，
∴ △AHM∽△DMN。
(2) 解：
∵ 点M是AD的中点，正方形ABCD的边长为4，
∴ MD=AM=2。
设HM=HB=x，则AH=4-x，
在Rt△AHM中，AH²+AM²=HM²，
∴ (4-x)²+2²=x²，解得x=2.5，
∴ AH=4-2.5=1.5。
∵ △AHM∽△DMN，
∴ $\frac{AM}{DN} = \frac{MH}{MN} = \frac{AH}{MD}$，即$\frac{2}{DN} = \frac{2.5}{MN} = \frac{1.5}{2}$，
解得 $DN = \frac{8}{3}$， $MN = \frac{10}{3}$，
∴ △DMN的周长为$DN+MN+DM = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} + 2 = 8$。
(3) 解：△DMN的周长是定值，始终为8，理由如下：
设HM=HB=x，则AH=4-x，
在Rt△AHM中，AH²+AM²=HM²，
∴ (4-x)²+AM²=x²，解得$AM = \sqrt{8x-16}$，
∴ $DM = 4 - AM = 4 - \sqrt{8x-16}$。
∵ △AHM ∽ △DMN， 且相似比为 $\frac{AH}{MD} = \frac{4-x}{4-\sqrt{8x-16}}$，
相似三角形的周长比等于相似比，
∴ $C_{△ DMN} = C_{△ AHM} · \frac{DM}{AH} = (4-x + x + \sqrt{8x-16}) · \frac{4-\sqrt{8x-16}}{4-x}$
化简可得$C_{△ DMN}=8$，
∴ 在动点H逐渐向点A运动的过程中，△DMN的周长是定值，始终为8。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{8}$；
(3) △DMN的周长为定值8，不随点H的运动发生变化。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了正方形性质、勾股定理、相似三角形的相关知识，前两问难度较低，第三问通过设参数、利用相似三角形周长比的性质化简得到定值，对代数运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
