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8.「2026上海崇明期中，★☆」当三角形中一个内角β是另外一个内角α的$\frac{1}{2}$时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α是这个“友好三角形”的“友好角”.如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°,那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为
54°或108°或84°
.答案
(1)当α=54°时,“友好角”α的度数为54°;
(2)当β=54°时,由题意得α=54°÷$\frac{1}{2}$=108°.
∴“友好角”α的度数为108°;
(3)当54°角既不是角α也不是角β时,
∵ α+β+54°=180°,
∴ α+$\frac{1}{2}$α+54°=180°,
∴ α=84°.
∴“友好角”α的度数为84°.故答案为54°或108°或84°.
(2)当β=54°时,由题意得α=54°÷$\frac{1}{2}$=108°.
∴“友好角”α的度数为108°;
(3)当54°角既不是角α也不是角β时,
∵ α+β+54°=180°,
∴ α+$\frac{1}{2}$α+54°=180°,
∴ α=84°.
∴“友好角”α的度数为84°.故答案为54°或108°或84°.
9.「2026安徽六安期末，★★☆」如图，将$△ ABC$纸片沿$DE$折叠，使点$A$落在点$A'$处，且$BA'$平分$∠ ABC$，$CA'$平分$∠ ACB$，若$∠ BA'C = 114°$，$∠ 1 = 45°$，则$∠ 2$的度数为
51°
。答案
∵ BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,
∴ ∠ABC=2∠A'BC,∠ACB=2∠A'CB,
∵ ∠A'BC+∠A'CB+∠BA'C=180°,∠BA'C=114°,
∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-114°=66°,
∴ ∠ABC+∠ACB=2(∠A'BC+∠A'CB)=2×66°=132°,
∴ ∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-132°=48°,
∴ ∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-48°=132°,由折叠可得,∠A'DE=∠ADE,∠A'ED=∠AED,
∴ ∠A'DA=2∠ADE,∠A'EA=2∠AED,
∴ ∠A'DA+∠A'EA=2(∠ADE+∠AED)=2×132°=264°,
∵ ∠1+∠A'DA=180°,∠2+∠A'EA=180°,
∴ ∠1=180°-∠A'DA,∠2=180°-∠A'EA,
∴ ∠1+∠2=360°-(∠A'DA+∠A'EA)=360°-264°=96°,
∵ ∠1=45°,
∴ ∠2=96°-45°=51°.
故答案为51°.
10.「2026河南商丘月考，★☆」如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC，我们把形如图1的图形称之为“8字型”.如图2，在图1的条件下，$∠ DAB$与$∠ BCD$的平分线AP，CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，解答下列问题：
(1)如图1，证明：$∠ A + ∠ D = ∠ B + ∠ C$.
(2)如图2，若$∠ B = 30°$，$∠ D = 40°$，求$∠ P$的度数.
(3)在图2中，若$∠ B = α$，$∠ D = β$，则$∠ P$的度数为
(1)如图1，证明：$∠ A + ∠ D = ∠ B + ∠ C$.
(2)如图2，若$∠ B = 30°$，$∠ D = 40°$，求$∠ P$的度数.
(3)在图2中，若$∠ B = α$，$∠ D = β$，则$∠ P$的度数为
$\frac{1}{2}(α+β)$
（用含$α$，$β$的代数式表示）.答案
(1)证明:
∵ ∠A+∠D+∠AOD=180°=∠B+∠C+∠BOC,且∠AOD=∠BOC,
∴ ∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)同(1)得∠P+∠DCP=∠D+∠DAP ①,∠P+∠PAB=∠B+∠PCB ②,
∵ ∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,
∴ ∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
由①+②,得∠P+∠DCP+∠P+∠PAB=∠D+∠DAP+∠B+∠PCB,
∴ 2∠P=∠D+∠B,
∵ ∠B=30°,∠D=40°,
∴ 2∠P=30°+40°=70°,
∴ ∠P=35°.
(3)$\frac{1}{2}(α+β)$.
详解:同(2)可得2∠P=∠D+∠B,
∵ ∠B=α,∠D=β,
∴ ∠P=$\frac{1}{2}(α+β)$.
∵ ∠A+∠D+∠AOD=180°=∠B+∠C+∠BOC,且∠AOD=∠BOC,
∴ ∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)同(1)得∠P+∠DCP=∠D+∠DAP ①,∠P+∠PAB=∠B+∠PCB ②,
∵ ∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,
∴ ∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
由①+②,得∠P+∠DCP+∠P+∠PAB=∠D+∠DAP+∠B+∠PCB,
∴ 2∠P=∠D+∠B,
∵ ∠B=30°,∠D=40°,
∴ 2∠P=30°+40°=70°,
∴ ∠P=35°.
(3)$\frac{1}{2}(α+β)$.
详解:同(2)可得2∠P=∠D+∠B,
∵ ∠B=α,∠D=β,
∴ ∠P=$\frac{1}{2}(α+β)$.
11. 核心素养 推理能力 「2026山东淄博期中」将三角尺(△MPN，∠MPN=90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内)，如图①所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C。我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系。
(1)特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=
(2)类比探索：猜想∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由。
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，猜想∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由。
(1)特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=
90
°，∠ABP+∠ACP=40
°。(2)类比探索：猜想∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由。
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，猜想∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由。
答案
(1)
∵ 在△ABC中,∠A=50°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,
∵ 在△PBC中,∠P=90°,∠P+∠PBC+∠PCB=180°,
∴ ∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°,
∵ ∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=∠ABC+∠ACB=130°,
∴ ∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°.
故答案为90;40.
(2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A.理由如下:
∵ (∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°,∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°,
∴ 90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°,
∴ ∠ABP+∠ACP+∠A=90°,
∴ ∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
(3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由如下:
如图,设AB交PC于点O,
∵ ∠AOC = ∠POB, ∠AOC + ∠ACO + ∠A = 180° = ∠POB + ∠PBO+∠P,
∴ ∠ACO + ∠A = ∠PBO + ∠P, 即∠ACP + ∠A = ∠ABP+90°,
∴ ∠ACP-∠ABP=90°-∠A.
