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1. 学科特色 方程思想 在$△ ABC$中，$∠ A: ∠ B: ∠ C = 1:3:4$，则$△ ABC$中最大的内角度数为（
A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$120°$
B
）A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$120°$
答案
∵ 在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:3:4,
∴ 设∠A=x,则∠B=3x,∠C=4x,
∴ x+3x+4x=180°,解得 x=22.5°,
∴ ∠C=4x=4×22.5°=90°,故选 B.
技巧归纳 题目中出现角度的比例关系时,常设单份比例为x,用含x的式子表示各个角的度数,然后根据三角形内角和定理列方程求解.
2. 学科特色「2026广东惠州期中」如图,点E,D分别在AB,AC上,若∠B=30°,∠C=55°,则∠1+∠2的度数为
85°
。答案
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A=180°-(∠B+∠C),
在△ADE中,∠A+∠1+∠2=180°,
∴ ∠A=180°-(∠1+∠2),
∴ ∠1+∠2=∠B+∠C=30°+55°=85°.
∴ ∠A=180°-(∠B+∠C),
在△ADE中,∠A+∠1+∠2=180°,
∴ ∠A=180°-(∠1+∠2),
∴ ∠1+∠2=∠B+∠C=30°+55°=85°.
3.「2026江西新余月考」如图,已知∠A,∠B,∠C是△ABC的内角,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
小颖作的辅助线如图1,过点C作DE//AB；
小星作的辅助线如图2,延长AB到F,作BE//AC；
小红作的辅助线如图3,作CG//AB.
请你认真阅读思考并完成如下问题:
(1)请从小颖,小星,小红三位同学的方法中选择一种来证明,写出完整的证明过程.
(2)在图2中,求证:∠CBF=∠A+∠C.
小颖作的辅助线如图1,过点C作DE//AB；
小星作的辅助线如图2,延长AB到F,作BE//AC；
小红作的辅助线如图3,作CG//AB.
请你认真阅读思考并完成如下问题:
(1)请从小颖,小星,小红三位同学的方法中选择一种来证明,写出完整的证明过程.
(2)在图2中,求证:∠CBF=∠A+∠C.
答案
(1)答案不唯一.
①选择小颖的方法进行证明:
∵ DE//AB,
∴ ∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,
∵ ∠ACD+∠BCE+∠ACB=180°,
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°.
②选择小星的方法进行证明:
∵ BE//AC,
∴ ∠A=∠EBF,∠C=∠CBE,
∵ ∠EBF+∠CBE+∠ABC=180°,
∴ ∠A+∠C+∠ABC=180°.
③选择小红的方法进行证明:
∵ CG//AB,
∴ ∠A+∠ACG=180°,∠B=∠BCG,
∴ ∠A+∠ACB+∠BCG=180°,
∴ ∠A+∠ACB+∠B=180°.
(2)
∵ BE//AC,
∴ ∠A=∠EBF,∠C=∠CBE,
∵ ∠CBF=∠EBF+∠CBE,
∴ ∠CBF=∠A+∠C.
①选择小颖的方法进行证明:
∵ DE//AB,
∴ ∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,
∵ ∠ACD+∠BCE+∠ACB=180°,
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°.
②选择小星的方法进行证明:
∵ BE//AC,
∴ ∠A=∠EBF,∠C=∠CBE,
∵ ∠EBF+∠CBE+∠ABC=180°,
∴ ∠A+∠C+∠ABC=180°.
③选择小红的方法进行证明:
∵ CG//AB,
∴ ∠A+∠ACG=180°,∠B=∠BCG,
∴ ∠A+∠ACB+∠BCG=180°,
∴ ∠A+∠ACB+∠B=180°.
(2)
∵ BE//AC,
∴ ∠A=∠EBF,∠C=∠CBE,
∵ ∠CBF=∠EBF+∠CBE,
∴ ∠CBF=∠A+∠C.
4.「2026重庆永川期末」如图,在△ABC中,∠A=68°,∠C=42°,点E,D分别在边AB,AC上,且ED//BC,若BD平分∠ABC,则∠BDE的度数为 (
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
D
)A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
答案
∵ ∠A=68°,∠C=42°,
∴ ∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-68°-42°=70°,
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°,
∵ ED//BC,
∴ ∠BDE=∠CBD=35°.故选 D.
5.一副三角尺按如图所示的方式放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=
100°
.答案
如图,设AC与DF交于点G,
由题意得∠BAC=60°,∠C=30°,∠D=45°,
∵ ∠EAB=35°,
∴ ∠CAD=180°-∠EAB-∠BAC=85°,
∴ ∠AGD=180°-∠D-∠CAD=50°,
∴ ∠CGF=∠AGD=50°,
∴ ∠DFC=180°-∠C-∠CGF=100°.
6. 学科特色 教材变式 如图,轮船在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,求∠A的度数.
答案
如图,根据题意知∠1=∠2=30°,
∴ ∠CBA=75°-30°=45°,
∵ ∠ACD=60°,
∴ ∠ACB=30°+60°=90°,
∴ ∠A=180°-90°-45°=45°.
7.「2026安徽蚌埠期中，★☆」如图，线段AC，BD交于点O，点E在AD的延长线上，CM，DM分别平分∠BCA，∠BDE。若∠A=∠B，则∠EDM+∠BCM的度数为（
A.45°
B.60°
C.90°
D.100°
C
）A.45°
B.60°
C.90°
D.100°
答案
∵ CM,DM分别平分∠BCA,∠BDE,
∴ ∠BCM=$\frac{1}{2}$∠ACB,∠EDM=$\frac{1}{2}$∠BDE,
∵ 在△AOD中,∠A+∠AOD+∠ADO=180°,在△BOC中,∠B+∠BOC+∠OCB=180°,∠A=∠B,∠AOD=∠BOC,
∴ ∠ADO=∠OCB,
∴ ∠BCM=$\frac{1}{2}$∠ADO,
∴ ∠EDM+∠BCM=$\frac{1}{2}$(∠BDE+∠ADO)=$\frac{1}{2}$×180°=90°.故选 C.
