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1 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -2x +a=0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≤1$
B.$a＜1$
C.$a≤-1$
D.$a≥1$
A
）。A.$a≤1$
B.$a＜1$
C.$a≤-1$
D.$a≥1$
答案
1.A
解析
【分析】
解题思路如下：首先看到题目给出一元二次方程有实数根，应优先联想到一元二次方程根的判别式的相关性质：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当判别式$\Delta = B^2-4AC≥0$时，方程有实数根。接下来我们只需要从给定方程中对应找出$A、B、C$的值，代入判别式列出关于$a$的不等式，求解不等式即可得到$a$的取值范围，再匹配选项。
【解析】
已知方程$x^2 -2x +a=0$是关于$x$的一元二次方程，且有实数根，
该方程的二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a$，
根据一元二次方程有实根的条件，判别式$\Delta = B^2-4AC≥0$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 -4×1× a ≥0$
计算得：$4 -4a ≥0$
移项化简：$4≥4a$，两边同时除以4得$a≤1$
因此实数$a$的取值范围是$a≤1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程判别式的基础应用题型，解题关键是明确判别式与方程实根情况的对应关系，注意“有实数根”包含有两个相等实根和两个不等实根两种情况，因此判别式取大于等于0，不要遗漏等号，计算时注意系数的符号，避免代入出错。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先看到题目给出一元二次方程有实数根，应优先联想到一元二次方程根的判别式的相关性质：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当判别式$\Delta = B^2-4AC≥0$时，方程有实数根。接下来我们只需要从给定方程中对应找出$A、B、C$的值，代入判别式列出关于$a$的不等式，求解不等式即可得到$a$的取值范围，再匹配选项。
【解析】
已知方程$x^2 -2x +a=0$是关于$x$的一元二次方程，且有实数根，
该方程的二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a$，
根据一元二次方程有实根的条件，判别式$\Delta = B^2-4AC≥0$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 -4×1× a ≥0$
计算得：$4 -4a ≥0$
移项化简：$4≥4a$，两边同时除以4得$a≤1$
因此实数$a$的取值范围是$a≤1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程判别式的基础应用题型，解题关键是明确判别式与方程实根情况的对应关系，注意“有实数根”包含有两个相等实根和两个不等实根两种情况，因此判别式取大于等于0，不要遗漏等号，计算时注意系数的符号，避免代入出错。
【难度系数】
0.9
② 已知方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + m = 0$有两个实数根，那么$\sqrt{(m - 1)^2}$的化简结果是（
A.$m - 1$
B.$1 - m$
C.$\pm (m - 1)$
D.$m + 1$
B
）。A.$m - 1$
B.$1 - m$
C.$\pm (m - 1)$
D.$m + 1$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们分两步思考：第一步，已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式的取值要求，先求出参数m的取值范围；第二步，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将待化简式子转化为绝对值形式，再结合m的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到化简结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，当方程有两个实数根时，判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
本题中方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + m = 0$中，$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 - 4×2× m ≥0$
计算得：$8 - 8m ≥0$
解不等式得：$m≤1$
因此$m-1≤0$。
根据二次根式的性质：$\sqrt{(m-1)^2}=|m-1|$，
因为$m-1≤0$，所以$|m-1|=-(m-1)=1-m$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次根式的化简
【点评】
本题是一元二次方程判别式与二次根式化简的综合基础题，解题核心是先通过判别式确定参数的取值范围，再结合范围完成绝对值的去符号运算，容易出错的地方是忽略判别式取等号的情况，以及判断绝对值符号内式子正负时出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们分两步思考：第一步，已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式的取值要求，先求出参数m的取值范围；第二步，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将待化简式子转化为绝对值形式，再结合m的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到化简结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，当方程有两个实数根时，判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
本题中方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + m = 0$中，$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 - 4×2× m ≥0$
计算得：$8 - 8m ≥0$
解不等式得：$m≤1$
因此$m-1≤0$。
根据二次根式的性质：$\sqrt{(m-1)^2}=|m-1|$，
因为$m-1≤0$，所以$|m-1|=-(m-1)=1-m$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次根式的化简
【点评】
本题是一元二次方程判别式与二次根式化简的综合基础题，解题核心是先通过判别式确定参数的取值范围，再结合范围完成绝对值的去符号运算，容易出错的地方是忽略判别式取等号的情况，以及判断绝对值符号内式子正负时出错。
【难度系数】
0.7
3 关于$x$的方程$mx^2 + x - m + 1 = 0$有以下三个结论:①当$m=0$时,方程只有一个实数根;②当$m≠0$时,方程有两个不相等的实数根;③无论$m$取何值,方程都有一个负数根。其中正确的是(
A.①③
B.②③
C.①②
D.①②③
A
)。A.①③
B.②③
C.①②
D.①②③
答案
3.A
解析
【分析】
要判断三个结论的正确性，需按二次项系数是否为0分类讨论：1. 当m=0时，方程为一元一次方程，直接求解判断结论①；2. 当m≠0时，方程为一元二次方程，先计算判别式，根据判别式的符号判断结论②；再通过因式分解找根的特点，判断结论③是否成立。
【解析】
我们逐个验证三个结论：
1. 验证结论①：当m=0时，原方程化简为$x + 1 = 0$，解得$x = -1$，只有1个实数根，故结论①正确。
2. 验证结论②：当$m≠0$时，原方程是一元二次方程，计算判别式：
$\Delta = 1^2 - 4·m·(-m + 1) = 1 + 4m^2 - 4m = (2m - 1)^2$
∵ $(2m - 1)^2 ≥ 0$，当$m=\frac{1}{2}$时$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数根，并非总有两个不相等的实数根，故结论②错误。
3. 验证结论③：
因式分解原方程可得：
$mx^2 + x - m + 1 = (mx - m + 1)(x + 1) = 0$
可直接得到方程的一个根为$x = -1$，是负数；当$m=0$时，方程的解也是$x=-1$，因此无论m取何值，方程都有一个负数根$x=-1$，故结论③正确。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式、因式分解解方程
【点评】
本题核心考查含参数方程的分类讨论思想，易错点是忽略二次项系数为0的情况，以及判别式等于0时方程有两个相等实根的规则，通过因式分解找固定根能快速判断结论③的正确性。
【难度系数】
0.7
要判断三个结论的正确性，需按二次项系数是否为0分类讨论：1. 当m=0时，方程为一元一次方程，直接求解判断结论①；2. 当m≠0时，方程为一元二次方程，先计算判别式，根据判别式的符号判断结论②；再通过因式分解找根的特点，判断结论③是否成立。
【解析】
我们逐个验证三个结论：
1. 验证结论①：当m=0时，原方程化简为$x + 1 = 0$，解得$x = -1$，只有1个实数根，故结论①正确。
2. 验证结论②：当$m≠0$时，原方程是一元二次方程，计算判别式：
$\Delta = 1^2 - 4·m·(-m + 1) = 1 + 4m^2 - 4m = (2m - 1)^2$
∵ $(2m - 1)^2 ≥ 0$，当$m=\frac{1}{2}$时$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数根，并非总有两个不相等的实数根，故结论②错误。
3. 验证结论③：
因式分解原方程可得：
$mx^2 + x - m + 1 = (mx - m + 1)(x + 1) = 0$
可直接得到方程的一个根为$x = -1$，是负数；当$m=0$时，方程的解也是$x=-1$，因此无论m取何值，方程都有一个负数根$x=-1$，故结论③正确。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式、因式分解解方程
【点评】
本题核心考查含参数方程的分类讨论思想，易错点是忽略二次项系数为0的情况，以及判别式等于0时方程有两个相等实根的规则，通过因式分解找固定根能快速判断结论③的正确性。
【难度系数】
0.7
4 关于x的方程$2x^2 - (2m + 1)x + m = 0$的判别式的值是9，则$m=$
5 关于x的方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$有两个实数根，则实数$m$的取值范围为
-1或2
。5 关于x的方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$有两个实数根，则实数$m$的取值范围为
$m≤1$且$m≠0$
。答案
4.-1或2
5.$m≤1$且$m≠0$
5.$m≤1$且$m≠0$
解析
【分析】
第4题：已知一元二次方程的判别式值为9，首先回忆一元二次方程判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的一元二次方程，解方程即可求出$m$的值。
第5题：方程有两个实数根，首先要满足方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；其次判别式$\Delta≥0$，结合两个条件解不等式，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
第4题
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$2x^2 - (2m + 1)x + m = 0$中，$a=2$，$b=-(2m+1)$，$c=m$，由题意得$\Delta=9$，代入得：
$\begin{aligned}[-(2m+1)]^2 - 4×2× m &=9\\4m^2+4m+1 -8m &=9\\4m^2-4m-8&=0\\m^2 -m -2&=0\\(m-2)(m+1)&=0\end{aligned}$
解得$m=2$或$m=-1$。
第5题
方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$有两个实数根，需满足两个条件：
1. 方程为一元二次方程，故二次项系数$m≠0$；
2. 判别式$\Delta≥0$，即：
$\begin{aligned}(-2)^2 -4× m×1 &≥0\\4-4m&≥0\\m&≤1\end{aligned}$
结合两个条件，得$m$的取值范围是$m≤1$且$m≠0$。
【答案】
4. $-1$或$2$；5. $m≤1$且$m≠0$
【知识点】
一元二次方程判别式、一元二次方程的定义、一元一次不等式求解
【点评】
这两道题是一元二次方程判别式的典型基础应用题，第4题直接套用判别式公式列方程求解即可；第5题容易忽略“有两个实数根隐含方程是一元二次方程，二次项系数不能为0”的条件，做题时要注意先判断方程类型，避免漏条件出错。
【难度系数】
0.7
第4题：已知一元二次方程的判别式值为9，首先回忆一元二次方程判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的一元二次方程，解方程即可求出$m$的值。
第5题：方程有两个实数根，首先要满足方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；其次判别式$\Delta≥0$，结合两个条件解不等式，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
第4题
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$2x^2 - (2m + 1)x + m = 0$中，$a=2$，$b=-(2m+1)$，$c=m$，由题意得$\Delta=9$，代入得：
$\begin{aligned}[-(2m+1)]^2 - 4×2× m &=9\\4m^2+4m+1 -8m &=9\\4m^2-4m-8&=0\\m^2 -m -2&=0\\(m-2)(m+1)&=0\end{aligned}$
解得$m=2$或$m=-1$。
第5题
方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$有两个实数根，需满足两个条件：
1. 方程为一元二次方程，故二次项系数$m≠0$；
2. 判别式$\Delta≥0$，即：
$\begin{aligned}(-2)^2 -4× m×1 &≥0\\4-4m&≥0\\m&≤1\end{aligned}$
结合两个条件，得$m$的取值范围是$m≤1$且$m≠0$。
【答案】
4. $-1$或$2$；5. $m≤1$且$m≠0$
【知识点】
一元二次方程判别式、一元二次方程的定义、一元一次不等式求解
【点评】
这两道题是一元二次方程判别式的典型基础应用题，第4题直接套用判别式公式列方程求解即可；第5题容易忽略“有两个实数根隐含方程是一元二次方程，二次项系数不能为0”的条件，做题时要注意先判断方程类型，避免漏条件出错。
【难度系数】
0.7
⑥ 已知关于x的一元二次方程$x^2 - x - m = 0$有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
$m＞-\frac{1}{4}$
。答案
6.$m＞-\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先，题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，我们需要联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来我们先确定给定方程中$a、b、c$的取值（注意常数项的符号），再代入$\Delta＞0$得到关于$m$的不等式，最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入系数得：
$\begin{aligned}(-1)^2 - 4×1×(-m) &＞ 0\\1 + 4m &＞ 0\\4m &＞ -1\\m &＞ -\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$m＞-\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程判别式的基础应用题型，核心考查判别式与方程根的个数的对应关系，以及简单一元一次不等式的求解，熟练掌握判别式的三种取值对应的根的情况是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，我们需要联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来我们先确定给定方程中$a、b、c$的取值（注意常数项的符号），再代入$\Delta＞0$得到关于$m$的不等式，最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入系数得：
$\begin{aligned}(-1)^2 - 4×1×(-m) &＞ 0\\1 + 4m &＞ 0\\4m &＞ -1\\m &＞ -\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$m＞-\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程判别式的基础应用题型，核心考查判别式与方程根的个数的对应关系，以及简单一元一次不等式的求解，熟练掌握判别式的三种取值对应的根的情况是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8
7 如果关于x的方程$2x^2 - (4k + 1)x + 2k^2 - 1 = 0$没有实数根，那么k的取值范围是
$k＜-\frac{9}{8}$
。答案
7.$k＜-\frac{9}{8}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。解题思路为：第一步确定方程中$a、b、c$的取值，第二步代入判别式公式计算$\Delta$，第三步根据“无实数根”的条件列关于$k$的不等式，第四步解不等式得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - (4k + 1)x + 2k^2 - 1 = 0$：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-(4k+1)$，常数项$c=2k^2-1$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，代入得：
$[-(4k+1)]^2 - 4×2×(2k^2 - 1) ＜ 0$
展开计算：
$16k^2 + 8k + 1 - 8(2k^2 - 1) ＜ 0$
$16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 + 8 ＜ 0$
合并同类项得：
$8k + 9 ＜ 0$
解不等式得：$k ＜ -\frac{9}{8}$。
【答案】
$k＜-\frac{9}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于判别式的基础应用题型，解题核心是熟记判别式和方程根的个数的对应关系，计算过程中要注意符号处理，避免展开运算时出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。解题思路为：第一步确定方程中$a、b、c$的取值，第二步代入判别式公式计算$\Delta$，第三步根据“无实数根”的条件列关于$k$的不等式，第四步解不等式得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - (4k + 1)x + 2k^2 - 1 = 0$：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-(4k+1)$，常数项$c=2k^2-1$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，代入得：
$[-(4k+1)]^2 - 4×2×(2k^2 - 1) ＜ 0$
展开计算：
$16k^2 + 8k + 1 - 8(2k^2 - 1) ＜ 0$
$16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 + 8 ＜ 0$
合并同类项得：
$8k + 9 ＜ 0$
解不等式得：$k ＜ -\frac{9}{8}$。
【答案】
$k＜-\frac{9}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于判别式的基础应用题型，解题核心是熟记判别式和方程根的个数的对应关系，计算过程中要注意符号处理，避免展开运算时出错。
【难度系数】
0.7
⑧若一元二次方程$kx^2 - 3x + 2 = 0$有实根，则k的取值范围是
$k≤\frac{9}{8}$且$k≠0$
。答案
8.$k≤\frac{9}{8}$且$k≠0$
解析
【分析】
首先，题目明确说明是一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$k≠0$，这是容易遗漏的前提条件。其次，方程有实根，说明根的判别式大于等于0，我们可以先确定方程各项系数，代入判别式公式得到关于k的不等式，解出不等式的解集后，结合$k≠0$的条件，就能得到k的最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 - 3x + 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=-3$，$c=2$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4× k × 2 = 9 - 8k ≥ 0$
解不等式$9 - 8k ≥ 0$：
移项得$8k ≤ 9$，解得$k ≤ \frac{9}{8}$
结合$k≠0$的条件，可得k的取值范围是$k ≤ \frac{9}{8}$且$k≠0$
【答案】
$k≤\frac{9}{8}$且$k≠0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用，一元一次不等式解法
【点评】
本题属于一元二次方程判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解得到错误范围，解题时需先明确方程类型，再结合判别式条件综合求解。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确说明是一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$k≠0$，这是容易遗漏的前提条件。其次，方程有实根，说明根的判别式大于等于0，我们可以先确定方程各项系数，代入判别式公式得到关于k的不等式，解出不等式的解集后，结合$k≠0$的条件，就能得到k的最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 - 3x + 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=-3$，$c=2$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4× k × 2 = 9 - 8k ≥ 0$
解不等式$9 - 8k ≥ 0$：
移项得$8k ≤ 9$，解得$k ≤ \frac{9}{8}$
结合$k≠0$的条件，可得k的取值范围是$k ≤ \frac{9}{8}$且$k≠0$
【答案】
$k≤\frac{9}{8}$且$k≠0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用，一元一次不等式解法
【点评】
本题属于一元二次方程判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解得到错误范围，解题时需先明确方程类型，再结合判别式条件综合求解。
【难度系数】
0.7
9 已知关于 x 的方程$x^2 + (3 - m)x + \frac{m^2}{4} = 0$有两个不相等的实数根，那么 m 的最大整数值是
1
。答案
9.1
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0。我们先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式后找出小于解集的最大整数即可。
【解析】
已知关于x的方程$x^2 + (3 - m)x + \frac{m^2}{4} = 0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta ＞ 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，此处$a=1$，$b=3-m$，$c=\frac{m^2}{4}$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (3-m)^2 - 4×1×\frac{m^2}{4}$
展开化简：
$\Delta = 9 - 6m + m^2 - m^2 = 9 - 6m$
由$\Delta＞0$得：
$9 - 6m ＞ 0$
移项得：$-6m ＞ -9$
不等式两边同时除以$-6$，不等号方向改变，得：
$m ＜ \frac{9}{6} = 1.5$
小于1.5的最大整数是1，因此m的最大整数值是1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是根据根的情况建立参数的不等式，注意解不等式时两边同乘除负数要改变不等号方向，属于判别式的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0。我们先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式后找出小于解集的最大整数即可。
【解析】
已知关于x的方程$x^2 + (3 - m)x + \frac{m^2}{4} = 0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta ＞ 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，此处$a=1$，$b=3-m$，$c=\frac{m^2}{4}$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (3-m)^2 - 4×1×\frac{m^2}{4}$
展开化简：
$\Delta = 9 - 6m + m^2 - m^2 = 9 - 6m$
由$\Delta＞0$得：
$9 - 6m ＞ 0$
移项得：$-6m ＞ -9$
不等式两边同时除以$-6$，不等号方向改变，得：
$m ＜ \frac{9}{6} = 1.5$
小于1.5的最大整数是1，因此m的最大整数值是1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是根据根的情况建立参数的不等式，注意解不等式时两边同乘除负数要改变不等号方向，属于判别式的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
⑩ 若关于x的一元二次方程$(k - 5)x^2 - 2x + 2 = 0$无实数根，则整数k的最小值为
6
。答案
10.6
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确两个核心条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程，这是容易遗漏的隐含条件；②方程无实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ＜0。我们先代入系数写出判别式的不等式，解不等式得到k的取值范围，再结合k是整数的要求，就能找到最小的整数k。
【解析】
解：
∵$(k - 5)x^2 - 2x + 2 = 0$是关于x的一元二次方程
∴二次项系数$k-5≠0$，即$k≠5$
∵该方程无实数根
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，其中$a=k-5$，$b=-2$，$c=2$
代入得：
$(-2)^2 - 4×(k-5)×2 ＜ 0$
$4 - 8(k-5) ＜ 0$
$4 - 8k + 40 ＜ 0$
$44 ＜ 8k$
解得$k ＞ 5.5$
结合$k≠5$，且k为整数，可得满足条件的最小整数k为6
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；不等式的整数解
【点评】
本题解题的关键是不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，先确定参数的基础限制，再结合根的判别式对应情况列不等式求解，最后根据参数的整数要求筛选出结果即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确两个核心条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程，这是容易遗漏的隐含条件；②方程无实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ＜0。我们先代入系数写出判别式的不等式，解不等式得到k的取值范围，再结合k是整数的要求，就能找到最小的整数k。
【解析】
解：
∵$(k - 5)x^2 - 2x + 2 = 0$是关于x的一元二次方程
∴二次项系数$k-5≠0$，即$k≠5$
∵该方程无实数根
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，其中$a=k-5$，$b=-2$，$c=2$
代入得：
$(-2)^2 - 4×(k-5)×2 ＜ 0$
$4 - 8(k-5) ＜ 0$
$4 - 8k + 40 ＜ 0$
$44 ＜ 8k$
解得$k ＞ 5.5$
结合$k≠5$，且k为整数，可得满足条件的最小整数k为6
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；不等式的整数解
【点评】
本题解题的关键是不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，先确定参数的基础限制，再结合根的判别式对应情况列不等式求解，最后根据参数的整数要求筛选出结果即可。
【难度系数】
0.7
11 已知关于x的方程$(k^2 - 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$有实数根，求k的取值范围。
答案
11 当$k=1$时,原方程可化为$4x+1=0$,有实数根;当$k=-1$时,原方程可化为$1=0$,方程无解;当$k^2-1≠0$,即$k≠±1$时,由$Δ≥0$,得$k≥-1$,所以$k＞-1$且$k≠1$。综上所述,$k$的取值范围为$k＞-1$。
解析
【分析】
这是一道含参数的方程有实根求参数范围的题目，解题时首先要注意二次项系数含参数，因此不能直接判定为一元二次方程，需要分类讨论：①先讨论二次项系数为0的情况，此时方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②再讨论二次项系数不为0的情况，此时方程为一元二次方程，根据“有实根则判别式Δ≥0”列不等式求解参数范围，最后综合两种情况得到k的最终取值范围。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当二次项系数$k^2 - 1 = 0$时，即$k = ±1$：
若$k = 1$，原方程化为$4x + 1 = 0$，这是一元一次方程，解得$x = -\frac{1}{4}$，有实数根，符合要求；
若$k = -1$，原方程化为$1 = 0$，等式不成立，方程无解，不符合要求。
2. 当二次项系数$k^2 - 1 ≠ 0$，即$k ≠ ±1$时，原方程是一元二次方程，方程有实根则判别式$\Delta ≥ 0$：
计算判别式：$\Delta = [2(k+1)]^2 - 4×(k^2 - 1)×1 = 4(k^2 + 2k + 1) - 4k^2 + 4 = 8k + 8$
令$\Delta ≥ 0$，即$8k + 8 ≥ 0$，解得$k ≥ -1$
结合前提$k ≠ ±1$，此时k的取值范围是$k ＞ -1$且$k ≠ 1$。
综合以上两种情况，取符合要求的范围的并集，可得k的取值范围。
【答案】
$k ＞ -1$
【知识点】
含参方程分类讨论，一元二次方程根的判别式，一元一次方程的解
【点评】
本题是含参方程根的存在性问题的经典题型，易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程求解，导致漏掉$k=1$的情况，或未验证$k=-1$时方程是否有解，解题时需养成分类讨论的习惯，全面考虑问题。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数的方程有实根求参数范围的题目，解题时首先要注意二次项系数含参数，因此不能直接判定为一元二次方程，需要分类讨论：①先讨论二次项系数为0的情况，此时方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②再讨论二次项系数不为0的情况，此时方程为一元二次方程，根据“有实根则判别式Δ≥0”列不等式求解参数范围，最后综合两种情况得到k的最终取值范围。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当二次项系数$k^2 - 1 = 0$时，即$k = ±1$：
若$k = 1$，原方程化为$4x + 1 = 0$，这是一元一次方程，解得$x = -\frac{1}{4}$，有实数根，符合要求；
若$k = -1$，原方程化为$1 = 0$，等式不成立，方程无解，不符合要求。
2. 当二次项系数$k^2 - 1 ≠ 0$，即$k ≠ ±1$时，原方程是一元二次方程，方程有实根则判别式$\Delta ≥ 0$：
计算判别式：$\Delta = [2(k+1)]^2 - 4×(k^2 - 1)×1 = 4(k^2 + 2k + 1) - 4k^2 + 4 = 8k + 8$
令$\Delta ≥ 0$，即$8k + 8 ≥ 0$，解得$k ≥ -1$
结合前提$k ≠ ±1$，此时k的取值范围是$k ＞ -1$且$k ≠ 1$。
综合以上两种情况，取符合要求的范围的并集，可得k的取值范围。
【答案】
$k ＞ -1$
【知识点】
含参方程分类讨论，一元二次方程根的判别式，一元一次方程的解
【点评】
本题是含参方程根的存在性问题的经典题型，易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程求解，导致漏掉$k=1$的情况，或未验证$k=-1$时方程是否有解，解题时需养成分类讨论的习惯，全面考虑问题。
【难度系数】
0.6
