登录
12 已知关于x的方程$x^2 - \sqrt{2k + 4}x + k = 0$有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）化简：$|-k - 2| + \sqrt{k^2 - 4k + 4}$。
（1）求k的取值范围；
（2）化简：$|-k - 2| + \sqrt{k^2 - 4k + 4}$。
答案
12 由$Δ＞0$,得$k＜2$;由$2k+4≥0$,得$k≥-2$。所以$k$的取值范围是$-2≤k＜2$。
(2)$|-k-2|+\sqrt{k^2-4k+4}=|k+2|+|k-2|=k+2+2-k=4$。
(2)$|-k-2|+\sqrt{k^2-4k+4}=|k+2|+|k-2|=k+2+2-k=4$。
解析
【分析】
（1）求k的取值范围需满足两个条件：一是一次项系数中的二次根式有意义，即被开方数非负；二是一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。分别求解两个不等式后取公共解集即可。（2）化简代数式时，先利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为两个绝对值的和，再结合第（1）问得到的k的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可。
【解析】
（1）
∵方程$x^2 - \sqrt{2k + 4}x + k = 0$有两个不相等的实数根，
∴首先二次根式有意义：$2k+4≥0$，解得$k≥-2$；
再由根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=1$，$b=-\sqrt{2k+4}$，$c=k$，
代入得：$\Delta = (\sqrt{2k+4})^2 - 4×1× k = 2k+4-4k = 4-2k＞0$，
解得$k＜2$。
综合两个条件，k的取值范围是$-2≤k＜2$。
（2）先化简原式：
$|-k - 2| + \sqrt{k^2 - 4k + 4} = |-(k+2)| + \sqrt{(k-2)^2} = |k+2| + |k-2|$，
由（1）知$-2≤k＜2$，
∴$k+2≥0$，$k-2＜0$，
去绝对值得：$|k+2|=k+2$，$|k-2|=2-k$，
∴原式$=k+2+2-k=4$。
【答案】
（1）$-2≤k＜2$；（2）$4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，解题时需注意不要遗漏二次根式被开方数非负的隐含条件，去绝对值时要结合未知数的取值范围判断符号，是对一元二次方程和代数化简基础知识点的综合考察。
【难度系数】
0.7
（1）求k的取值范围需满足两个条件：一是一次项系数中的二次根式有意义，即被开方数非负；二是一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。分别求解两个不等式后取公共解集即可。（2）化简代数式时，先利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为两个绝对值的和，再结合第（1）问得到的k的取值范围，判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可。
【解析】
（1）
∵方程$x^2 - \sqrt{2k + 4}x + k = 0$有两个不相等的实数根，
∴首先二次根式有意义：$2k+4≥0$，解得$k≥-2$；
再由根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=1$，$b=-\sqrt{2k+4}$，$c=k$，
代入得：$\Delta = (\sqrt{2k+4})^2 - 4×1× k = 2k+4-4k = 4-2k＞0$，
解得$k＜2$。
综合两个条件，k的取值范围是$-2≤k＜2$。
（2）先化简原式：
$|-k - 2| + \sqrt{k^2 - 4k + 4} = |-(k+2)| + \sqrt{(k-2)^2} = |k+2| + |k-2|$，
由（1）知$-2≤k＜2$，
∴$k+2≥0$，$k-2＜0$，
去绝对值得：$|k+2|=k+2$，$|k-2|=2-k$，
∴原式$=k+2+2-k=4$。
【答案】
（1）$-2≤k＜2$；（2）$4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，解题时需注意不要遗漏二次根式被开方数非负的隐含条件，去绝对值时要结合未知数的取值范围判断符号，是对一元二次方程和代数化简基础知识点的综合考察。
【难度系数】
0.7
13 已知关于$x$的方程$x^2 - 2\sqrt{-a}x + \frac{(a - 1)^2}{4} = 0$有实数根，其中$a$为实数，求$a^{2025} - x^{2025}$的值。
答案
13 由题意可得$-a≥0$,$a≤0$。因为$Δ=4(\sqrt{-a})^2-(a-1)^2=-4a-a^2+2a-1=-(a+1)^2≥0$,所以$a=-1$,此时原方程可化为$x^2-2x+1=0$,解得$x_1=x_2=1$。所以$a^{2025} -x^{2025}=-1-1=-2$。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路逐步推导：第一步，先观察方程中的二次根式$\sqrt{-a}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，由此先得到参数$a$的初步取值范围；第二步，一元二次方程有实数根的充要条件是判别式$\Delta≥0$，代入判别式公式化简后，结合平方数的非负性就能求出$a$的具体值；第三步，把求出的$a$代回原方程，解出$x$的取值；最后将$a$和$x$代入目标代数式，根据乘方的运算性质计算最终结果即可。
【解析】
解：首先根据二次根式有意义的条件，根号下的被开方数非负，可得：
$-a≥0$，即$a≤0$
∵ 关于$x$的一元二次方程有实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
在方程$x^2 - 2\sqrt{-a}x + \frac{(a - 1)^2}{4} = 0$中，二次项系数为1，一次项系数为$-2\sqrt{-a}$，常数项为$\frac{(a-1)^2}{4}$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-2\sqrt{-a})^2 - 4×1×\frac{(a-1)^2}{4}$
$=4×(-a) - (a-1)^2$
$=-4a - a^2 +2a -1$
$= -a^2-2a-1$
$=-(a+1)^2$
∵ $\Delta≥0$，即$-(a+1)^2≥0$
又
∵ 任意实数的平方非负，即$(a+1)^2≥0$
∴ 只有$(a+1)^2=0$，解得$a=-1$，符合$a≤0$的条件
将$a=-1$代入原方程，得：
$x^2 - 2\sqrt{1}x + \frac{(-2)^2}{4}=0$
化简得$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$
代入代数式计算：
$a^{2025} - x^{2025}=(-1)^{2025} - 1^{2025}=-1-1=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次根式的性质；一元二次方程根的判别式；乘方运算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是不要遗漏二次根式被开方数非负的隐含条件，结合判别式的取值限制就能快速求出参数值，计算乘方时注意负数的奇数次幂仍为负数即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路逐步推导：第一步，先观察方程中的二次根式$\sqrt{-a}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，由此先得到参数$a$的初步取值范围；第二步，一元二次方程有实数根的充要条件是判别式$\Delta≥0$，代入判别式公式化简后，结合平方数的非负性就能求出$a$的具体值；第三步，把求出的$a$代回原方程，解出$x$的取值；最后将$a$和$x$代入目标代数式，根据乘方的运算性质计算最终结果即可。
【解析】
解：首先根据二次根式有意义的条件，根号下的被开方数非负，可得：
$-a≥0$，即$a≤0$
∵ 关于$x$的一元二次方程有实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
在方程$x^2 - 2\sqrt{-a}x + \frac{(a - 1)^2}{4} = 0$中，二次项系数为1，一次项系数为$-2\sqrt{-a}$，常数项为$\frac{(a-1)^2}{4}$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-2\sqrt{-a})^2 - 4×1×\frac{(a-1)^2}{4}$
$=4×(-a) - (a-1)^2$
$=-4a - a^2 +2a -1$
$= -a^2-2a-1$
$=-(a+1)^2$
∵ $\Delta≥0$，即$-(a+1)^2≥0$
又
∵ 任意实数的平方非负，即$(a+1)^2≥0$
∴ 只有$(a+1)^2=0$，解得$a=-1$，符合$a≤0$的条件
将$a=-1$代入原方程，得：
$x^2 - 2\sqrt{1}x + \frac{(-2)^2}{4}=0$
化简得$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$
代入代数式计算：
$a^{2025} - x^{2025}=(-1)^{2025} - 1^{2025}=-1-1=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次根式的性质；一元二次方程根的判别式；乘方运算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是不要遗漏二次根式被开方数非负的隐含条件，结合判别式的取值限制就能快速求出参数值，计算乘方时注意负数的奇数次幂仍为负数即可。
【难度系数】
0.7
14 已知$a$、$b$、$c$是$△ ABC$的三条边，关于$x$的方程$(b+c)x^2+\sqrt{2}(a-c)x-\frac{3}{4}(a-c)=0$有两个相等的实数根。求证：$△ ABC$是等腰三角形。
答案
14 因为方程有两个相等的实数根,所以$Δ=0$。即$[\sqrt{2}(a-c)]^2-4(b+c)[-\frac{3}{4}(a-c)]=0$,可得$(a-c)(2a+3b+c)=0$。因为$a$、$b$、$c$是$△ABC$的三条边,所以$a＞0$,$b＞0$,$c＞0$,所以$2a+3b+c＞0$,所以$a-c=0$,即$a=c$,所以$△ABC$是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，只需证明三角形有两条边相等即可。已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，可知判别式Δ=0。我们先代入方程的各项系数计算判别式，再对得到的等式变形整理，最后结合三角形边长均为正数的性质，推导得出两条边相等的结论即可。
【解析】
证明：
∵ 关于x的方程$(b+c)x^2+\sqrt{2}(a-c)x-\frac{3}{4}(a-c)=0$有两个相等的实数根，且二次项系数$b+c＞0$，该方程为一元二次方程
∴ 判别式$\Delta=0$
即$[\sqrt{2}(a-c)]^2 - 4(b+c)·[-\frac{3}{4}(a-c)] = 0$
展开整理得：$2(a-c)^2 + 3(b+c)(a-c) = 0$
提取公因式$(a-c)$得：$(a-c)(2a+3b+c)=0$
∵ a、b、c是△ABC的三条边，
∴ $a＞0,b＞0,c＞0$
∴ $2a+3b+c＞0$
∴ $a-c=0$，即$a=c$
∴ △ABC是等腰三角形
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定，三角形边长性质
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题核心是利用一元二次方程有两个相等实根时判别式为0的性质建立边长的等量关系，再结合三角形边长为正的性质排除不符合题意的情况，即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是等腰三角形，只需证明三角形有两条边相等即可。已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，可知判别式Δ=0。我们先代入方程的各项系数计算判别式，再对得到的等式变形整理，最后结合三角形边长均为正数的性质，推导得出两条边相等的结论即可。
【解析】
证明：
∵ 关于x的方程$(b+c)x^2+\sqrt{2}(a-c)x-\frac{3}{4}(a-c)=0$有两个相等的实数根，且二次项系数$b+c＞0$，该方程为一元二次方程
∴ 判别式$\Delta=0$
即$[\sqrt{2}(a-c)]^2 - 4(b+c)·[-\frac{3}{4}(a-c)] = 0$
展开整理得：$2(a-c)^2 + 3(b+c)(a-c) = 0$
提取公因式$(a-c)$得：$(a-c)(2a+3b+c)=0$
∵ a、b、c是△ABC的三条边，
∴ $a＞0,b＞0,c＞0$
∴ $2a+3b+c＞0$
∴ $a-c=0$，即$a=c$
∴ △ABC是等腰三角形
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定，三角形边长性质
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题核心是利用一元二次方程有两个相等实根时判别式为0的性质建立边长的等量关系，再结合三角形边长为正的性质排除不符合题意的情况，即可得出结论。
【难度系数】
0.8
