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1 若关于$x$的方程$mx^2 + 3x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是（
A.$m ＞ -\dfrac{9}{4}$
B.$m ≥ -\dfrac{9}{4}$
C.$m ＞ -\dfrac{9}{4}$且$m ≠ 0$
D.$m ≥ -\dfrac{9}{4}$且$m ≠ 0$
C
）。A.$m ＞ -\dfrac{9}{4}$
B.$m ≥ -\dfrac{9}{4}$
C.$m ＞ -\dfrac{9}{4}$且$m ≠ 0$
D.$m ≥ -\dfrac{9}{4}$且$m ≠ 0$
答案
1 C
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0；其次，一元二次方程有两个不相等实根的条件是判别式Δ＞0，分别列出两个条件求解后取交集，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵关于x的方程$mx^2 + 3x - 1 = 0$有两个不相等的实数根
∴该方程为一元二次方程，即二次项系数$m ≠ 0$
根据一元二次方程根的判别式规则，有两个不相等实根需满足$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m$，$b=3$，$c=-1$
代入得：$\Delta = 3^2 - 4 × m × (-1) = 9 + 4m ＞ 0$
解不等式$9 + 4m ＞ 0$，得$m ＞ -\dfrac{9}{4}$
综合两个条件，可得$m$的取值范围是$m ＞ -\dfrac{9}{4}$且$m ≠ 0$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点是忽略“两个实数根”隐含了方程为一元二次方程，漏掉$m≠0$的前提条件误选A，解题时要先明确方程类型，再结合判别式条件求解。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，首先明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0；其次，一元二次方程有两个不相等实根的条件是判别式Δ＞0，分别列出两个条件求解后取交集，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵关于x的方程$mx^2 + 3x - 1 = 0$有两个不相等的实数根
∴该方程为一元二次方程，即二次项系数$m ≠ 0$
根据一元二次方程根的判别式规则，有两个不相等实根需满足$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m$，$b=3$，$c=-1$
代入得：$\Delta = 3^2 - 4 × m × (-1) = 9 + 4m ＞ 0$
解不等式$9 + 4m ＞ 0$，得$m ＞ -\dfrac{9}{4}$
综合两个条件，可得$m$的取值范围是$m ＞ -\dfrac{9}{4}$且$m ≠ 0$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点是忽略“两个实数根”隐含了方程为一元二次方程，漏掉$m≠0$的前提条件误选A，解题时要先明确方程类型，再结合判别式条件求解。
【难度系数】
0.7
2 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{k - 1}x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是(
A.$k ＞ -3$
B.$k ≥ 1$
C.$k ＞ -3$且$k ≠ 0$
D.$k ＞ 1$
B
)。A.$k ＞ -3$
B.$k ≥ 1$
C.$k ＞ -3$且$k ≠ 0$
D.$k ＞ 1$
答案
2 B
解析
【分析】
解题需同时考虑两个核心条件：一是方程中二次根式要有意义，被开方数必须非负；二是一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式需大于0。我们先根据二次根式的要求求出k的初步范围，再代入判别式验证该范围下是否满足根的要求，即可得到最终取值范围。
【解析】
第一步，根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得：
$k-1≥0$，解得$k≥1$。
第二步，计算一元二次方程的根的判别式，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=\sqrt{k-1}$，$c=-1$，代入得：
$\Delta=(\sqrt{k-1})^2-4×1×(-1)=k-1+4=k+3$
当$k≥1$时，$k+3≥1+3=4＞0$，自动满足“有两个不相等的实数根”的要求。
综上，$k$的取值范围是$k≥1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于易错题，解题时容易只关注判别式的要求，忽略二次根式被开方数非负的隐藏限制条件，做这类题目时要注意先挖掘题目中的隐含约束再计算。
【难度系数】
0.7
解题需同时考虑两个核心条件：一是方程中二次根式要有意义，被开方数必须非负；二是一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式需大于0。我们先根据二次根式的要求求出k的初步范围，再代入判别式验证该范围下是否满足根的要求，即可得到最终取值范围。
【解析】
第一步，根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得：
$k-1≥0$，解得$k≥1$。
第二步，计算一元二次方程的根的判别式，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=\sqrt{k-1}$，$c=-1$，代入得：
$\Delta=(\sqrt{k-1})^2-4×1×(-1)=k-1+4=k+3$
当$k≥1$时，$k+3≥1+3=4＞0$，自动满足“有两个不相等的实数根”的要求。
综上，$k$的取值范围是$k≥1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于易错题，解题时容易只关注判别式的要求，忽略二次根式被开方数非负的隐藏限制条件，做这类题目时要注意先挖掘题目中的隐含约束再计算。
【难度系数】
0.7
3 对于关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的根的情况，有以下四种表述：
① 当$a＜0, b+c＞0, a+c＜0$时，方程一定没有实数根；
② 当$a＜0, b+c＞0, b-c＜0$时，方程一定有实数根；
③ 当$a＞0, a+b+c＜0$时，方程一定没有实数根；
④ 当$a＞0, b+4a=0, 4a+2b+c=0$时，方程一定有两个不相等的实数根。
其中表述正确的序号是(
A.①
B.②
C.③
D.④
① 当$a＜0, b+c＞0, a+c＜0$时，方程一定没有实数根；
② 当$a＜0, b+c＞0, b-c＜0$时，方程一定有实数根；
③ 当$a＞0, a+b+c＜0$时，方程一定没有实数根；
④ 当$a＞0, b+4a=0, 4a+2b+c=0$时，方程一定有两个不相等的实数根。
其中表述正确的序号是(
B
)。A.①
B.②
C.③
D.④
答案
3 B
解析
【分析】
要判断关于一元二次方程实根的表述是否正确，核心依据是一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：若$\Delta ≥ 0$，方程有实数根；若$\Delta ＜ 0$，方程没有实数根。我们逐个分析4个表述，既可以通过不等式性质推导$\Delta$的符号，也可以通过举反例直接推翻错误表述，最终筛选出正确选项。
【解析】
逐一判断四个表述的正误：
1. 判断表述①：
举反例：取$a=-1$，$b=3$，$c=-1$，满足$a＜0$，$b+c=3-1=2＞0$，$a+c=-1-1=-2＜0$，此时$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×(-1)×(-1)=9-4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，因此①错误。
2. 判断表述②：
由$b-c＜0$得$c＞b$，结合$b+c＞0$，可得$c ＞ -b$，因此$c ＞ |b| ≥ 0$，可推出$c＞0$。
已知$a＜0$，$c＞0$，因此$-4ac = -4× 负数 × 正数 ＞ 0$，又$b^2 ≥ 0$，所以$\Delta = b^2 -4ac = 非负数 + 正数 ＞ 0$，方程一定有实数根，因此②正确。
3. 判断表述③：
举反例：取$a=1$，$b=0$，$c=-2$，满足$a＞0$，$a+b+c=1+0-2=-1＜0$，此时$\Delta = 0^2 -4×1×(-2)=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，因此③错误。
4. 判断表述④：
由$b+4a=0$得$b=-4a$，代入$4a+2b+c=0$可得：$4a + 2×(-4a) + c = 0$，解得$c=4a$。
计算判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-4a)^2 -4× a × 4a = 16a^2 - 16a^2 = 0$，此时方程有两个相等的实数根，不是两个不相等的实数根，因此④错误。
综上，只有表述②正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的判别式的应用，判断错误表述时举反例是高效便捷的方法，判断正确表述时需要结合不等式性质严谨推导判别式的符号，易错点是容易忽略判别式等于0时是两个相等实根的情况。
【难度系数】
0.6
要判断关于一元二次方程实根的表述是否正确，核心依据是一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：若$\Delta ≥ 0$，方程有实数根；若$\Delta ＜ 0$，方程没有实数根。我们逐个分析4个表述，既可以通过不等式性质推导$\Delta$的符号，也可以通过举反例直接推翻错误表述，最终筛选出正确选项。
【解析】
逐一判断四个表述的正误：
1. 判断表述①：
举反例：取$a=-1$，$b=3$，$c=-1$，满足$a＜0$，$b+c=3-1=2＞0$，$a+c=-1-1=-2＜0$，此时$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×(-1)×(-1)=9-4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，因此①错误。
2. 判断表述②：
由$b-c＜0$得$c＞b$，结合$b+c＞0$，可得$c ＞ -b$，因此$c ＞ |b| ≥ 0$，可推出$c＞0$。
已知$a＜0$，$c＞0$，因此$-4ac = -4× 负数 × 正数 ＞ 0$，又$b^2 ≥ 0$，所以$\Delta = b^2 -4ac = 非负数 + 正数 ＞ 0$，方程一定有实数根，因此②正确。
3. 判断表述③：
举反例：取$a=1$，$b=0$，$c=-2$，满足$a＞0$，$a+b+c=1+0-2=-1＜0$，此时$\Delta = 0^2 -4×1×(-2)=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，因此③错误。
4. 判断表述④：
由$b+4a=0$得$b=-4a$，代入$4a+2b+c=0$可得：$4a + 2×(-4a) + c = 0$，解得$c=4a$。
计算判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-4a)^2 -4× a × 4a = 16a^2 - 16a^2 = 0$，此时方程有两个相等的实数根，不是两个不相等的实数根，因此④错误。
综上，只有表述②正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的判别式的应用，判断错误表述时举反例是高效便捷的方法，判断正确表述时需要结合不等式性质严谨推导判别式的符号，易错点是容易忽略判别式等于0时是两个相等实根的情况。
【难度系数】
0.6
④ 如果关于x的方程$mx^2 -2x +3=0$有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是。。
答案
4 $m＜\frac{1}{3}$且$m≠0$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先根据“方程有两个不相等的实数根”可判断该方程为一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，即$m≠0$；再结合一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当判别式$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，代入对应系数计算不等式，最后结合两个条件得到m的取值范围即可。
【解析】
解：
∵ 方程$mx^2 -2x +3=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0：$m≠0$；
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，
本题中$a=m$，$b=-2$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m ×3 ＞ 0$
计算得：$4 - 12m ＞ 0$
移项化简：$12m ＜ 4$，解得$m ＜ \frac{1}{3}$
结合$m≠0$的条件，最终m的取值范围是$m＜\frac{1}{3}$且$m≠0$。
【答案】
$m＜\frac{1}{3}$且$m≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于根的判别式的常规考法，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件，解题时要注意：只有一元二次方程才存在两个实数根的情况，因此涉及“两个实数根”的描述时，首先要保证二次项系数不为0，再结合判别式条件求解。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，首先根据“方程有两个不相等的实数根”可判断该方程为一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，即$m≠0$；再结合一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当判别式$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，代入对应系数计算不等式，最后结合两个条件得到m的取值范围即可。
【解析】
解：
∵ 方程$mx^2 -2x +3=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0：$m≠0$；
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，
本题中$a=m$，$b=-2$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m ×3 ＞ 0$
计算得：$4 - 12m ＞ 0$
移项化简：$12m ＜ 4$，解得$m ＜ \frac{1}{3}$
结合$m≠0$的条件，最终m的取值范围是$m＜\frac{1}{3}$且$m≠0$。
【答案】
$m＜\frac{1}{3}$且$m≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于根的判别式的常规考法，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件，解题时要注意：只有一元二次方程才存在两个实数根的情况，因此涉及“两个实数根”的描述时，首先要保证二次项系数不为0，再结合判别式条件求解。
【难度系数】
0.7
5 如果关于$x$的方程$x^2 - 2x + a = 0$有实数根，化简：$|a - 1| - \sqrt{(2 - a)^2} =$
$-1$
。答案
5 $-1$
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程有实数根的条件，利用根的判别式Δ≥0求出a的取值范围；再结合二次根式的性质将原式中的根号转化为绝对值形式；最后根据a的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值后化简计算即可得到结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - 2x + a = 0$有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1× a ≥ 0$
即$4 - 4a ≥ 0$，解得$a ≤ 1$
根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2} = |x|$，可得$\sqrt{(2 - a)^2} = |2 - a|$
则原式可变形为：$|a - 1| - |2 - a|$
∵ $a ≤ 1$
∴ $a - 1 ≤ 0$，$2 - a ≥ 2 - 1 = 1 ＞ 0$
∴ $|a - 1| = 1 - a$，$|2 - a| = 2 - a$
代入原式得：
$\begin{aligned}|a - 1| - |2 - a| &= (1 - a) - (2 - a) \\&= 1 - a - 2 + a \\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，二次根式的性质
【点评】
本题属于综合型基础题，将一元二次方程根的情况与代数式化简结合考查，解题的核心是先通过根的判别式确定参数a的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质正确去绝对值符号化简，避免未判断符号直接去绝对值导致错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据一元二次方程有实数根的条件，利用根的判别式Δ≥0求出a的取值范围；再结合二次根式的性质将原式中的根号转化为绝对值形式；最后根据a的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值后化简计算即可得到结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - 2x + a = 0$有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1× a ≥ 0$
即$4 - 4a ≥ 0$，解得$a ≤ 1$
根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2} = |x|$，可得$\sqrt{(2 - a)^2} = |2 - a|$
则原式可变形为：$|a - 1| - |2 - a|$
∵ $a ≤ 1$
∴ $a - 1 ≤ 0$，$2 - a ≥ 2 - 1 = 1 ＞ 0$
∴ $|a - 1| = 1 - a$，$|2 - a| = 2 - a$
代入原式得：
$\begin{aligned}|a - 1| - |2 - a| &= (1 - a) - (2 - a) \\&= 1 - a - 2 + a \\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，二次根式的性质
【点评】
本题属于综合型基础题，将一元二次方程根的情况与代数式化简结合考查，解题的核心是先通过根的判别式确定参数a的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质正确去绝对值符号化简，避免未判断符号直接去绝对值导致错误。
【难度系数】
0.7
⑥ 如果关于$x$的方程$kx^2 - \sqrt{2k + 1}x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，那么$k$的取值范围是
$-\frac{1}{2}≤k＜\frac{1}{2}$且$k≠0$
。答案
6 $-\frac{1}{2}≤k＜\frac{1}{2}$且$k≠0$
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合方程有两个不相等实数根的所有限制条件逐一分析：① 方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 根号下的被开方数必须非负，保证二次根式有意义；③ 一元二次方程有两个不相等实数根时，判别式Δ＞0。联立三个条件解不等式，最后取公共解集即可。
【解析】
根据题意，需同时满足以下三个条件：
1. 方程为一元二次方程，故二次项系数 $k ≠ 0$；
2. 二次根式 $\sqrt{2k+1}$ 有意义，故被开方数 $2k+1 ≥ 0$，解得 $k ≥ -\frac{1}{2}$；
3. 方程有两个不相等的实数根，故判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-\sqrt{2k+1}$，$c=1$，代入得：
$\begin{aligned}(-\sqrt{2k+1})^2 - 4× k × 1 &＞ 0\\2k + 1 - 4k &＞ 0\\-2k &＞ -1\\k &＜ \frac{1}{2}\end{aligned}$
联立三个条件，取公共解集得 $-\frac{1}{2}≤ k ＜ \frac{1}{2}$ 且 $k≠ 0$。
【答案】
$-\frac{1}{2}≤k＜\frac{1}{2}$且$k≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件；根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常考题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制，或者忽略二次根式被开方数的非负性，解题时需梳理全所有限制条件，再取解集的公共部分。
【难度系数】
0.6
要确定k的取值范围，需结合方程有两个不相等实数根的所有限制条件逐一分析：① 方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 根号下的被开方数必须非负，保证二次根式有意义；③ 一元二次方程有两个不相等实数根时，判别式Δ＞0。联立三个条件解不等式，最后取公共解集即可。
【解析】
根据题意，需同时满足以下三个条件：
1. 方程为一元二次方程，故二次项系数 $k ≠ 0$；
2. 二次根式 $\sqrt{2k+1}$ 有意义，故被开方数 $2k+1 ≥ 0$，解得 $k ≥ -\frac{1}{2}$；
3. 方程有两个不相等的实数根，故判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-\sqrt{2k+1}$，$c=1$，代入得：
$\begin{aligned}(-\sqrt{2k+1})^2 - 4× k × 1 &＞ 0\\2k + 1 - 4k &＞ 0\\-2k &＞ -1\\k &＜ \frac{1}{2}\end{aligned}$
联立三个条件，取公共解集得 $-\frac{1}{2}≤ k ＜ \frac{1}{2}$ 且 $k≠ 0$。
【答案】
$-\frac{1}{2}≤k＜\frac{1}{2}$且$k≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件；根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常考题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制，或者忽略二次根式被开方数的非负性，解题时需梳理全所有限制条件，再取解集的公共部分。
【难度系数】
0.6
7 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，例如：方程$x^2-6x+8=0$是“倍根方程”。若$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$是“倍根方程”，则代数式$\frac{2a - b}{a + b}$的值为
$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$
。答案
7 $\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$
[提示:由$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$,得$x_1=2$,$x_2=\frac{b}{a}$。因为$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$是“倍根方程”,所以$\frac{b}{a}=1$或$\frac{b}{a}=4$,即$b=a$或$b=4a$。当$b=a$时,$\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-a}{a+a}=\frac{1}{2}$;当$b=4a$时,$\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-4a}{a+4a}=-\frac{2}{5}$。所以代数式$\frac{2a-b}{a+b}$的值为$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$。]
[提示:由$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$,得$x_1=2$,$x_2=\frac{b}{a}$。因为$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$是“倍根方程”,所以$\frac{b}{a}=1$或$\frac{b}{a}=4$,即$b=a$或$b=4a$。当$b=a$时,$\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-a}{a+a}=\frac{1}{2}$;当$b=4a$时,$\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2a-4a}{a+4a}=-\frac{2}{5}$。所以代数式$\frac{2a-b}{a+b}$的值为$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$。]
解析
【分析】
首先先求解方程$(x-2)(ax-b)=0$的两个根，再结合“倍根方程”的定义（一个根是另一个根的2倍）分两种情况讨论：①2是另一个根的2倍；②另一个根是2的2倍，分别求出b与a的数量关系，最后代入代数式$\frac{2a - b}{a + b}$计算即可，注意不要漏解。
【解析】
1. 求方程的根
令两个因式分别为0，可得：
$x-2=0$ 或 $ax-b=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=\frac{b}{a}$
2. 分情况结合“倍根方程”定义计算
情况1：若$x_1=2$是$x_2=\frac{b}{a}$的2倍，即$2=2×\frac{b}{a}$
化简得$\frac{b}{a}=1$，即$b=a$
代入代数式：$\frac{2a - b}{a + b}=\frac{2a - a}{a + a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$（$a≠0$，可约去a）
情况2：若$x_2=\frac{b}{a}$是$x_1=2$的2倍，即$\frac{b}{a}=2×2$
化简得$\frac{b}{a}=4$，即$b=4a$
代入代数式：$\frac{2a - b}{a + b}=\frac{2a - 4a}{a + 4a}=\frac{-2a}{5a}=-\frac{2}{5}$（$a≠0$，可约去a）
【答案】
$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程的根，新定义理解，分式化简求值
【点评】
本题是新定义类题型，解题关键是准确理解“倍根方程”的含义，需要注意分两种情况讨论两根的倍数关系，避免漏解，代入化简时利用a≠0的条件直接约分化简即可。
【难度系数】
0.6
首先先求解方程$(x-2)(ax-b)=0$的两个根，再结合“倍根方程”的定义（一个根是另一个根的2倍）分两种情况讨论：①2是另一个根的2倍；②另一个根是2的2倍，分别求出b与a的数量关系，最后代入代数式$\frac{2a - b}{a + b}$计算即可，注意不要漏解。
【解析】
1. 求方程的根
令两个因式分别为0，可得：
$x-2=0$ 或 $ax-b=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=\frac{b}{a}$
2. 分情况结合“倍根方程”定义计算
情况1：若$x_1=2$是$x_2=\frac{b}{a}$的2倍，即$2=2×\frac{b}{a}$
化简得$\frac{b}{a}=1$，即$b=a$
代入代数式：$\frac{2a - b}{a + b}=\frac{2a - a}{a + a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$（$a≠0$，可约去a）
情况2：若$x_2=\frac{b}{a}$是$x_1=2$的2倍，即$\frac{b}{a}=2×2$
化简得$\frac{b}{a}=4$，即$b=4a$
代入代数式：$\frac{2a - b}{a + b}=\frac{2a - 4a}{a + 4a}=\frac{-2a}{5a}=-\frac{2}{5}$（$a≠0$，可约去a）
【答案】
$\frac{1}{2}$或$-\frac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程的根，新定义理解，分式化简求值
【点评】
本题是新定义类题型，解题关键是准确理解“倍根方程”的含义，需要注意分两种情况讨论两根的倍数关系，避免漏解，代入化简时利用a≠0的条件直接约分化简即可。
【难度系数】
0.6
8 已知关于x的方程$x^2 - kx + k - 1 = 0$，若该方程的一个根小于1，则k的取值范围为
$k＜2$
。答案
8 $k＜2$
解析
【分析】
解决本题的核心是先求出一元二次方程的两个根，再结合“一个根小于1”的条件列不等式求解。首先观察方程左边的二次三项式，可以用十字相乘法因式分解，快速得到方程的两个根，再排除等于1的根，对另一个根列不等式计算即可得到k的取值范围。
【解析】
第一步：对给定方程因式分解
将方程$x^2 - kx + k - 1 = 0$左边十字相乘分解得：
$(x - 1)(x - (k - 1)) = 0$
第二步：求解方程的根
令每个因式等于0，解得：
$x_1 = 1$，$x_2 = k - 1$
第三步：根据题意列不等式求解
已知方程有一个根小于1，其中根$x_1=1$不满足小于1的要求，因此只有$x_2 ＜ 1$，即：
$k - 1 ＜ 1$
解得$k ＜ 2$
【答案】
$k＜2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元一次不等式求解
【点评】
本题侧重考查一元二次方程的解法及不等式的简单应用，通过因式分解快速求出方程的根是解题的突破口，整体计算量小，解题思路清晰，需要注意两个根中已有一个根为1，因此仅需对另一个根列不等式即可。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先求出一元二次方程的两个根，再结合“一个根小于1”的条件列不等式求解。首先观察方程左边的二次三项式，可以用十字相乘法因式分解，快速得到方程的两个根，再排除等于1的根，对另一个根列不等式计算即可得到k的取值范围。
【解析】
第一步：对给定方程因式分解
将方程$x^2 - kx + k - 1 = 0$左边十字相乘分解得：
$(x - 1)(x - (k - 1)) = 0$
第二步：求解方程的根
令每个因式等于0，解得：
$x_1 = 1$，$x_2 = k - 1$
第三步：根据题意列不等式求解
已知方程有一个根小于1，其中根$x_1=1$不满足小于1的要求，因此只有$x_2 ＜ 1$，即：
$k - 1 ＜ 1$
解得$k ＜ 2$
【答案】
$k＜2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元一次不等式求解
【点评】
本题侧重考查一元二次方程的解法及不等式的简单应用，通过因式分解快速求出方程的根是解题的突破口，整体计算量小，解题思路清晰，需要注意两个根中已有一个根为1，因此仅需对另一个根列不等式即可。
【难度系数】
0.7
9 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，则$b^2 - 2(1 + 2c) =$
$-2$
。答案
9 $-2$
[提示:因为关于x的一元二次方程$x^2+bx+c=0$有两个相等的实数根,所以$\Delta=b^2-4c=0$,所以$b^2-2(1+2c)=b^2-4c-2=0-2=-2$。]
[提示:因为关于x的一元二次方程$x^2+bx+c=0$有两个相等的实数根,所以$\Delta=b^2-4c=0$,所以$b^2-2(1+2c)=b^2-4c-2=0-2=-2$。]
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。结合题目给出的方程先推导得到b²和c的等量关系，再将所求代数式展开化简，最后把得到的等量关系整体代入化简后的式子，就能算出结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× c = 0$，即$b^2 = 4c$。
将所求代数式展开化简：
$b^2 - 2(1 + 2c) = b^2 - 2 - 4c$
把$b^2 = 4c$代入上式，得：
原式$= 4c - 2 - 4c = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；代数式化简；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是根据一元二次方程根的情况得到判别式的等量关系，通过整体代入的方法简化计算，无需单独求解b、c的取值，降低了计算难度。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。结合题目给出的方程先推导得到b²和c的等量关系，再将所求代数式展开化简，最后把得到的等量关系整体代入化简后的式子，就能算出结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× c = 0$，即$b^2 = 4c$。
将所求代数式展开化简：
$b^2 - 2(1 + 2c) = b^2 - 2 - 4c$
把$b^2 = 4c$代入上式，得：
原式$= 4c - 2 - 4c = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；代数式化简；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是根据一元二次方程根的情况得到判别式的等量关系，通过整体代入的方法简化计算，无需单独求解b、c的取值，降低了计算难度。
【难度系数】
0.8
⑩ 已知 m、n、6 分别是等腰三角形的三边长，且 m、n 是关于 x 的一元二次方程$x^2 -18x +k +80=0$的两根，则 k 的值为
$1$
。答案
10 $1$
[提示:分两种情况讨论,① 当$m=6$时,$6^2-18×6+k+80=0$,可得$k=-8$,此时原方程为$x^2-18x+72=0$,解得$x_1=6$,$x_2=12$。于是等腰三角形的三边长分别为6、6、12,不符合题意;② 当$m=n$时,原方程有两个相等的实数根,所以$\Delta=18^2-4(k+80)=0$,解得$k=1$。此时等腰三角形的三边长分别为9、9、6,符合题意。综上所述,$k=1$。]
[提示:分两种情况讨论,① 当$m=6$时,$6^2-18×6+k+80=0$,可得$k=-8$,此时原方程为$x^2-18x+72=0$,解得$x_1=6$,$x_2=12$。于是等腰三角形的三边长分别为6、6、12,不符合题意;② 当$m=n$时,原方程有两个相等的实数根,所以$\Delta=18^2-4(k+80)=0$,解得$k=1$。此时等腰三角形的三边长分别为9、9、6,符合题意。综上所述,$k=1$。]
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形性质、一元二次方程根的特点以及三角形三边关系求解，解题思路如下：首先等腰三角形三边长为m、n、6，因此分两种情况讨论：①腰长为6，即m或n等于6，将x=6代入方程求出k值，再求出方程的另一根，验证三边是否满足三角形三边关系；②两腰长相等即m=n，此时一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式Δ=0求出k值，再求出方程的根，验证三边是否满足三角形三边关系，最终确定符合条件的k值。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当m=6（或n=6）时，把x=6代入方程$x^2 -18x +k +80=0$，得：
$6^2 -18×6 +k +80=0$
计算得$36-108+k+80=0$，解得$k=-8$。
将$k=-8$代入原方程得$x^2 -18x +72=0$，解得$x_1=6$，$x_2=12$。
此时三角形三边长为6、6、12，因为$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去。
② 当m=n时，方程$x^2 -18x +k +80=0$有两个相等的实数根，因此判别式Δ=0：
$\Delta=(-18)^2 -4×1×(k+80)=0$
计算得$324-4k-320=0$，即$4-4k=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入原方程得$x^2 -18x +81=0$，解得$x_1=x_2=9$。
此时三角形三边长为9、9、6，满足三角形两边之和大于第三边，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
等腰三角形的性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需针对等腰三角形的腰长分类讨论，求出k值后必须验证所得三边长能否构成三角形，避免忽略三边关系导致错解。
【难度系数】
0.6
本题需结合等腰三角形性质、一元二次方程根的特点以及三角形三边关系求解，解题思路如下：首先等腰三角形三边长为m、n、6，因此分两种情况讨论：①腰长为6，即m或n等于6，将x=6代入方程求出k值，再求出方程的另一根，验证三边是否满足三角形三边关系；②两腰长相等即m=n，此时一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式Δ=0求出k值，再求出方程的根，验证三边是否满足三角形三边关系，最终确定符合条件的k值。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当m=6（或n=6）时，把x=6代入方程$x^2 -18x +k +80=0$，得：
$6^2 -18×6 +k +80=0$
计算得$36-108+k+80=0$，解得$k=-8$。
将$k=-8$代入原方程得$x^2 -18x +72=0$，解得$x_1=6$，$x_2=12$。
此时三角形三边长为6、6、12，因为$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去。
② 当m=n时，方程$x^2 -18x +k +80=0$有两个相等的实数根，因此判别式Δ=0：
$\Delta=(-18)^2 -4×1×(k+80)=0$
计算得$324-4k-320=0$，即$4-4k=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入原方程得$x^2 -18x +81=0$，解得$x_1=x_2=9$。
此时三角形三边长为9、9、6，满足三角形两边之和大于第三边，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
等腰三角形的性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需针对等腰三角形的腰长分类讨论，求出k值后必须验证所得三边长能否构成三角形，避免忽略三边关系导致错解。
【难度系数】
0.6
