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1 某面粉厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨。若平均每月总产量的增长率是$x$，则可列方程(
A.$500(1+2x)=720$
B.$500(1+x)^2=720$
C.$500(1+x^2)=720$
D.$720(1+x)^2=500$
B
)。A.$500(1+2x)=720$
B.$500(1+x)^2=720$
C.$500(1+x^2)=720$
D.$720(1+x)^2=500$
答案
1 B
解析
【分析】
这是一道平均增长率的应用题，解题核心是明确每个月产量的计算基数。首先回忆增长率问题的基本逻辑：后一个月的产量 = 前一个月的产量×(1+月增长率)。我们已知一月份产量，要推导三月份的产量：首先二月份的产量是以一月份为基数增长的，三月份的产量是以二月份为基数增长的，因此需要两次乘以(1+x)，再结合已知的三月份总产量，就能列出对应方程，对比选项选出正确答案即可。
【解析】
解：已知一月份总产量为500吨，平均每月增长率为$x$
1. 计算二月份总产量：二月份在一月份的基础上增长，因此二月份产量为$500(1+x)$吨；
2. 计算三月份总产量：三月份在二月份的基础上增长，因此三月份产量为$500(1+x) × (1+x) = 500(1+x)^2$吨；
3. 已知三月份总产量为720吨，因此可列方程：$500(1+x)^2=720$，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率计算 2. 一元二次方程应用
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题关键是明确每次增长的基数，避免出现将总增长率直接算为2x的错误，掌握该模型可以解决同类的复利增长、价格涨跌等问题。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的应用题，解题核心是明确每个月产量的计算基数。首先回忆增长率问题的基本逻辑：后一个月的产量 = 前一个月的产量×(1+月增长率)。我们已知一月份产量，要推导三月份的产量：首先二月份的产量是以一月份为基数增长的，三月份的产量是以二月份为基数增长的，因此需要两次乘以(1+x)，再结合已知的三月份总产量，就能列出对应方程，对比选项选出正确答案即可。
【解析】
解：已知一月份总产量为500吨，平均每月增长率为$x$
1. 计算二月份总产量：二月份在一月份的基础上增长，因此二月份产量为$500(1+x)$吨；
2. 计算三月份总产量：三月份在二月份的基础上增长，因此三月份产量为$500(1+x) × (1+x) = 500(1+x)^2$吨；
3. 已知三月份总产量为720吨，因此可列方程：$500(1+x)^2=720$，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率计算 2. 一元二次方程应用
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题关键是明确每次增长的基数，避免出现将总增长率直接算为2x的错误，掌握该模型可以解决同类的复利增长、价格涨跌等问题。
【难度系数】
0.8
2 有两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm,大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32 cm²,则大、小两个正方形的边长分别为(
A.18 cm和10 cm
B.17 cm和11 cm
C.16 cm和12 cm
D.15 cm和13 cm
C
)。A.18 cm和10 cm
B.17 cm和11 cm
C.16 cm和12 cm
D.15 cm和13 cm
答案
2 C
解析
【分析】
这是一道利用方程求解几何量的应用题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，根据小正方形边长和大正方形边长的关系，设大正方形边长为未知数即可直接表示出小正方形的边长；第二步，找准等量关系：题干明确给出“大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm²”，这是列方程的核心依据；第三步，结合正方形面积公式分别表示两个正方形的面积，代入等量关系列方程；第四步，解方程得到边长，舍去不符合实际意义的根，对应选项得出结果即可。
【解析】
设大正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则小正方形的边长为$ (\frac{1}{2}x + 4)\mathrm{cm} $。
根据正方形面积公式，大正方形面积为$ x^2 \, \mathrm{cm}^2 $，小正方形面积为$ (\frac{1}{2}x + 4)^2 \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列方程：
$x^2 = 2(\frac{1}{2}x + 4)^2 - 32$
展开并整理方程：
$\begin{aligned}x^2 &= 2(\frac{1}{4}x^2 + 4x + 16) - 32 \\x^2 &= \frac{1}{2}x^2 + 8x + 32 - 32 \\x^2 - \frac{1}{2}x^2 - 8x &= 0 \\\frac{1}{2}x^2 - 8x &= 0 \\x^2 - 16x &= 0 \\x(x - 16) &= 0\end{aligned}$
解得$ x_1 = 0 $（不符合正方形边长的实际意义，舍去），$ x_2 = 16 $。
则小正方形边长为$ \frac{1}{2} × 16 + 4 = 12 \, \mathrm{cm} $。
因此大、小正方形边长分别为16cm和12cm。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程解应用题，正方形面积计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程类应用题，解题关键是准确抓住题干中的两个数量关系，一个是边长的倍数关系，一个是面积的等量关系，解方程后要注意验证根是否符合实际场景，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用方程求解几何量的应用题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，根据小正方形边长和大正方形边长的关系，设大正方形边长为未知数即可直接表示出小正方形的边长；第二步，找准等量关系：题干明确给出“大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm²”，这是列方程的核心依据；第三步，结合正方形面积公式分别表示两个正方形的面积，代入等量关系列方程；第四步，解方程得到边长，舍去不符合实际意义的根，对应选项得出结果即可。
【解析】
设大正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则小正方形的边长为$ (\frac{1}{2}x + 4)\mathrm{cm} $。
根据正方形面积公式，大正方形面积为$ x^2 \, \mathrm{cm}^2 $，小正方形面积为$ (\frac{1}{2}x + 4)^2 \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列方程：
$x^2 = 2(\frac{1}{2}x + 4)^2 - 32$
展开并整理方程：
$\begin{aligned}x^2 &= 2(\frac{1}{4}x^2 + 4x + 16) - 32 \\x^2 &= \frac{1}{2}x^2 + 8x + 32 - 32 \\x^2 - \frac{1}{2}x^2 - 8x &= 0 \\\frac{1}{2}x^2 - 8x &= 0 \\x^2 - 16x &= 0 \\x(x - 16) &= 0\end{aligned}$
解得$ x_1 = 0 $（不符合正方形边长的实际意义，舍去），$ x_2 = 16 $。
则小正方形边长为$ \frac{1}{2} × 16 + 4 = 12 \, \mathrm{cm} $。
因此大、小正方形边长分别为16cm和12cm。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程解应用题，正方形面积计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程类应用题，解题关键是准确抓住题干中的两个数量关系，一个是边长的倍数关系，一个是面积的等量关系，解方程后要注意验证根是否符合实际场景，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
3 某品牌手机经过5、6月份连续两次降价，每部售价由5000元降到3600元，且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程(
A.$ 5000(1 - x)(1 - 2x) = 3600 $
B.$ 3600(1 - x)(1 - 2x) = 5000 $
C.$ 5000(1 - x)(1 - \frac{x}{2}) = 3600 $
D.$ 3600(1 + x)(1 + 2x) = 5000 $
A
)。A.$ 5000(1 - x)(1 - 2x) = 3600 $
B.$ 3600(1 - x)(1 - 2x) = 5000 $
C.$ 5000(1 - x)(1 - \frac{x}{2}) = 3600 $
D.$ 3600(1 + x)(1 + 2x) = 5000 $
答案
3 A
解析
【分析】
要解决这道列方程的应用题，首先回忆降价问题的基本公式：降价后的价格=原价×(1-降价百分率)。首先根据题意明确两次降价的百分率：已知设第二次降价百分率为x，第一次是第二次的2倍，所以第一次降价百分率为2x。接着注意两次降价的基础价格不同：第一次降价是在原价5000元的基础上降价，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上降价，最终两次降价后的价格为3600元，按照这个逻辑就能列出对应方程。
【解析】
设第二次降价的百分率为$x$，由第一次降价的百分率是第二次的2倍，可得第一次降价的百分率为$2x$。
1. 第一次降价后的售价：在原价5000元的基础上降$2x$，售价为$5000(1-2x)$元；
2. 第二次降价后的售价：在第一次降价后的售价基础上降$x$，售价为$5000(1-2x)(1-x)$元；
已知两次降价后每部售价为3600元，因此可列方程：
$5000(1-x)(1-2x)=3600$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
降价率问题、列一元二次方程
【点评】
这是典型的百分率变化类应用题，解题核心是明确每次降价的计算基数，准确梳理两次降价的百分率对应关系，同时要注意不要混淆原价和最终售价的位置，只要理清降价的先后逻辑就能正确列方程。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程的应用题，首先回忆降价问题的基本公式：降价后的价格=原价×(1-降价百分率)。首先根据题意明确两次降价的百分率：已知设第二次降价百分率为x，第一次是第二次的2倍，所以第一次降价百分率为2x。接着注意两次降价的基础价格不同：第一次降价是在原价5000元的基础上降价，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上降价，最终两次降价后的价格为3600元，按照这个逻辑就能列出对应方程。
【解析】
设第二次降价的百分率为$x$，由第一次降价的百分率是第二次的2倍，可得第一次降价的百分率为$2x$。
1. 第一次降价后的售价：在原价5000元的基础上降$2x$，售价为$5000(1-2x)$元；
2. 第二次降价后的售价：在第一次降价后的售价基础上降$x$，售价为$5000(1-2x)(1-x)$元；
已知两次降价后每部售价为3600元，因此可列方程：
$5000(1-x)(1-2x)=3600$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
降价率问题、列一元二次方程
【点评】
这是典型的百分率变化类应用题，解题核心是明确每次降价的计算基数，准确梳理两次降价的百分率对应关系，同时要注意不要混淆原价和最终售价的位置，只要理清降价的先后逻辑就能正确列方程。
【难度系数】
0.8
④ 要用13米长的篱笆一面靠墙(墙足够长)，围成一个面积为20平方米的长方形场地，那么它的长和宽各为
8米、$\frac{5}{2}$米或5米、4米
。答案
4 8米、$\frac{5}{2}$米或5米、4米
解析
【分析】
首先明确篱笆仅围长方形的3条边（一面靠墙），我们可以设垂直于墙的边长为未知数，这样平行于墙的边长就能用篱笆总长表示出来，再根据长方形面积=长×宽的等量关系列一元二次方程求解，最后要检验解是否符合实际意义（本题墙足够长，只需保证边长为正即可）。
【解析】
设垂直于墙的一边长为$ x $米，则平行于墙的一边长为$ (13-2x) $米。
根据长方形面积为20平方米，列方程得：
$ x(13-2x) = 20 $
整理得：$ 2x^2 -13x +20 = 0 $
因式分解得：$ (2x-5)(x-4) = 0 $
解得：$ x_1 = \frac{5}{2} $，$ x_2 = 4 $
① 当$ x = \frac{5}{2} $时，平行于墙的边长为$ 13 - 2×\frac{5}{2} = 8 $米，此时长方形长为8米，宽为$ \frac{5}{2} $米；
② 当$ x = 4 $时，平行于墙的边长为$ 13 - 2×4 = 5 $米，此时长方形长为5米，宽为4米。
两种情况均符合实际要求。
【答案】
8米、$\frac{5}{2}$米或5米、4米
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题是常见的篱笆围地的实际应用题，解题的核心是找准篱笆围的边数，正确列出方程，求解后一定要验证根是否符合实际场景，避免出现无效解，本题墙足够长，因此两组解均有效，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确篱笆仅围长方形的3条边（一面靠墙），我们可以设垂直于墙的边长为未知数，这样平行于墙的边长就能用篱笆总长表示出来，再根据长方形面积=长×宽的等量关系列一元二次方程求解，最后要检验解是否符合实际意义（本题墙足够长，只需保证边长为正即可）。
【解析】
设垂直于墙的一边长为$ x $米，则平行于墙的一边长为$ (13-2x) $米。
根据长方形面积为20平方米，列方程得：
$ x(13-2x) = 20 $
整理得：$ 2x^2 -13x +20 = 0 $
因式分解得：$ (2x-5)(x-4) = 0 $
解得：$ x_1 = \frac{5}{2} $，$ x_2 = 4 $
① 当$ x = \frac{5}{2} $时，平行于墙的边长为$ 13 - 2×\frac{5}{2} = 8 $米，此时长方形长为8米，宽为$ \frac{5}{2} $米；
② 当$ x = 4 $时，平行于墙的边长为$ 13 - 2×4 = 5 $米，此时长方形长为5米，宽为4米。
两种情况均符合实际要求。
【答案】
8米、$\frac{5}{2}$米或5米、4米
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题是常见的篱笆围地的实际应用题，解题的核心是找准篱笆围的边数，正确列出方程，求解后一定要验证根是否符合实际场景，避免出现无效解，本题墙足够长，因此两组解均有效，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
5 某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这小组共有
10
人。答案
5 10
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先明确等量关系：全组送出的照片总张数 = 小组总人数 × 每人送出的照片张数。首先设小组共有x人，由于每个人不需要给自己送照片，因此每人需要给剩下的(x-1)人各送1张，每人送出(x-1)张，代入等量关系即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到小组人数。
【解析】
解：设这个小组共有x人。
由题意可知，每人需送出(x-1)张照片，全组共送照片的总数为x(x-1)张，可列方程：
$x(x-1)=90$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为人数不能为负数，所以舍去$x_2=-9$，即$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程应用；解一元二次方程；实际问题验根
【点评】
本题是典型的互送类应用题，解题核心是明确每人送出的物品数量比总人数少1，注意和握手类“单次计数”的问题区分，避免多除以2，同时求解后要验证根是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们先明确等量关系：全组送出的照片总张数 = 小组总人数 × 每人送出的照片张数。首先设小组共有x人，由于每个人不需要给自己送照片，因此每人需要给剩下的(x-1)人各送1张，每人送出(x-1)张，代入等量关系即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到小组人数。
【解析】
解：设这个小组共有x人。
由题意可知，每人需送出(x-1)张照片，全组共送照片的总数为x(x-1)张，可列方程：
$x(x-1)=90$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为人数不能为负数，所以舍去$x_2=-9$，即$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程应用；解一元二次方程；实际问题验根
【点评】
本题是典型的互送类应用题，解题核心是明确每人送出的物品数量比总人数少1，注意和握手类“单次计数”的问题区分，避免多除以2，同时求解后要验证根是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
6 小杰将1000元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出200元用来购买学习用品，剩下的800元和应得的利息又全部按一年定期存入银行。若存款的年利率为x，这样到期后账户里有892.5元，由题意可列方程：
$[1000(1+x)-200](1+x)=892.5$
。答案
6 $[1000(1+x)-200](1+x)=892.5$
解析
【分析】
解题时需分两步梳理资金变化：第一步先计算第一次存1年到期后的本息总和，减去支取的200元，得到第二次存款的本金；第二步用第二次的本金乘(1+年利率)，即可得到第二次存1年到期后的总金额，该金额等于题目给出的892.5元，按此逻辑就能列出对应方程。
【解析】
1. 计算第一年定期到期后的本息和：初始本金为1000元，年利率为x，1年后本息和为$\boldsymbol{1000(1+x)}$元。
2. 计算第二次存款的本金：支取200元后，剩余金额为$[1000(1+x)-200]$元，这部分即为第二次存1年定期的本金。
3. 计算第二次存款到期后的本息和：第二次存款到期后的总金额为第二次本金乘$(1+x)$，已知该金额为892.5元，因此列方程得：
$[1000(1+x)-200](1+x)=892.5$
【答案】
$[1000(1+x)-200](1+x)=892.5$
【知识点】
1. 储蓄本息计算
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是储蓄类基础应用题，解题核心是准确确定每一期存款的本金，只要理清两次存款的资金流转过程，就能顺利列出方程，不易出错。
【难度系数】
0.7
解题时需分两步梳理资金变化：第一步先计算第一次存1年到期后的本息总和，减去支取的200元，得到第二次存款的本金；第二步用第二次的本金乘(1+年利率)，即可得到第二次存1年到期后的总金额，该金额等于题目给出的892.5元，按此逻辑就能列出对应方程。
【解析】
1. 计算第一年定期到期后的本息和：初始本金为1000元，年利率为x，1年后本息和为$\boldsymbol{1000(1+x)}$元。
2. 计算第二次存款的本金：支取200元后，剩余金额为$[1000(1+x)-200]$元，这部分即为第二次存1年定期的本金。
3. 计算第二次存款到期后的本息和：第二次存款到期后的总金额为第二次本金乘$(1+x)$，已知该金额为892.5元，因此列方程得：
$[1000(1+x)-200](1+x)=892.5$
【答案】
$[1000(1+x)-200](1+x)=892.5$
【知识点】
1. 储蓄本息计算
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是储蓄类基础应用题，解题核心是准确确定每一期存款的本金，只要理清两次存款的资金流转过程，就能顺利列出方程，不易出错。
【难度系数】
0.7
7 一个两位数，它等于它个位上的数的平方的3倍，它十位上的数比个位上的数大2。若设这个数的个位数为x，列出求这个两位数的方程：
$10(x+2)+x=3x^2$
。答案
7 $10(x+2)+x=3x^2$
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：设个位数字为x，由十位数字比个位大2可先表示出十位数字；再回忆两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，用含x的代数式表示出这个两位数；最后根据“两位数等于个位数字平方的3倍”这一核心等量关系，将两边式子用等号连接即可列出方程。
【解析】
设这个数的个位数为x，
∵十位上的数比个位上的数大2，
∴十位数字为$x+2$，
根据两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字，可得这个两位数为：$10(x+2)+x$，
又
∵这个两位数等于个位上的数的平方的3倍，即等于$3x^2$，
因此可列方程：$10(x+2)+x=3x^2$。
【答案】
$10(x+2)+x=3x^2$
【知识点】
两位数的表示；列一元二次方程
【点评】
本题属于列方程的基础题型，解题关键是掌握多位数的代数式表示方法，准确提取题干中的等量关系，理清数量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：设个位数字为x，由十位数字比个位大2可先表示出十位数字；再回忆两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，用含x的代数式表示出这个两位数；最后根据“两位数等于个位数字平方的3倍”这一核心等量关系，将两边式子用等号连接即可列出方程。
【解析】
设这个数的个位数为x，
∵十位上的数比个位上的数大2，
∴十位数字为$x+2$，
根据两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字，可得这个两位数为：$10(x+2)+x$，
又
∵这个两位数等于个位上的数的平方的3倍，即等于$3x^2$，
因此可列方程：$10(x+2)+x=3x^2$。
【答案】
$10(x+2)+x=3x^2$
【知识点】
两位数的表示；列一元二次方程
【点评】
本题属于列方程的基础题型，解题关键是掌握多位数的代数式表示方法，准确提取题干中的等量关系，理清数量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
⑧ 如图，正方形ABCD被分割成面积相等的四个长方形，已知AE=2，则正方形ABCD面积为
64
。答案
8 64
解析
【分析】
我们可以采用列方程的思路求解：首先设正方形的边长为未知数，先表示出正方形的总面积，再结合“4个长方形面积相等”的条件，得到每个长方形的面积是正方形总面积的$\frac{1}{4}$；再观察含线段AE的长方形，它的一条边为正方形的边长，另一条边为AE=2，可直接表示出这个长方形的面积，最后根据面积等量关系列方程求解边长，即可计算正方形的面积。
【解析】
解：设正方形ABCD的边长为$x$，则正方形的面积为$x^2$。
∵ 正方形被分割为4个面积相等的长方形，
∴ 每个长方形的面积为$\frac{1}{4}x^2$。
其中以AE为宽的长方形，长等于正方形的边长$x$，宽为$AE=2$，因此该长方形的面积可表示为$2x$。
根据面积相等列方程：
$2x = \frac{1}{4}x^2$
整理得：$x^2-8x=0$
因式分解得：$x(x-8)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=0$（边长不能为0，舍去）
因此正方形ABCD的面积为$x^2=8^2=64$。
【答案】
64
【知识点】
列方程解几何问题、正方形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心考察方程思想的应用，解题关键是抓住“分割后各长方形面积相等”的条件，找到已知线段和未知边长对应的面积等量关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
我们可以采用列方程的思路求解：首先设正方形的边长为未知数，先表示出正方形的总面积，再结合“4个长方形面积相等”的条件，得到每个长方形的面积是正方形总面积的$\frac{1}{4}$；再观察含线段AE的长方形，它的一条边为正方形的边长，另一条边为AE=2，可直接表示出这个长方形的面积，最后根据面积等量关系列方程求解边长，即可计算正方形的面积。
【解析】
解：设正方形ABCD的边长为$x$，则正方形的面积为$x^2$。
∵ 正方形被分割为4个面积相等的长方形，
∴ 每个长方形的面积为$\frac{1}{4}x^2$。
其中以AE为宽的长方形，长等于正方形的边长$x$，宽为$AE=2$，因此该长方形的面积可表示为$2x$。
根据面积相等列方程：
$2x = \frac{1}{4}x^2$
整理得：$x^2-8x=0$
因式分解得：$x(x-8)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=0$（边长不能为0，舍去）
因此正方形ABCD的面积为$x^2=8^2=64$。
【答案】
64
【知识点】
列方程解几何问题、正方形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心考察方程思想的应用，解题关键是抓住“分割后各长方形面积相等”的条件，找到已知线段和未知边长对应的面积等量关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9 某足球联赛规定每两个队都要在主场与客场各进行一场比赛，联赛结束共进行了182场比赛，那么该足球联赛共有球队
G
H——I
14
支。G
H——I
答案
9 14
解析
【分析】
首先明确本题为双循环比赛类应用题，解题思路如下：第一步，先理解赛制：每两个队主客场各赛1场，即每两支队伍之间要进行2场比赛，属于双循环赛制；第二步，设球队数量为x支，双循环赛制下总场次计算规则为：总场次=球队数×(球队数-1)（本质是从x支球队中选2支按主客场排序的排列数，无需除以2）；第三步，根据总场次为182场列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设该足球联赛共有$x$支球队。
根据双循环赛制总场次的计算规律，可列方程：
$x(x-1)=182$
整理得一元二次方程：
$x^2 - x - 182=0$
因式分解得：
$(x-14)(x+13)=0$
解得：$x_1=14$，$x_2=-13$
∵球队数量不能为负数，
∴$x=-13$不符合实际意义，舍去。
即联赛共有14支球队。
【答案】
14
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环比赛问题
【点评】
本题是典型的比赛场次类应用题，解题关键是区分单循环、双循环两种赛制的总场次计算规则，列方程求解后必须验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
首先明确本题为双循环比赛类应用题，解题思路如下：第一步，先理解赛制：每两个队主客场各赛1场，即每两支队伍之间要进行2场比赛，属于双循环赛制；第二步，设球队数量为x支，双循环赛制下总场次计算规则为：总场次=球队数×(球队数-1)（本质是从x支球队中选2支按主客场排序的排列数，无需除以2）；第三步，根据总场次为182场列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设该足球联赛共有$x$支球队。
根据双循环赛制总场次的计算规律，可列方程：
$x(x-1)=182$
整理得一元二次方程：
$x^2 - x - 182=0$
因式分解得：
$(x-14)(x+13)=0$
解得：$x_1=14$，$x_2=-13$
∵球队数量不能为负数，
∴$x=-13$不符合实际意义，舍去。
即联赛共有14支球队。
【答案】
14
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环比赛问题
【点评】
本题是典型的比赛场次类应用题，解题关键是区分单循环、双循环两种赛制的总场次计算规则，列方程求解后必须验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
10 一个容器盛满纯药液63 L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，这时容器内剩下的纯药液是28 L。假设每次倒出的液体是x L，则其中第二次倒出的纯药液是
$(1-\frac{x}{63})x$
L，可列方程为：$63-x-(1-\frac{x}{63})x=28$
。答案
10 $(1-\frac{x}{63})x$，$63-x-(1-\frac{x}{63})x=28$ [提示：第一次剩下的纯药液：(63−x)L，第二次倒出的纯药液：$\frac{63-x}{63}· x=(1-\frac{x}{63})x$ L；可列方程：$63-x-(1-\frac{x}{63})x=28$。]
解析
【分析】
这是溶液倒出稀释类的应用题，解题思路分三步：①先算第一次倒出纯药液后剩余的纯药量，②再计算加水后溶液的浓度，结合第二次倒出的液体体积算出第二次倒出的纯药量，③根据“原有纯药量-两次倒出的纯药量之和=剩余纯药量”的等量关系列方程。首先第一次倒出x L纯药液，剩下的纯药液就是总量63 L减去x L；此时加满水后溶液总容积还是63 L，浓度等于剩余纯药量除以总容积，第二次倒出的x L是混合溶液，其中纯药量等于浓度乘以倒出的体积；最后用总纯药量依次减去两次倒出的纯药量，就等于剩下的28 L，据此就能写出所求量和方程。
【解析】
1. 计算第二次倒出的纯药液：
第一次倒出x L纯药液后，容器内剩余纯药液为$(63-x)\mathrm{L}$；
用水加满后，溶液总容积为63 L，此时溶液的浓度为$\frac{63-x}{63}=1-\frac{x}{63}$；
第二次倒出的x L是该浓度的混合溶液，因此其中含有的纯药液为：$浓度× 倒出体积=(1-\frac{x}{63})x \ \mathrm{L}$。
2. 列方程：
等量关系为：原有纯药液体积 - 第一次倒出纯药液体积 - 第二次倒出纯药液体积 = 剩余纯药液体积
代入对应量可得方程：$63-x-(1-\frac{x}{63})x=28$
【答案】
$(1-\frac{x}{63})x$；$63-x-(1-\frac{x}{63})x=28$
【知识点】
1. 列方程解应用题
2. 溶液浓度计算
【点评】
本题是溶液稀释问题的典型题型，解题核心是准确计算第二次倒出混合溶液时的药液浓度，区分倒出液体是纯药液还是混合溶液，找准剩余纯药液的等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这是溶液倒出稀释类的应用题，解题思路分三步：①先算第一次倒出纯药液后剩余的纯药量，②再计算加水后溶液的浓度，结合第二次倒出的液体体积算出第二次倒出的纯药量，③根据“原有纯药量-两次倒出的纯药量之和=剩余纯药量”的等量关系列方程。首先第一次倒出x L纯药液，剩下的纯药液就是总量63 L减去x L；此时加满水后溶液总容积还是63 L，浓度等于剩余纯药量除以总容积，第二次倒出的x L是混合溶液，其中纯药量等于浓度乘以倒出的体积；最后用总纯药量依次减去两次倒出的纯药量，就等于剩下的28 L，据此就能写出所求量和方程。
【解析】
1. 计算第二次倒出的纯药液：
第一次倒出x L纯药液后，容器内剩余纯药液为$(63-x)\mathrm{L}$；
用水加满后，溶液总容积为63 L，此时溶液的浓度为$\frac{63-x}{63}=1-\frac{x}{63}$；
第二次倒出的x L是该浓度的混合溶液，因此其中含有的纯药液为：$浓度× 倒出体积=(1-\frac{x}{63})x \ \mathrm{L}$。
2. 列方程：
等量关系为：原有纯药液体积 - 第一次倒出纯药液体积 - 第二次倒出纯药液体积 = 剩余纯药液体积
代入对应量可得方程：$63-x-(1-\frac{x}{63})x=28$
【答案】
$(1-\frac{x}{63})x$；$63-x-(1-\frac{x}{63})x=28$
【知识点】
1. 列方程解应用题
2. 溶液浓度计算
【点评】
本题是溶液稀释问题的典型题型，解题核心是准确计算第二次倒出混合溶液时的药液浓度，区分倒出液体是纯药液还是混合溶液，找准剩余纯药液的等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
