登录
11 某电脑公司2025年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2027年经营总收入将达到2160万元，且计划从2025年到2027年，每年经营总收入的年增长率相同。问：2026年预计经营总收入为多少万元？
答案
11 2025年的经营总收入为$600÷40\%=1500$(万元)。设每年经营总收入的年增长率为$x$，由2027年的经营总收入为2160万元，可得$1500(1+x)^2=2160$，解得$x=0.2$或$−2.2$(舍)。所以2026年预计经营总收入为$1500×(1+0.2)=1800$(万元)。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要先求出2025年的全年经营总收入，这是后续计算增长率的基础。已知经营电脑配件的收入及它占全年总收入的比例，用除法即可算出2025年总收入。接下来，因为2025到2027年每年的增长率相同，属于平均增长率问题，我们可以设年增长率为x，根据“初始量×(1+增长率)ⁿ = n年后的量”（这里n=2，因为间隔2年到2027年），结合2027年的总收入列一元二次方程，解出符合实际意义的增长率（增长率不能为负，所以要舍去负根）。最后用2025年的总收入乘以(1+增长率)，就能得到2026年的预计经营总收入。
【解析】
1. 计算2025年的经营总收入
已知配件收入600万元占全年总收入的40%，因此2025年总收入为：
$600 ÷ 40\% = 1500$（万元）
2. 设年增长率并列方程
设每年经营总收入的年增长率为$x$，从2025年到2027年间隔2年，根据题意列方程：
$1500(1+x)^2 = 2160$
3. 解方程并取舍根
方程两边同时除以1500得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm 1.2$
解得$x_1 = 0.2$，$x_2 = -2.2$
因为年增长率不能为负数，所以舍去$x=-2.2$，即年增长率为20%。
4. 计算2026年预计经营总收入
2026年是2025年后1年，因此总收入为：
$1500 × (1+0.2) = 1800$（万元）
【答案】
1800万元
【知识点】
百分数应用，增长率问题，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的平均增长率类应用题，解题核心是先明确增长的初始量，再结合平均增长率的计算公式列方程求解，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要先求出2025年的全年经营总收入，这是后续计算增长率的基础。已知经营电脑配件的收入及它占全年总收入的比例，用除法即可算出2025年总收入。接下来，因为2025到2027年每年的增长率相同，属于平均增长率问题，我们可以设年增长率为x，根据“初始量×(1+增长率)ⁿ = n年后的量”（这里n=2，因为间隔2年到2027年），结合2027年的总收入列一元二次方程，解出符合实际意义的增长率（增长率不能为负，所以要舍去负根）。最后用2025年的总收入乘以(1+增长率)，就能得到2026年的预计经营总收入。
【解析】
1. 计算2025年的经营总收入
已知配件收入600万元占全年总收入的40%，因此2025年总收入为：
$600 ÷ 40\% = 1500$（万元）
2. 设年增长率并列方程
设每年经营总收入的年增长率为$x$，从2025年到2027年间隔2年，根据题意列方程：
$1500(1+x)^2 = 2160$
3. 解方程并取舍根
方程两边同时除以1500得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm 1.2$
解得$x_1 = 0.2$，$x_2 = -2.2$
因为年增长率不能为负数，所以舍去$x=-2.2$，即年增长率为20%。
4. 计算2026年预计经营总收入
2026年是2025年后1年，因此总收入为：
$1500 × (1+0.2) = 1800$（万元）
【答案】
1800万元
【知识点】
百分数应用，增长率问题，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的平均增长率类应用题，解题核心是先明确增长的初始量，再结合平均增长率的计算公式列方程求解，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
12 某工厂生产某种产品，今年生产了200件，计划通过技术改造，使今后两年产量有所提高，且每年的增长率相同，这样三年的总产量达到了1400件，求每年的增长率。
答案
12 设增长率为$x$，则可列方程：$200+200(1+x)+200(1+x)^2=1400$，解得$x_1=1$，$x_2=-4$(舍去)，所以增长率为100%。
解析
【分析】
本题是平均增长率类应用题，解题思路如下：首先设每年的增长率为x，结合增长率的计算规则，分别表示出第二年、第三年的产量；再根据“三年总产量达到1400件”的等量关系，列出一元二次方程；求解方程后，结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合要求的根，最终得到所求增长率。
【解析】
解：设每年的增长率为$ x $。
根据题意，三年的产量分别为：今年200件，第二年$ 200(1+x) $件，第三年$ 200(1+x)^2 $件，可列方程：
$ 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400 $
两边同时除以200化简得：
$ 1 + (1+x) + (1+x)^2 = 7 $
展开并合并同类项：
$ 1 + 1 + x + 1 + 2x + x^2 = 7 $
$ x^2 + 3x - 4 = 0 $
因式分解得：
$ (x+4)(x-1) = 0 $
解得：$ x_1 = 1 $，$ x_2 = -4 $
因为增长率不能为负数，所以舍去$ x_2 = -4 $，则$ x=1=100\% $。
【答案】
每年的增长率为100%
【知识点】
增长率问题，列一元二次方程，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题核心是准确表示各阶段的产量，结合总量关系列方程，求解后要注意根据实际意义对根进行检验，舍去不符合现实情况的解。
【难度系数】
0.7
本题是平均增长率类应用题，解题思路如下：首先设每年的增长率为x，结合增长率的计算规则，分别表示出第二年、第三年的产量；再根据“三年总产量达到1400件”的等量关系，列出一元二次方程；求解方程后，结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合要求的根，最终得到所求增长率。
【解析】
解：设每年的增长率为$ x $。
根据题意，三年的产量分别为：今年200件，第二年$ 200(1+x) $件，第三年$ 200(1+x)^2 $件，可列方程：
$ 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400 $
两边同时除以200化简得：
$ 1 + (1+x) + (1+x)^2 = 7 $
展开并合并同类项：
$ 1 + 1 + x + 1 + 2x + x^2 = 7 $
$ x^2 + 3x - 4 = 0 $
因式分解得：
$ (x+4)(x-1) = 0 $
解得：$ x_1 = 1 $，$ x_2 = -4 $
因为增长率不能为负数，所以舍去$ x_2 = -4 $，则$ x=1=100\% $。
【答案】
每年的增长率为100%
【知识点】
增长率问题，列一元二次方程，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题核心是准确表示各阶段的产量，结合总量关系列方程，求解后要注意根据实际意义对根进行检验，舍去不符合现实情况的解。
【难度系数】
0.7
13 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调研发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
答案
13 设每千克水果应涨价$x$元，则可列方程：$(500-20x)(10+x)=6000$，解得$x_1=5$，$x_2=10$，要使顾客得到实惠，应取$x=5$。所以每千克应涨价5元。
解析
【分析】
这是典型的销售利润类应用题，解题核心是牢记总利润的计算公式：总盈利=每千克盈利×日销售量。首先设每千克涨价x元，先推导涨价后的单千克盈利：原来每千克盈利10元，涨价x元后单利为(10+x)元；再推导涨价后的日销售量：每涨1元销量减少20千克，涨x元后销量减少20x千克，因此销量为(500-20x)千克。再根据总盈利6000元的条件列一元二次方程，解方程得到两个根后，结合“顾客得到实惠”的要求，即涨价幅度尽可能小，选择较小的根即为最终答案。
【解析】
解：设每千克水果应涨价$x$元。
1. 表示涨价后的相关量：
涨价后每千克盈利为$(10+x)$元，
涨价后日销售量为$(500-20x)$千克。
2. 根据总盈利列方程：
$(10+x)(500-20x)=6000$
3. 解方程：
展开整理得：$x^2 - 15x + 50 = 0$
因式分解得：$(x-5)(x-10)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=10$
4. 根据题意取舍根：
要使顾客得到实惠，需选择涨价幅度更小的数值，因此舍去$x=10$，取$x=5$。
【答案】
每千克应涨价5元。
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于列方程解应用题的常见题型，解题的关键是准确梳理出单价变化和销量变化的对应关系，同时要注意题目给出的附加限制条件，对解出的根进行合理取舍，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的销售利润类应用题，解题核心是牢记总利润的计算公式：总盈利=每千克盈利×日销售量。首先设每千克涨价x元，先推导涨价后的单千克盈利：原来每千克盈利10元，涨价x元后单利为(10+x)元；再推导涨价后的日销售量：每涨1元销量减少20千克，涨x元后销量减少20x千克，因此销量为(500-20x)千克。再根据总盈利6000元的条件列一元二次方程，解方程得到两个根后，结合“顾客得到实惠”的要求，即涨价幅度尽可能小，选择较小的根即为最终答案。
【解析】
解：设每千克水果应涨价$x$元。
1. 表示涨价后的相关量：
涨价后每千克盈利为$(10+x)$元，
涨价后日销售量为$(500-20x)$千克。
2. 根据总盈利列方程：
$(10+x)(500-20x)=6000$
3. 解方程：
展开整理得：$x^2 - 15x + 50 = 0$
因式分解得：$(x-5)(x-10)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=10$
4. 根据题意取舍根：
要使顾客得到实惠，需选择涨价幅度更小的数值，因此舍去$x=10$，取$x=5$。
【答案】
每千克应涨价5元。
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于列方程解应用题的常见题型，解题的关键是准确梳理出单价变化和销量变化的对应关系，同时要注意题目给出的附加限制条件，对解出的根进行合理取舍，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.7
14 有一块长为 32 m、宽为 20 m 的长方形鲜花试验基地，准备修筑同样宽的三条直路（如图）把基地分成大小相等的六块作为试验田。若要使试验田的总面积为 504 m²，道路的宽应是多少米？
第 14 题图
第 14 题图
答案
14 设道路的宽为$x$，则六块试验田的长与宽分别为$\frac{1}{3}(32-2x)$和$\frac{1}{2}(20-x)$，得$6×\frac{1}{3}(32-2x)×\frac{1}{2}(20-x)=504$，解得$x_1=2$，$x_2=34$(舍去)。所以道路的宽应为2米。
解析
【分析】
这是几何面积结合一元二次方程的应用题，解题时可以利用平移法简化计算：将三条道路分别平移到试验基地的边缘，分散的6块试验田就可以拼接成一个完整的长方形，避免重复计算道路重叠部分的面积。首先设道路的宽为x米，分析拼接后长方形的长和宽：纵向有2条道路，所以拼接后长方形的长为原长减去2个道路宽，即(32-2x)m；横向有1条道路，所以拼接后长方形的宽为原宽减去1个道路宽，即(20-x)m。拼接后长方形的面积就是6块试验田的总面积504m²，根据这个等量关系列方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设道路的宽为x米。
将道路平移后，6块试验田拼接成的长方形长为$(32-2x)\mathrm{m}$，宽为$(20-x)\mathrm{m}$，根据试验田总面积为$504\mathrm{m}^2$，列方程：
$(32-2x)(20-x)=504$
展开整理得：
$x^2 - 36x + 68 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-34)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=34$
因为道路宽度不可能超过基地的长和宽，$x=34＞32$，不符合实际，故舍去。
所以$x=2$。
【答案】
道路的宽应是2米。
【知识点】
一元二次方程应用；长方形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，通过平移法将分散的图形拼接为整体是简化计算的核心技巧，求解后注意结合实际场景舍去不符合逻辑的根，是这类题的易错点。
【难度系数】
0.7
这是几何面积结合一元二次方程的应用题，解题时可以利用平移法简化计算：将三条道路分别平移到试验基地的边缘，分散的6块试验田就可以拼接成一个完整的长方形，避免重复计算道路重叠部分的面积。首先设道路的宽为x米，分析拼接后长方形的长和宽：纵向有2条道路，所以拼接后长方形的长为原长减去2个道路宽，即(32-2x)m；横向有1条道路，所以拼接后长方形的宽为原宽减去1个道路宽，即(20-x)m。拼接后长方形的面积就是6块试验田的总面积504m²，根据这个等量关系列方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设道路的宽为x米。
将道路平移后，6块试验田拼接成的长方形长为$(32-2x)\mathrm{m}$，宽为$(20-x)\mathrm{m}$，根据试验田总面积为$504\mathrm{m}^2$，列方程：
$(32-2x)(20-x)=504$
展开整理得：
$x^2 - 36x + 68 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-34)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=34$
因为道路宽度不可能超过基地的长和宽，$x=34＞32$，不符合实际，故舍去。
所以$x=2$。
【答案】
道路的宽应是2米。
【知识点】
一元二次方程应用；长方形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，通过平移法将分散的图形拼接为整体是简化计算的核心技巧，求解后注意结合实际场景舍去不符合逻辑的根，是这类题的易错点。
【难度系数】
0.7
15 如图，小明要建一个面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门。现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽。
答案
15 设仓库的宽为$x$米，则可列方程$x(32+1-2x)=130$，解得$x_1=\frac{13}{2}$，$x_2=10$。当$x=\frac{13}{2}$时，$32+1-2x=20＞16$，故$x=\frac{13}{2}$舍去；当$x=10$时，$32+1-2x=13＜16$，符合题意。所以仓库的长和宽分别为13米和10米。
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：首先明确核心数量关系：长方形仓库的面积=长×宽。我们先设与墙垂直的边长（即仓库的宽）为x米，由于与墙平行的一边有1米宽的小门不需要用木板，因此总木板长度加上1米的小门长度，刚好等于2个宽加1个与墙平行的长的总长度，由此可以用含x的式子表示出仓库的长；再结合面积为130平方米的条件列方程求解，最后要注意墙长仅为16米，求出的长不能超过墙长，需要舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：设仓库垂直于墙的一边长（宽）为x米，则平行于墙的一边长为$(32+1-2x)$米。
根据长方形面积为130平方米，列方程得：
$x(33-2x)=130$
整理得：$2x^2-33x+130=0$
因式分解得：$(2x-13)(x-10)=0$
解得：$x_1=\frac{13}{2}$，$x_2=10$。
对结果进行检验：
①当$x=\frac{13}{2}$时，平行于墙的边长为$33-2×\frac{13}{2}=20$米，$20＞16$，超过墙长，不符合实际，舍去；
②当$x=10$时，平行于墙的边长为$33-2×10=13$米，$13＜16$，符合题意。
【答案】
仓库的长为13米，宽为10米。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；实际问题的根检验
【点评】
本题属于常见的方程类实际应用题，解题的核心是结合小门的条件正确表示出长方形的长，易错点是容易忽略小门1米的长度，或者忘记结合墙长的限制对求解得到的根进行取舍，导致出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：首先明确核心数量关系：长方形仓库的面积=长×宽。我们先设与墙垂直的边长（即仓库的宽）为x米，由于与墙平行的一边有1米宽的小门不需要用木板，因此总木板长度加上1米的小门长度，刚好等于2个宽加1个与墙平行的长的总长度，由此可以用含x的式子表示出仓库的长；再结合面积为130平方米的条件列方程求解，最后要注意墙长仅为16米，求出的长不能超过墙长，需要舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：设仓库垂直于墙的一边长（宽）为x米，则平行于墙的一边长为$(32+1-2x)$米。
根据长方形面积为130平方米，列方程得：
$x(33-2x)=130$
整理得：$2x^2-33x+130=0$
因式分解得：$(2x-13)(x-10)=0$
解得：$x_1=\frac{13}{2}$，$x_2=10$。
对结果进行检验：
①当$x=\frac{13}{2}$时，平行于墙的边长为$33-2×\frac{13}{2}=20$米，$20＞16$，超过墙长，不符合实际，舍去；
②当$x=10$时，平行于墙的边长为$33-2×10=13$米，$13＜16$，符合题意。
【答案】
仓库的长为13米，宽为10米。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；实际问题的根检验
【点评】
本题属于常见的方程类实际应用题，解题的核心是结合小门的条件正确表示出长方形的长，易错点是容易忽略小门1米的长度，或者忘记结合墙长的限制对求解得到的根进行取舍，导致出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
