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1 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支。已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是(
A.9
B.8
C.7
D.6
C
)。A.9
B.8
C.7
D.6
答案
1 C
解析
【分析】
这是典型的分支类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步设未知数，设每个枝干长出的小分支个数为x；第二步梳理数量关系：1个主干长出的枝干数量等于x，每个枝干长x个小分支，因此小分支总数量为x²；第三步根据“枝干和小分支的总数是56”的条件列方程，求解后结合分支个数为正整数的实际意义舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
设这种植物每个枝干长出小分支的个数是$x$。
由题意可知，主干长出的枝干数量为$x$，小分支的总数量为$x · x = x^2$。
根据枝干和小分支的总数是56，列方程得：
$x + x^2 = 56$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解得：$(x + 8)(x - 7) = 0$
解得：$x_1 = 7$，$x_2 = -8$
因为小分支的个数不能为负数，所以舍去$x_2 = -8$，即$x = 7$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用中的典型分支问题，核心考点是梳理清楚不同层级的数量关系，求解后需要注意结合实际场景对根的合理性进行验证，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的分支类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步设未知数，设每个枝干长出的小分支个数为x；第二步梳理数量关系：1个主干长出的枝干数量等于x，每个枝干长x个小分支，因此小分支总数量为x²；第三步根据“枝干和小分支的总数是56”的条件列方程，求解后结合分支个数为正整数的实际意义舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
设这种植物每个枝干长出小分支的个数是$x$。
由题意可知，主干长出的枝干数量为$x$，小分支的总数量为$x · x = x^2$。
根据枝干和小分支的总数是56，列方程得：
$x + x^2 = 56$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2 + x - 56 = 0$
因式分解得：$(x + 8)(x - 7) = 0$
解得：$x_1 = 7$，$x_2 = -8$
因为小分支的个数不能为负数，所以舍去$x_2 = -8$，即$x = 7$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用中的典型分支问题，核心考点是梳理清楚不同层级的数量关系，求解后需要注意结合实际场景对根的合理性进行验证，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
2 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者计2分，输者记0分，如果平局，两个选手各计1分。全部选手的总得分可能为(
A.1980
B.2000
C.2014
D.2050
A
)。A.1980
B.2000
C.2014
D.2050
答案
2 A [提示:设共有x名选手,全部选手的得分总数为2×$\frac{1}{2}x(x-1)=x^2-x$。令$x^2-x=1980$,解得$x_1=45$,$x_2=-44$(舍去),有正整数解。而$x^2-x=2000$,$x^2-x=2014$,$x^2-x=2050$均无正整数解。]
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先分析比赛计分特点，不管对局结果是输赢还是平局，每局比赛双方的总得分固定为2分；第二步，计算单循环赛的总场次，若有x名选手，每两人赛一局，总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；第三步，总得分=总场次×每局总得分，由此推导出总得分关于选手人数x的表达式，最后验证四个选项对应的方程是否存在正整数解，存在正整数解的选项即为正确答案。
【解析】
设参加比赛的选手共有x名（x为正整数）。
1. 计算总比赛场次：本次比赛为单循环赛，每两名选手只赛1局，总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场。
2. 推导总得分表达式：每局比赛若分出胜负，双方总得分为$2+0=2$分；若为平局，双方总得分为$1+1=2$分，因此每局比赛总得分固定为2分。
全部选手总得分 = 总场次 × 每局总得分，即：
总得分$=2× \frac{1}{2}x(x-1)=x^2 - x$。
3. 验证各选项：
代入A选项：$x^2 - x = 1980$，整理得$x^2 -x -1980=0$，
判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-1980)=7921=89^2$，
解得正根$x=\frac{1+89}{2}=45$，是正整数，符合要求。
代入B选项：$x^2 -x=2000$，$\Delta=1+8000=8001$，不是完全平方数，无正整数解。
代入C选项：$x^2 -x=2014$，$\Delta=1+8056=8057$，不是完全平方数，无正整数解。
代入D选项：$x^2 -x=2050$，$\Delta=1+8200=8201$，不是完全平方数，无正整数解。
综上只有A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，单循环赛计数，方程整数解判定
【点评】
本题结合实际比赛场景考查方程的实际应用，解题核心是发现每局总得分固定的规律，将实际问题转化为数学方程，再通过验证方程正整数解的存在性得出结果，能够有效考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，先分析比赛计分特点，不管对局结果是输赢还是平局，每局比赛双方的总得分固定为2分；第二步，计算单循环赛的总场次，若有x名选手，每两人赛一局，总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；第三步，总得分=总场次×每局总得分，由此推导出总得分关于选手人数x的表达式，最后验证四个选项对应的方程是否存在正整数解，存在正整数解的选项即为正确答案。
【解析】
设参加比赛的选手共有x名（x为正整数）。
1. 计算总比赛场次：本次比赛为单循环赛，每两名选手只赛1局，总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场。
2. 推导总得分表达式：每局比赛若分出胜负，双方总得分为$2+0=2$分；若为平局，双方总得分为$1+1=2$分，因此每局比赛总得分固定为2分。
全部选手总得分 = 总场次 × 每局总得分，即：
总得分$=2× \frac{1}{2}x(x-1)=x^2 - x$。
3. 验证各选项：
代入A选项：$x^2 - x = 1980$，整理得$x^2 -x -1980=0$，
判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-1980)=7921=89^2$，
解得正根$x=\frac{1+89}{2}=45$，是正整数，符合要求。
代入B选项：$x^2 -x=2000$，$\Delta=1+8000=8001$，不是完全平方数，无正整数解。
代入C选项：$x^2 -x=2014$，$\Delta=1+8056=8057$，不是完全平方数，无正整数解。
代入D选项：$x^2 -x=2050$，$\Delta=1+8200=8201$，不是完全平方数，无正整数解。
综上只有A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，单循环赛计数，方程整数解判定
【点评】
本题结合实际比赛场景考查方程的实际应用，解题核心是发现每局总得分固定的规律，将实际问题转化为数学方程，再通过验证方程正整数解的存在性得出结果，能够有效考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
3 如图是正方形的房屋结构平面图，其中主卧与次卧都为正方形，其面积之和比其余部分多2.25平方米，则主卧与次卧的周长差为（
A.12米
B.10米
C.8米
D.6米
D
）。A.12米
B.10米
C.8米
D.6米
答案
3 D
解析
【分析】
我们可以先设主卧正方形的边长为$a$米，次卧正方形的边长为$b$米，首先可知大正方形房屋的边长为$a+b$米。先分别表示出两个卧室的面积和、其余部分的面积，根据题目给出的“两个卧室面积和比其余部分多2.25平方米”的等量关系列方程，再利用完全平方公式化简式子求出$a$与$b$的差，最后根据正方形周长公式计算周长差即可。
【解析】
解：设主卧正方形边长为$a$米，次卧正方形边长为$b$米（$a＞b$），则大正方形房屋的边长为$a+b$米。
1. 主卧与次卧的面积和为：$a^2 + b^2$
2. 其余部分的面积为大正方形总面积减去两个卧室的面积和，即：
$(a+b)^2 - (a^2 + b^2)$
3. 根据题意列等式：
$a^2 + b^2 - [(a+b)^2 - (a^2 + b^2)] = 2.25$
4. 化简等式：
左边展开得：$a^2 + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2) = a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$
即$(a - b)^2 = 2.25$，因为边长为正数，故$a - b = 1.5$（负根舍去）。
5. 主卧与次卧的周长差为：$4a - 4b = 4(a - b) = 4×1.5 = 6$米。
故选D。
【答案】D
【知识点】
完全平方公式，正方形周长与面积计算，列方程解应用题
【点评】
本题是代数公式与几何图形结合的典型应用题，解题核心是找准面积的等量关系，熟练运用完全平方公式对式子变形，求出边长差后即可快速得到周长差，解题时注意边长为正数，开平方时要舍去负根。
【难度系数】
0.6
我们可以先设主卧正方形的边长为$a$米，次卧正方形的边长为$b$米，首先可知大正方形房屋的边长为$a+b$米。先分别表示出两个卧室的面积和、其余部分的面积，根据题目给出的“两个卧室面积和比其余部分多2.25平方米”的等量关系列方程，再利用完全平方公式化简式子求出$a$与$b$的差，最后根据正方形周长公式计算周长差即可。
【解析】
解：设主卧正方形边长为$a$米，次卧正方形边长为$b$米（$a＞b$），则大正方形房屋的边长为$a+b$米。
1. 主卧与次卧的面积和为：$a^2 + b^2$
2. 其余部分的面积为大正方形总面积减去两个卧室的面积和，即：
$(a+b)^2 - (a^2 + b^2)$
3. 根据题意列等式：
$a^2 + b^2 - [(a+b)^2 - (a^2 + b^2)] = 2.25$
4. 化简等式：
左边展开得：$a^2 + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2) = a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$
即$(a - b)^2 = 2.25$，因为边长为正数，故$a - b = 1.5$（负根舍去）。
5. 主卧与次卧的周长差为：$4a - 4b = 4(a - b) = 4×1.5 = 6$米。
故选D。
【答案】D
【知识点】
完全平方公式，正方形周长与面积计算，列方程解应用题
【点评】
本题是代数公式与几何图形结合的典型应用题，解题核心是找准面积的等量关系，熟练运用完全平方公式对式子变形，求出边长差后即可快速得到周长差，解题时注意边长为正数，开平方时要舍去负根。
【难度系数】
0.6
④ 在计算正数a的平方时，某同学误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，那么正数a的值应该为
$\sqrt{2}+1$
。答案
4 $\sqrt{2}+1$
解析
【分析】
解题时首先找准等量关系：正数a的平方（正确计算结果）减去a与2的乘积（误算结果）等于1，据此列出关于a的一元二次方程，再结合a是正数的条件对方程的根进行取舍即可得到答案。
【解析】
根据题意，正确计算结果为$a^2$，误算结果为$2a$，由“误算答案比正确答案小1”列方程：
$a^2 - 2a = 1$
移项得：$a^2 - 2a - 1 = 0$
用配方法求解，方程两边同时加1：
$a^2 - 2a + 1 = 2$
即$(a-1)^2 = 2$
开平方得：$a-1 = \pm\sqrt{2}$
解得$a = 1+\sqrt{2}$或$a = 1-\sqrt{2}$
因为a是正数，$1-\sqrt{2}＜0$不符合要求，故舍去。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
列一元二次方程解应用题；一元二次方程的解法
【点评】
本题核心是找准等量关系列方程，求解一元二次方程后要注意结合题干给出的限制条件对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先找准等量关系：正数a的平方（正确计算结果）减去a与2的乘积（误算结果）等于1，据此列出关于a的一元二次方程，再结合a是正数的条件对方程的根进行取舍即可得到答案。
【解析】
根据题意，正确计算结果为$a^2$，误算结果为$2a$，由“误算答案比正确答案小1”列方程：
$a^2 - 2a = 1$
移项得：$a^2 - 2a - 1 = 0$
用配方法求解，方程两边同时加1：
$a^2 - 2a + 1 = 2$
即$(a-1)^2 = 2$
开平方得：$a-1 = \pm\sqrt{2}$
解得$a = 1+\sqrt{2}$或$a = 1-\sqrt{2}$
因为a是正数，$1-\sqrt{2}＜0$不符合要求，故舍去。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
列一元二次方程解应用题；一元二次方程的解法
【点评】
本题核心是找准等量关系列方程，求解一元二次方程后要注意结合题干给出的限制条件对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
5 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，这个两位数为
25或36
。答案
5 25或36
解析
【分析】
这是一道数字类列方程解应用题，解题时首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以先设十位数字为未知数，根据“个位数字比十位数字大3”表示出个位数字，再用未知数写出这个两位数的表达式，结合“个位数字的平方等于这个两位数”的等量关系列方程，最后结合数位数字的取值范围（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数）检验方程的解是否符合实际即可。
【解析】
解：设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+3$，这个两位数可表示为$10x + (x+3) = 11x + 3$。
根据题意列方程得：
$(x+3)^2 = 11x + 3$
展开左边得：$x^2 + 6x + 9 = 11x + 3$
移项、合并同类项得：$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$。
检验：$x=2$和$x=3$均为正整数，符合十位数字的取值要求。
当$x=2$时，个位数字为$2+3=5$，对应的两位数为25；
当$x=3$时，个位数字为$3+3=6$，对应的两位数为36。
【答案】
25或36
【知识点】
列一元二次方程解应用题；两位数的表示；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题核心是正确用含未知数的式子表示出两位数，根据题干给出的等量关系列方程求解，最后要注意检验解是否符合数位上数字的实际意义，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类列方程解应用题，解题时首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以先设十位数字为未知数，根据“个位数字比十位数字大3”表示出个位数字，再用未知数写出这个两位数的表达式，结合“个位数字的平方等于这个两位数”的等量关系列方程，最后结合数位数字的取值范围（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数）检验方程的解是否符合实际即可。
【解析】
解：设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+3$，这个两位数可表示为$10x + (x+3) = 11x + 3$。
根据题意列方程得：
$(x+3)^2 = 11x + 3$
展开左边得：$x^2 + 6x + 9 = 11x + 3$
移项、合并同类项得：$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$。
检验：$x=2$和$x=3$均为正整数，符合十位数字的取值要求。
当$x=2$时，个位数字为$2+3=5$，对应的两位数为25；
当$x=3$时，个位数字为$3+3=6$，对应的两位数为36。
【答案】
25或36
【知识点】
列一元二次方程解应用题；两位数的表示；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题核心是正确用含未知数的式子表示出两位数，根据题干给出的等量关系列方程求解，最后要注意检验解是否符合数位上数字的实际意义，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
⑥ 卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若3人患了流感，经过两轮传染后共有108人患了流感，每一轮传染中平均一个人传染了
5
人。答案
6 5 [提示:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则可列方程$3(1+x)^2=108$,解得$x_1=5$,$x_2=-7$(舍)。]
解析
【分析】
这是典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确初始患病人数为3人，设每轮平均1人传染x人；2. 理清每轮传染后的总患病人数规律：第一轮传染后，总患病人数是初始的3人加上3人各自传染的x人，即$3(1+x)$人；3. 第二轮传染时，第一轮患病的所有人都会作为传染源继续传染，因此第二轮结束后总患病人数为第一轮总人数乘以$(1+x)$，也就是$3(1+x)^2$；4. 结合题目给出的两轮后共108人患病的条件列方程，求解后根据实际意义舍去负数根即可得到答案。
【解析】
解：设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
根据两轮传染后总患病人数为108人，列方程得：
$3(1+x)^2 = 108$
方程两边同时除以3，得：
$(1+x)^2 = 36$
开平方得：
$1+x = ±6$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -7$
因为传染的人数不能为负数，所以$x_2=-7$不符合实际意义，舍去。
即每轮传染中平均一个人传染了5人。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 传染问题模型 3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是找准传染过程中总患病人数的变化规律，列方程时要注意包含每轮原本的患病群体，求出方程的解后务必结合实际情况检验根的合理性，避免出现不符合现实的答案。
【难度系数】
0.7
这是典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确初始患病人数为3人，设每轮平均1人传染x人；2. 理清每轮传染后的总患病人数规律：第一轮传染后，总患病人数是初始的3人加上3人各自传染的x人，即$3(1+x)$人；3. 第二轮传染时，第一轮患病的所有人都会作为传染源继续传染，因此第二轮结束后总患病人数为第一轮总人数乘以$(1+x)$，也就是$3(1+x)^2$；4. 结合题目给出的两轮后共108人患病的条件列方程，求解后根据实际意义舍去负数根即可得到答案。
【解析】
解：设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
根据两轮传染后总患病人数为108人，列方程得：
$3(1+x)^2 = 108$
方程两边同时除以3，得：
$(1+x)^2 = 36$
开平方得：
$1+x = ±6$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -7$
因为传染的人数不能为负数，所以$x_2=-7$不符合实际意义，舍去。
即每轮传染中平均一个人传染了5人。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 传染问题模型 3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是找准传染过程中总患病人数的变化规律，列方程时要注意包含每轮原本的患病群体，求出方程的解后务必结合实际情况检验根的合理性，避免出现不符合现实的答案。
【难度系数】
0.7
7 如图，长方形ABCD是由三个矩形拼接成的。如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小长方形全等，那么小长方形的长为
6
。 答案
7 6
解析
【分析】
本题是几何与方程结合的应用题，解题核心是从图形中提取等量关系列方程求解。首先设小长方形的长为x，宽为y：第一步观察AB的长度构成，AB的长等于小长方形的长与宽之和，可得到第一个等量关系；第二步观察阴影部分，阴影为长方形，它的长等于小长方形的长，宽等于小长方形的长减宽，结合阴影面积为24，可得到第二个等量关系；最后联立方程消元求解，舍去不符合实际的负解即可得到结果。
【解析】
设小长方形的长为$x$，宽为$y$。
根据题意可得：
1. 由$AB=8$，得：$x + y = 8$ ①
2. 阴影部分为长方形，长为$x$，宽为$x-y$，面积为24，得：$x(x - y) = 24$ ②
由①得$y = 8 - x$，将其代入②：
$x[x - (8 - x)] = 24$
展开整理得：$x(2x - 8) = 24$
即$x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x + 2) = 0$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$
因为长方形边长为正数，故舍去$x=-2$，即小长方形的长为6。
【答案】
6
【知识点】
长方形面积计算；列方程解应用题；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合几何图形性质考察方程的实际应用，解题关键是准确从图形中提取边长、面积对应的等量关系，求解后要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是几何与方程结合的应用题，解题核心是从图形中提取等量关系列方程求解。首先设小长方形的长为x，宽为y：第一步观察AB的长度构成，AB的长等于小长方形的长与宽之和，可得到第一个等量关系；第二步观察阴影部分，阴影为长方形，它的长等于小长方形的长，宽等于小长方形的长减宽，结合阴影面积为24，可得到第二个等量关系；最后联立方程消元求解，舍去不符合实际的负解即可得到结果。
【解析】
设小长方形的长为$x$，宽为$y$。
根据题意可得：
1. 由$AB=8$，得：$x + y = 8$ ①
2. 阴影部分为长方形，长为$x$，宽为$x-y$，面积为24，得：$x(x - y) = 24$ ②
由①得$y = 8 - x$，将其代入②：
$x[x - (8 - x)] = 24$
展开整理得：$x(2x - 8) = 24$
即$x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x + 2) = 0$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$
因为长方形边长为正数，故舍去$x=-2$，即小长方形的长为6。
【答案】
6
【知识点】
长方形面积计算；列方程解应用题；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合几何图形性质考察方程的实际应用，解题关键是准确从图形中提取边长、面积对应的等量关系，求解后要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
⑧ 如图，已知A、B、C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点。若点B对应的数是x，点C对应的数是$x^2 - 3x$，则x=
6
。答案
8 6 [提示:因为O是原点,且是AB的中点,所以OA=OB。因为点B对应的数是x,所以点A对应的数是−x。因为B是AC的中点,所以AB=BC,所以$(x^2-3x)-x=x-(-x)$,整理得$x^2-6x=0$,$x(x-6)=0$,所以x=0或6。因为点B异于原点,所以x≠0,所以x=6。]
解析
【分析】
解题时先从已知的中点条件切入：首先原点O是AB中点，说明A、B关于原点对称，可先推出点A对应的数；再利用B是AC中点的性质，结合数轴上中点与两端点对应数的关系列出方程；最后求解方程后，结合“异于原点”的条件舍去不符合题意的解即可。
【解析】
解：
∵O是原点且为AB的中点，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B对应的数是x，
∴点A对应的数为$-x$。
又
∵点B是AC的中点，根据数轴中点的性质，中点对应的数等于两端点对应数的平均值，可得：
$x=\frac{-x + (x^2 - 3x)}{2}$
两边同乘2得：$2x=x^2 - 4x$
移项整理得：$x^2 - 6x=0$
因式分解得：$x(x-6)=0$
解得$x=0$或$x=6$。
∵点B异于原点O，
∴$x≠0$，舍去$x=0$，
∴$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
数轴中点性质、一元二次方程解法、解的合理性检验
【点评】
本题将数轴性质和方程求解相结合，考查学生的综合应用能力，解题时需注意题干中的隐含限制条件，避免因未舍去不合题意的解而失分。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的中点条件切入：首先原点O是AB中点，说明A、B关于原点对称，可先推出点A对应的数；再利用B是AC中点的性质，结合数轴上中点与两端点对应数的关系列出方程；最后求解方程后，结合“异于原点”的条件舍去不符合题意的解即可。
【解析】
解：
∵O是原点且为AB的中点，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B对应的数是x，
∴点A对应的数为$-x$。
又
∵点B是AC的中点，根据数轴中点的性质，中点对应的数等于两端点对应数的平均值，可得：
$x=\frac{-x + (x^2 - 3x)}{2}$
两边同乘2得：$2x=x^2 - 4x$
移项整理得：$x^2 - 6x=0$
因式分解得：$x(x-6)=0$
解得$x=0$或$x=6$。
∵点B异于原点O，
∴$x≠0$，舍去$x=0$，
∴$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
数轴中点性质、一元二次方程解法、解的合理性检验
【点评】
本题将数轴性质和方程求解相结合，考查学生的综合应用能力，解题时需注意题干中的隐含限制条件，避免因未舍去不合题意的解而失分。
【难度系数】
0.7
9 若多项式$3kx^2 + (6k - 1)x + 3k + 1(k ≠ 0)$在实数范围内可以因式分解，则实数$k$的取值范围是
$k ≤ \frac{1}{24}$且$k ≠ 0$
。答案
9 $k ≤ \frac{1}{24}$且$k ≠ 0$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：对于二次项系数不为0的二次三项式，它在实数范围内可以因式分解的等价条件是对应的一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0。本题中已知k≠0，因此该多项式是关于x的二次三项式，我们只需先计算判别式，再令判别式大于等于0，解不等式即可得到k的取值范围，注意保留题中给出的k≠0的限制。
【解析】
∵ k≠0，
∴ 多项式$3kx^2 + (6k - 1)x + 3k + 1$是关于x的二次三项式。
若该多项式在实数范围内可以因式分解，则对应的一元二次方程$3kx^2 + (6k - 1)x + 3k + 1 = 0$有实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (6k - 1)^2 - 4 × 3k × (3k + 1) \\&= 36k^2 - 12k + 1 - (36k^2 + 12k) \\&= 36k^2 - 12k + 1 - 36k^2 - 12k \\&= -24k + 1\end{aligned}$
令$\Delta ≥ 0$，即$-24k + 1 ≥ 0$，解得$k ≤ \frac{1}{24}$。
结合题中已知条件$k ≠ 0$，最终可得k的取值范围是$k ≤ \frac{1}{24}$且$k ≠ 0$。
【答案】
$k ≤ \frac{1}{24}$且$k ≠ 0$
【知识点】
1. 二次三项式因式分解条件；2. 一元二次方程根的判别式；3. 解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查二次三项式因式分解与一元二次方程根的判别式的关联，解题的关键是掌握两者的等价转换关系，计算判别式时要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确：对于二次项系数不为0的二次三项式，它在实数范围内可以因式分解的等价条件是对应的一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0。本题中已知k≠0，因此该多项式是关于x的二次三项式，我们只需先计算判别式，再令判别式大于等于0，解不等式即可得到k的取值范围，注意保留题中给出的k≠0的限制。
【解析】
∵ k≠0，
∴ 多项式$3kx^2 + (6k - 1)x + 3k + 1$是关于x的二次三项式。
若该多项式在实数范围内可以因式分解，则对应的一元二次方程$3kx^2 + (6k - 1)x + 3k + 1 = 0$有实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (6k - 1)^2 - 4 × 3k × (3k + 1) \\&= 36k^2 - 12k + 1 - (36k^2 + 12k) \\&= 36k^2 - 12k + 1 - 36k^2 - 12k \\&= -24k + 1\end{aligned}$
令$\Delta ≥ 0$，即$-24k + 1 ≥ 0$，解得$k ≤ \frac{1}{24}$。
结合题中已知条件$k ≠ 0$，最终可得k的取值范围是$k ≤ \frac{1}{24}$且$k ≠ 0$。
【答案】
$k ≤ \frac{1}{24}$且$k ≠ 0$
【知识点】
1. 二次三项式因式分解条件；2. 一元二次方程根的判别式；3. 解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查二次三项式因式分解与一元二次方程根的判别式的关联，解题的关键是掌握两者的等价转换关系，计算判别式时要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
10 如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是
3或6
。答案
10 3或6 [提示:如图,延长AE、BG交于点C,延长AN、BH交于点D,则四边形ADBC是长方形,所以△ABD与△ABC面积相等。又因为线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分,所以四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等,所以$6 × (9-6)=x(9-x)$,解得x=3或6。]
解析
【分析】
遇到直线平分组合图形面积的问题时，可通过补形法将不规则图形转化为规则图形简化计算。本题先将现有图形补成一个大矩形，AB作为大矩形的对角线，天然平分大矩形的面积。已知AB平分三个正方形的总面积，因此补出的左右两个小矩形的面积必然相等，根据这个等量关系列方程即可求出x的值。
【解析】
解：如图，延长AE、BG交于点C，延长AN、BH交于点D，可得四边形ACBD是长方形。
∵AB是长方形ACBD的对角线，
∴$S_{△ ACB}=S_{△ ADB}$。
∵直线AB将三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，
∴补出的左侧矩形CEFG的面积与右侧矩形DHMN的面积相等。
左侧矩形CEFG的长为6，宽为$9-6=3$，面积为$6×(9-6)$；
右侧矩形DHMN的长为x，宽为$9-x$，面积为$x(9-x)$。
列方程得：$6×(9-6)=x(9-x)$
整理得：$x^2-9x+18=0$
因式分解得：$(x-3)(x-6)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=6$，两个解均符合图形的实际意义。
【答案】
3或6
【知识点】
割补法求面积，矩形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题通过补形法将不规则的组合图形转化为规则的矩形，利用矩形对角线平分面积的性质快速找到等量关系，降低了解题难度，求解后要注意验证根是否符合图形的实际意义。
【难度系数】
0.6
遇到直线平分组合图形面积的问题时，可通过补形法将不规则图形转化为规则图形简化计算。本题先将现有图形补成一个大矩形，AB作为大矩形的对角线，天然平分大矩形的面积。已知AB平分三个正方形的总面积，因此补出的左右两个小矩形的面积必然相等，根据这个等量关系列方程即可求出x的值。
【解析】
解：如图，延长AE、BG交于点C，延长AN、BH交于点D，可得四边形ACBD是长方形。
∵AB是长方形ACBD的对角线，
∴$S_{△ ACB}=S_{△ ADB}$。
∵直线AB将三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，
∴补出的左侧矩形CEFG的面积与右侧矩形DHMN的面积相等。
左侧矩形CEFG的长为6，宽为$9-6=3$，面积为$6×(9-6)$；
右侧矩形DHMN的长为x，宽为$9-x$，面积为$x(9-x)$。
列方程得：$6×(9-6)=x(9-x)$
整理得：$x^2-9x+18=0$
因式分解得：$(x-3)(x-6)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=6$，两个解均符合图形的实际意义。
【答案】
3或6
【知识点】
割补法求面积，矩形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题通过补形法将不规则的组合图形转化为规则的矩形，利用矩形对角线平分面积的性质快速找到等量关系，降低了解题难度，求解后要注意验证根是否符合图形的实际意义。
【难度系数】
0.6
