初中数学 八年级 二册 北师大版
8.「2026江苏南京玄武期中，★☆」我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图所示的图形是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$ S_1, S_2, S_3 $，若$ S_1 + S_2 + S_3 = 21 $，则$ S_2 = $.

答案 7
解析 设全等的直角三角形的两条直角边长分别为$ a$,$b(a＞b)$,由题意可知,$S_1=(a+b)^2$,$S_2=a^2+b^2$,$S_3=(a-b)^2$,因为$S_1+S_2+S_3=21$,所以$(a+b)^2+a^2+b^2+(a-b)^2=21$,所以$3(a^2+b^2)=21$,所以$a^2+b^2=7$,所以$S_2=7$.

9.「2026 河南郑州外国语学校月考，★☆」儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”后，为了测得风筝的垂直高度(CE的长)，他们进行了如下操作:①测得水平距离(BD的长)为8米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米;③牵线放风筝的小明的身高为1.5米.
(1)求风筝的垂直高度.
(2)如果小明想让风筝沿CD向下降9米，则他应该往回收线多少米?

(1)在$\mathrm{Rt}△CDB$中,由勾股定理得$CD^2=BC^2-BD^2=17^2-8^2=225=15^2$,所以$CD=15$ 米,所以$CE=CD+DE=15+1.5=16.5$(米),因此,风筝的垂直高度为 16.5 米.
(2)如图,设风筝沿 CD 向下下降 9 米到 M 点处,连接 BM,由题意得$CM=9$ 米,所以$DM=6$ 米,在$\mathrm{Rt}△BDM$中,$BM^2=DM^2+BD^2=6^2+8^2=10^2$,所以$BM=10$ 米,所以$BC-BM=17-10=7$(米),所以他应该往回收线 7 米.

10. 核心素养推理能力【观察】在直角三角形中，设直角边长分别为$a,b$，斜边长为$c$，那么$a^2+b^2=c^2$.对于一般的$△ ABC$，三边长分别为$BC=a,AC=b,AB=c$，且$c≥b≥a$，边长的平方是否也存在某种关系？
【实验操作】小组成员通过测量不同类型的三角形(锐角三角形、钝角三角形)三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想锐角三角形三边长的平方之间的关系为$a^2+b^2＞c^2$.
【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，如图1，过点$A$作$AD⊥CB$，垂足为$D$.这样就把锐角$△ ABC$分成了$Rt△ ADC$和$Rt△ ADB$，从而可以运用勾股定理进行推导.
(1)请你写出推导过程.
【知识迁移】
(2)如图2，当$△ ABC$是钝角三角形时，猜想三边长的平方之间的关系，并证明.

(1)在题图 1 中,过点 A 作$AD⊥CB$,垂足为 D.设$CD=x$,则$BD=a-x$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,由勾股定理得$AD^2=b^2-x^2$,
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,由勾股定理得$AD^2=c^2-(a-x)^2$,
所以$b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$,整理,得$a^2+b^2=c^2+2ax$,
因为$a＞0$,$x＞0$,所以$2ax＞0$,所以$a^2+b^2＞c^2$.
(2)$a^2+b^2＜c^2$.
证明:如图,过点 A 作$AE⊥BC$,交 BC 的延长线于点 E,
设$CE=m$,则$BE=a+m$,
在$\mathrm{Rt}△ACE$中,由勾股定理得$AE^2=b^2-m^2$,
在$\mathrm{Rt}△ABE$中,由勾股定理得$AE^2=c^2-(a+m)^2$,
所以$b^2-m^2=c^2-(a+m)^2$,整理,得$a^2+b^2=c^2-2am$,
因为$a＞0$,$m＞0$,所以$2am＞0$,所以$a^2+b^2＜c^2$.