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1.「2026江苏南京联合体期末」将下列长度的三条线段首尾相接,能构成直角三角形的是 (
A.2,3,4
B.3,4,5
C.4,5,6
D.5,6,7
B
)A.2,3,4
B.3,4,5
C.4,5,6
D.5,6,7
答案
1.B 因为$2^2+3^2≠4^2$,$3^2+4^2=5^2$,$4^2+5^2≠6^2$,$5^2+6^2≠7^2$,所以只有选项B符合题意.故选B.
2.「2026山东威海文登月考」已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$(a-5)^2 + (b-12)^2 + |c-13| = 0$，则$△ ABC$是
直角
三角形。答案
2.答案 直角
解析 因为$(a-5)^2+(b-12)^2+|c-13|=0$,所以$a-5=0,b-12=0,c-13=0$,所以$a=5,b=12,c=13$,因为$5^2+12^2=13^2$,所以$a^2+b^2=c^2$,所以$△ABC$是直角三角形.
解析 因为$(a-5)^2+(b-12)^2+|c-13|=0$,所以$a-5=0,b-12=0,c-13=0$,所以$a=5,b=12,c=13$,因为$5^2+12^2=13^2$,所以$a^2+b^2=c^2$,所以$△ABC$是直角三角形.
3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=10$,点D是边AC上一点,$BD=8$,$CD=6$,则线段AD的长为
$\boldsymbol{\frac{7}{3}}$
.答案
3.答案 $\frac{7}{3}$
解析 因为$BD=8,CD=6,BC=10,6^2+8^2=10^2$,所以$CD^2+BD^2=BC^2$,所以$△BDC$是直角三角形,所以$∠BDA=∠BDC=90°$,所以$BD^2+AD^2=AB^2$,因为$AB=AC$,所以$AB=AD+DC=AD+6$,所以$8^2+AD^2=(AD+6)^2$,解得$AD=\frac{7}{3}$,故$AD$的长为$\frac{7}{3}$.
解析 因为$BD=8,CD=6,BC=10,6^2+8^2=10^2$,所以$CD^2+BD^2=BC^2$,所以$△BDC$是直角三角形,所以$∠BDA=∠BDC=90°$,所以$BD^2+AD^2=AB^2$,因为$AB=AC$,所以$AB=AD+DC=AD+6$,所以$8^2+AD^2=(AD+6)^2$,解得$AD=\frac{7}{3}$,故$AD$的长为$\frac{7}{3}$.
4.如图,若小方格的边长为1,请你根据所学的知识回答下列问题.
(1)求△ABC的面积.
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
(1)求△ABC的面积.
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
答案
4.解析 (1)$△ABC$的面积$=4×8-\frac{1}{2}×1×8-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×6×4=13$.
(2)$△ABC$是直角三角形.理由:因为小方格的边长为1,所以$AC^2=1^2+8^2=65,AB^2=3^2+2^2=13,BC^2=6^2+4^2=52$.
在$△ABC$中,$AB^2+BC^2=13+52=65,AC^2=65$,
所以$AB^2+BC^2=AC^2$,所以$△ABC$是直角三角形.
(2)$△ABC$是直角三角形.理由:因为小方格的边长为1,所以$AC^2=1^2+8^2=65,AB^2=3^2+2^2=13,BC^2=6^2+4^2=52$.
在$△ABC$中,$AB^2+BC^2=13+52=65,AC^2=65$,
所以$AB^2+BC^2=AC^2$,所以$△ABC$是直角三角形.
5.「2026 江苏苏州工业园区期中」我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀》中.下列各组数中,是勾股数的是（
A.1,2,3
B.0.3,0.4,0.5
C.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
D.7,24,25
D
）A.1,2,3
B.0.3,0.4,0.5
C.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
D.7,24,25
答案
5.D 因为$1^2+2^2≠3^2$,所以1,2,3不是勾股数.因为0.3,0.4,0.5都不是正整数,所以0.3,0.4,0.5不是勾股数.
因为$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$都不是正整数,所以$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$不是勾股数.因为7,24,25均为正整数,且$7^2+24^2=25^2$,所以7,24,25是勾股数.故选D.
因为$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$都不是正整数,所以$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$不是勾股数.因为7,24,25均为正整数,且$7^2+24^2=25^2$,所以7,24,25是勾股数.故选D.
6.「★☆」当n为正整数时,下列各组数:①$3n,4n,5n$;②$\frac{n}{3},\frac{n}{4},\frac{n}{5}$;③$2n-1,2n+1,2n+3$,其中一定是勾股数的是 (
A.①
B.①②
C.①③
D.②③
A
)A.①
B.①②
C.①③
D.②③
答案
6.A ①因为$(3n)^2+(4n)^2=9n^2+16n^2=25n^2,(5n)^2=25n^2$,所以$(3n)^2+(4n)^2=(5n)^2$.因为n为正整数,所以3n,4n,5n都是正整数,所以3n,4n,5n是勾股数.
②当n为正整数时,$\frac{n}{3},\frac{n}{4},\frac{n}{5}$不一定是正整数,所以$\frac{n}{3},\frac{n}{4},\frac{n}{5}$不符合题意.
③因为$(2n-1)^2+(2n+1)^2=8n^2+2,(2n+3)^2=4n^2+12n+9$,所以$(2n-1)^2+(2n+1)^2$与$(2n+3)^2$不一定相等,所以$2n-1,2n+1,2n+3$不符合题意.
故选A.
②当n为正整数时,$\frac{n}{3},\frac{n}{4},\frac{n}{5}$不一定是正整数,所以$\frac{n}{3},\frac{n}{4},\frac{n}{5}$不符合题意.
③因为$(2n-1)^2+(2n+1)^2=8n^2+2,(2n+3)^2=4n^2+12n+9$,所以$(2n-1)^2+(2n+1)^2$与$(2n+3)^2$不一定相等,所以$2n-1,2n+1,2n+3$不符合题意.
故选A.
7.「2026山东烟台招远期中改编，★☆」在如图所示的网格中，以AB为一边画Rt△ABC，则满足条件的格点C共有
6
个。答案
7.答案 6
解析 如图所示,
共有6个格点C使$△ABC$为直角三角形.
8.「2026福建三明月考，★☆」如图，学校在校园围墙内侧开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB=9 m，BC=12 m，CD=8 m，AD=17 m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积为
114
m².答案
8.答案 114
解析 如图,连接AC,在$Rt△ABC$中,因为$AB=9$ m,$BC=12$ m,所以$AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=225=15^2$,所以$AC=15$ m,
又因为$CD=8$ m,$AD=17$ m,所以$CD^2+AC^2=8^2+15^2=289=17^2=AD^2$,所以$△ACD$是直角三角形,所以四边形ABCD的面积=$△ABC$的面积+$△ACD$的面积=$\frac{1}{2}AB·BC+\frac{1}{2}AC·CD=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8=114(m^2)$.
9.「★☆」如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分,若以AM,MN,NB为边的三角形是直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长.
答案
9.解析 (1)是.
理由:因为$AM^2+BN^2=1.5^2+2^2=6.25$,$MN^2=2.5^2=6.25$,
所以$AM^2+BN^2=MN^2$,
所以以AM,MN,BN为边的三角形是直角三角形,所以点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设$BN=x$,则$MN=AB-AM-BN=18-x$,
①当MN为最长线段时,依题意得$MN^2=AM^2+BN^2$,即$(18-x)^2=6^2+x^2$,解得$x=8$,则$BN=8$.
②当BN为最长线段时,依题意得$BN^2=AM^2+MN^2$,即$x^2=6^2+(18-x)^2$,解得$x=10$,则$BN=10$.
综上所述,$BN=8$或10.
理由:因为$AM^2+BN^2=1.5^2+2^2=6.25$,$MN^2=2.5^2=6.25$,
所以$AM^2+BN^2=MN^2$,
所以以AM,MN,BN为边的三角形是直角三角形,所以点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设$BN=x$,则$MN=AB-AM-BN=18-x$,
①当MN为最长线段时,依题意得$MN^2=AM^2+BN^2$,即$(18-x)^2=6^2+x^2$,解得$x=8$,则$BN=8$.
②当BN为最长线段时,依题意得$BN^2=AM^2+MN^2$,即$x^2=6^2+(18-x)^2$,解得$x=10$,则$BN=10$.
综上所述,$BN=8$或10.
