登录
1.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能验证勾股定理的是 (
D
) 答案
选项 A,中间小正方形的面积$=c^2=(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab$,化简,得$c^2=a^2+b^2$,可以验证勾股定理.选项 B,中间小正方形的面积$=(b-a)^2=c^2-4×\frac{1}{2}ab$,化简,得$a^2+b^2=c^2$,可以验证勾股定理.选项 C,梯形的面积$=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$,化简,得$a^2+b^2=c^2$,可以验证勾股定理.选项 D,不能验证勾股定理.故选 D.
2.「2026 广东深圳福田莲花中学期中」赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形.该图由四个全等的直角三角形(直角边长分别为$a$和$b$,$a＞b$,斜边长为$c$)围绕一个小正方形拼成一个大正方形(
).若图中大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则以下关于$a$和$b$的结论正确的是 (
A.$a+b=5$
B.$ab=8$
C.$a^2+b^2=12$
D.$a-b=2$
).若图中大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则以下关于$a$和$b$的结论正确的是 (A
)A.$a+b=5$
B.$ab=8$
C.$a^2+b^2=12$
D.$a-b=2$
答案
由题意得$c^2=13$,$a^2+b^2=c^2$,所以$a^2+b^2=13$,故选项 C 错误.由题意得$(a-b)^2=1$,所以$a^2+b^2-2ab=1$,即13-2ab=1,所以 2ab=12,所以 ab=6,故选项 B 错误.因为$(a-b)^2=1$,所以$a-b≠2$,故选项 D 错误.因为$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=1+24=25$,所以$a+b=5$(负值已舍去),故选项 A 正确.故选 A.
3.「2026山东青岛海信学校期中」如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了
A.3
B.4
C.5
D.6
4
米。绿草青青，脚下留情！（B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
由题意可知$∠ACB=90°$,$AC=12$ 米,$BC=5$ 米,所以$AB^2=AC^2+BC^2=12^2+5^2=169=13^2$,所以$AB=13$米,所以他们仅仅少走了$12+5-13=4$(米).故选 B.4.「2026广东梅州兴宁期末」如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少为（
A.13 m
B.17 m
C.18 m
D.26 m
B
）A.13 m
B.17 m
C.18 m
D.26 m
答案
如图,由题意得$BC=5$ m,$AB=13$ m,由勾股定理得$AC^2=AB^2-BC^2=13^2-5^2=144=12^2$,所以$AC=12$ m,因为所有台阶竖直高度的和为 BC 的长,水平宽度的和为 AC 的长,所以地毯的长度至少为$5+12=17$(m).故选 B.5.「2026 陕西西安月考」如图所示的是一个底面圆半径为8 cm,高为15 cm 的圆柱形饮料罐,将一根长为20 cm 的吸管从上底面正中心的小圆孔处插入饮料罐,吸管底部紧贴饮料罐下底面边缘,若罐壁厚度和上底面圆孔直径均忽略不计,则吸管露在饮料罐外部的长度是
3
cm.答案
答案 3
解析 如图,由题意可知$AO=8$ cm,$BO=15$ cm,$∠BOA=90°$,所以$AB^2=AO^2+BO^2=8^2+15^2=289=17^2$,所以$AB=17$ cm,所以吸管在饮料罐内部的长度为17 cm,因为吸管的总长度为 20 cm,所以吸管露在饮料罐外部的长度为$20-17=3$(cm).故答案为 3.
6.「★☆」意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法验证了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为$S_{1}$,图3中空白部分的面积为$S_{2}$,则下列等式成立的是 (
A.$S_{2}=c^{2}$
B.$S_{2}=c^{2}+\frac{1}{2}ab$
C.$S_{1}=a^{2}+b^{2}+ab$
D.$S_{1}=a^{2}+b^{2}+2ab$
C
)A.$S_{2}=c^{2}$
B.$S_{2}=c^{2}+\frac{1}{2}ab$
C.$S_{1}=a^{2}+b^{2}+ab$
D.$S_{1}=a^{2}+b^{2}+2ab$
答案
由题图可得$S_2=S_1$,$S_1=a^2+b^2+\frac{1}{2}ab×2=a^2+b^2+ab$,$S_2=c^2+\frac{1}{2}ab×2=c^2+ab$.故选 C.
7.「2026 山东淄博高青期中，★☆」如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙角的距离$BC=0.7$米，梯子顶端到地面的距离$AC=2.4$米。如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离$A'D=1.5$米，则小巷的宽为
2.7
米。答案
答案 2.7
解析 在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AC=2.4$ 米,$BC=0.7$ 米,由勾股定理可得$AB^2=AC^2+BC^2=2.4^2+0.7^2=6.25=2.5^2$,所以$AB=2.5$ 米,所以$A'B=AB=2.5$ 米.在$\mathrm{Rt}△A'BD$中,由勾股定理可得$BD^2=A'B^2-A'D^2=2.5^2-1.5^2=4=2^2$,所以$BD=2$ 米,所以$CD=BC+BD=0.7+2=2.7$(米),所以小巷的宽为 2.7 米.
解析 在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AC=2.4$ 米,$BC=0.7$ 米,由勾股定理可得$AB^2=AC^2+BC^2=2.4^2+0.7^2=6.25=2.5^2$,所以$AB=2.5$ 米,所以$A'B=AB=2.5$ 米.在$\mathrm{Rt}△A'BD$中,由勾股定理可得$BD^2=A'B^2-A'D^2=2.5^2-1.5^2=4=2^2$,所以$BD=2$ 米,所以$CD=BC+BD=0.7+2=2.7$(米),所以小巷的宽为 2.7 米.
