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1. 下列函数中，$y$一定是$x$的二次函数的是（
A.$y=x^3 - 1$
B.$y=3x - 1$
C.$y=(x+1)(x-3)$
D.$y=x^2 + \frac{1}{x}$
C
）A.$y=x^3 - 1$
B.$y=3x - 1$
C.$y=(x+1)(x-3)$
D.$y=x^2 + \frac{1}{x}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，满足三个核心条件：①是整式函数；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时只需逐个分析选项是否符合上述条件即可。
【解析】
我们依据二次函数的定义逐一判断选项：
选项A：$y=x^3-1$中，$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=3x-1$中，$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项C：先将函数展开整理：$y=(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$，符合$y=ax^2+bx+c$（$a=1≠0$）的形式，是二次函数，符合要求；
选项D：$y=x^2+\frac{1}{x}$中，$\frac{1}{x}$是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、整式的判定
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是抓住二次函数的核心特征，尤其要注意需先将函数化简为最简形式再判断次数，同时要排除含分式、根式等非整式的函数形式，避免掉入易错陷阱。
【难度系数】
0.8
要判断函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，满足三个核心条件：①是整式函数；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时只需逐个分析选项是否符合上述条件即可。
【解析】
我们依据二次函数的定义逐一判断选项：
选项A：$y=x^3-1$中，$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=3x-1$中，$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项C：先将函数展开整理：$y=(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$，符合$y=ax^2+bx+c$（$a=1≠0$）的形式，是二次函数，符合要求；
选项D：$y=x^2+\frac{1}{x}$中，$\frac{1}{x}$是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、整式的判定
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是抓住二次函数的核心特征，尤其要注意需先将函数化简为最简形式再判断次数，同时要排除含分式、根式等非整式的函数形式，避免掉入易错陷阱。
【难度系数】
0.8
2.(1)若函数$y=(m-2)x^2 +4x -5$（$m$是常数）是关于$x$的二次函数，则$m$的取值范围是
(2)若函数$y=x^{m-1} -x +2$是关于$x$的二次函数，则$m$的值为
$m≠2$
。(2)若函数$y=x^{m-1} -x +2$是关于$x$的二次函数，则$m$的值为
3
。答案
(1)$m≠2$ (2)$3$
解析
【分析】
本题考查二次函数的定义应用，解题思路如下：
1. 首先明确二次函数的核心判定条件：①函数表达式是整式；②最高次项的次数为2；③二次项的系数不为0。
2. 第(1)题：已经给出二次项是$(m-2)x^2$，只需保证二次项系数不为0，即可满足二次函数的要求，据此列不等式求解m的范围。
3. 第(2)题：要使函数是二次函数，最高次项的次数必须为2，即$x^{m-1}$的指数为2，据此列方程求解m的值即可，验证可知一次项$-x$不影响二次函数的判定。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得：
$m-2 ≠ 0$
解得：$m ≠ 2$
(2) 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2，可得：
$m-1 = 2$
解得：$m = 3$
此时函数为$y=x^2 -x +2$，符合二次函数的定义。
【答案】
(1)$m≠2$；(2)$3$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元一次不等式求解
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的两个核心限制条件：最高次项次数为2、二次项系数不为0，避免漏看限制条件导致错误。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的定义应用，解题思路如下：
1. 首先明确二次函数的核心判定条件：①函数表达式是整式；②最高次项的次数为2；③二次项的系数不为0。
2. 第(1)题：已经给出二次项是$(m-2)x^2$，只需保证二次项系数不为0，即可满足二次函数的要求，据此列不等式求解m的范围。
3. 第(2)题：要使函数是二次函数，最高次项的次数必须为2，即$x^{m-1}$的指数为2，据此列方程求解m的值即可，验证可知一次项$-x$不影响二次函数的判定。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得：
$m-2 ≠ 0$
解得：$m ≠ 2$
(2) 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2，可得：
$m-1 = 2$
解得：$m = 3$
此时函数为$y=x^2 -x +2$，符合二次函数的定义。
【答案】
(1)$m≠2$；(2)$3$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元一次不等式求解
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的两个核心限制条件：最高次项次数为2、二次项系数不为0，避免漏看限制条件导致错误。
【难度系数】
0.9
3. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)$y=3x-5x^2+1$；
(2)$y=5x(x+2)-3x$；
(3)$y=(2x+1)^2+3$.
(1)$y=3x-5x^2+1$；
(2)$y=5x(x+2)-3x$；
(3)$y=(2x+1)^2+3$.
答案
解:(1)$y=-5x^2+3x+1$.二次项系数是$-5$,一次项系数是3,常数项是1. (2)$y=5x^2+7x$.二次项系数是5,一次项系数是7,常数项是0. (3)$y=4x^2+4x+4$.二次项系数是4,一次项系数是4,常数项是4.
解析
【分析】
要确定二次函数的各项系数，首先需明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先将每个函数解析式通过去括号、合并同类项整理为一般形式（按$x$的降幂排列），再对应找出对应的系数即可，注意系数需要包含本身的符号，若无常数项则常数项为0。
【解析】
(1) 将$y=3x-5x^2+1$按降幂排列整理为一般式：$y=-5x^2+3x+1$，对应可得二次项系数为$-5$，一次项系数为$3$，常数项为$1$。
(2) 先展开再合并同类项：$y=5x(x+2)-3x=5x^2+10x-3x=5x^2+7x$，该式无单独的常数项，因此二次项系数为$5$，一次项系数为$7$，常数项为$0$。
(3) 先用完全平方公式展开再合并同类项：$y=(2x+1)^2+3=4x^2+4x+1+3=4x^2+4x+4$，对应可得二次项系数为$4$，一次项系数为$4$，常数项为$4$。
【答案】
(1)二次项系数是$-5$，一次项系数是$3$，常数项是$1$；(2)二次项系数是$5$，一次项系数是$7$，常数项是$0$；(3)二次项系数是$4$，一次项系数是$4$，常数项是$4$。
【知识点】
1.二次函数的一般形式 2.整式化简运算 3.完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数各项系数定义的理解，解题的关键是先将函数解析式化为标准的一般形式，运算时要注意系数的符号，不要遗漏常数项为0的情况。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的各项系数，首先需明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先将每个函数解析式通过去括号、合并同类项整理为一般形式（按$x$的降幂排列），再对应找出对应的系数即可，注意系数需要包含本身的符号，若无常数项则常数项为0。
【解析】
(1) 将$y=3x-5x^2+1$按降幂排列整理为一般式：$y=-5x^2+3x+1$，对应可得二次项系数为$-5$，一次项系数为$3$，常数项为$1$。
(2) 先展开再合并同类项：$y=5x(x+2)-3x=5x^2+10x-3x=5x^2+7x$，该式无单独的常数项，因此二次项系数为$5$，一次项系数为$7$，常数项为$0$。
(3) 先用完全平方公式展开再合并同类项：$y=(2x+1)^2+3=4x^2+4x+1+3=4x^2+4x+4$，对应可得二次项系数为$4$，一次项系数为$4$，常数项为$4$。
【答案】
(1)二次项系数是$-5$，一次项系数是$3$，常数项是$1$；(2)二次项系数是$5$，一次项系数是$7$，常数项是$0$；(3)二次项系数是$4$，一次项系数是$4$，常数项是$4$。
【知识点】
1.二次函数的一般形式 2.整式化简运算 3.完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数各项系数定义的理解，解题的关键是先将函数解析式化为标准的一般形式，运算时要注意系数的符号，不要遗漏常数项为0的情况。
【难度系数】
0.8
4.(教材P30问题2变式)共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放a辆单车,计划第三个月投放单车y辆,设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y关于x的函数解析式是 (
A.$y=a(1+x)^2$
B.$y=a(1-x)^2$
C.$y=(1-x)^2+a$
D.$y=x^2+a$
A
)A.$y=a(1+x)^2$
B.$y=a(1-x)^2$
C.$y=(1-x)^2+a$
D.$y=x^2+a$
答案
4.A
解析
【分析】
这道题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：首先明确月平均增长率x的含义，即每个月的单车投放量是上个月投放量的(1+x)倍；先根据第一个月的投放量算出第二个月的投放量，再以第二个月的投放量为基础算出第三个月的投放量，即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
已知第一个月投放单车数量为a辆，第二、三两个月的月平均增长率为x：
1. 计算第二个月的投放量：第二个月投放量 = 第一个月投放量 × (1 + 月增长率) = $a(1+x)$ 辆；
2. 计算第三个月的投放量：第三个月投放量 = 第二个月投放量 × (1 + 月增长率) = $a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2$ 辆；
3. 已知第三个月投放单车y辆，因此可得函数解析式为 $y = a(1+x)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率模型，列函数解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础典型题，解题关键是理解月平均增长率的含义，明确后一期的量是在前一期的基础上按增长率计算，熟记增长率相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这道题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：首先明确月平均增长率x的含义，即每个月的单车投放量是上个月投放量的(1+x)倍；先根据第一个月的投放量算出第二个月的投放量，再以第二个月的投放量为基础算出第三个月的投放量，即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
已知第一个月投放单车数量为a辆，第二、三两个月的月平均增长率为x：
1. 计算第二个月的投放量：第二个月投放量 = 第一个月投放量 × (1 + 月增长率) = $a(1+x)$ 辆；
2. 计算第三个月的投放量：第三个月投放量 = 第二个月投放量 × (1 + 月增长率) = $a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2$ 辆；
3. 已知第三个月投放单车y辆，因此可得函数解析式为 $y = a(1+x)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率模型，列函数解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础典型题，解题关键是理解月平均增长率的含义，明确后一期的量是在前一期的基础上按增长率计算，熟记增长率相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
5.(教材P30问题1变式)2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛(每两队之间都进行两场比赛)，设共有x个队参加比赛，比赛总场数为y，则y关于x的解析式为
$y=x(x-1)$
。答案
$y=x(x-1)$
解析
【分析】
解题时首先要明确主客场双循环的比赛规则：任意两支队伍之间要进行2场比赛，分别在两队的主场各举办1场。我们可以分步骤思考：第一步，先考虑每支球队需要和除自身以外的多少支球队比赛，显然共有(x-1)个对手；第二步，每支球队和每个对手要踢2场，所以单支球队的总场次是2(x-1)场；第三步，注意如果直接用球队数乘单支球队场次，每场比赛会被对阵的两支球队各统计1次，存在重复计数，所以需要除以2，就能得到总场数y和x的关系式。也可以先回忆单循环（每两队1场）的总场次计算方式，双循环总场次是单循环的2倍，直接推导即可。
【解析】
方法一：
1. 每支球队需要和除自身外的$(x-1)$支球队分别进行主、客场2场比赛，因此单支球队的比赛场数为$2(x-1)$场。
2. x支球队如果直接计算总场次为$x· 2(x-1)$，但每场比赛会被两支球队各计算1次，存在重复，因此实际总场数需要除以2。
3. 列式化简得：$y=\frac{x· 2(x-1)}{2}=x(x-1)$。
方法二：
1. 若为单循环比赛（每两队之间仅踢1场），总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场。
2. 主客场双循环每两队踢2场，总场数为单循环的2倍，因此$y=2×\frac{1}{2}x(x-1)=x(x-1)$。
【答案】
$y=x(x-1)$
【知识点】
列函数关系式、比赛场次计数、二次函数的概念
【点评】
本题结合热门体育赛事设置情境，属于基础应用型题目，核心是准确理解双循环比赛的规则，避免计数时出现重复或者漏算的问题，能有效考查将实际问题转化为数学表达式的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确主客场双循环的比赛规则：任意两支队伍之间要进行2场比赛，分别在两队的主场各举办1场。我们可以分步骤思考：第一步，先考虑每支球队需要和除自身以外的多少支球队比赛，显然共有(x-1)个对手；第二步，每支球队和每个对手要踢2场，所以单支球队的总场次是2(x-1)场；第三步，注意如果直接用球队数乘单支球队场次，每场比赛会被对阵的两支球队各统计1次，存在重复计数，所以需要除以2，就能得到总场数y和x的关系式。也可以先回忆单循环（每两队1场）的总场次计算方式，双循环总场次是单循环的2倍，直接推导即可。
【解析】
方法一：
1. 每支球队需要和除自身外的$(x-1)$支球队分别进行主、客场2场比赛，因此单支球队的比赛场数为$2(x-1)$场。
2. x支球队如果直接计算总场次为$x· 2(x-1)$，但每场比赛会被两支球队各计算1次，存在重复，因此实际总场数需要除以2。
3. 列式化简得：$y=\frac{x· 2(x-1)}{2}=x(x-1)$。
方法二：
1. 若为单循环比赛（每两队之间仅踢1场），总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场。
2. 主客场双循环每两队踢2场，总场数为单循环的2倍，因此$y=2×\frac{1}{2}x(x-1)=x(x-1)$。
【答案】
$y=x(x-1)$
【知识点】
列函数关系式、比赛场次计数、二次函数的概念
【点评】
本题结合热门体育赛事设置情境，属于基础应用型题目，核心是准确理解双循环比赛的规则，避免计数时出现重复或者漏算的问题，能有效考查将实际问题转化为数学表达式的能力。
【难度系数】
0.8
6.学校准备在校园里利用围墙(围墙足够长)的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如图所示.已知篱笆墙的总长度为100 m，设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为x m，那么矩形植物园的面积$S(m^2)$关于x的函数解析式是
$S=x(100-2x)$
，自变量x的取值范围是$0＜x＜50$
.答案
$S=x(100-2x)$，自变量x的取值范围是$0＜x＜50$
解析
【分析】
解题时首先明确围矩形时仅需用篱笆围3条边：2条与围墙相邻的边，1条与围墙平行的边。第一步先根据篱笆总长度表示出与围墙平行的边的长度，第二步利用矩形面积公式写出面积的函数解析式，第三步结合边长为正的实际隐含条件，求出自变量x的取值范围即可。
【解析】
1. 表示矩形各边长度：
已知与围墙相邻的篱笆长度为x m，有2条该类边，篱笆总长度为100 m，因此与围墙平行的边的长度为$(100-2x)$m。
2. 推导面积函数解析式：
矩形面积=相邻两边长度的乘积，因此$S=x×(100-2x)=x(100-2x)$。
3. 求自变量取值范围：
边长为正数，因此满足两个条件：
① 与围墙相邻的边长：$x＞0$；
② 与围墙平行的边长：$100-2x＞0$，解得$x＜50$。
综上可得自变量x的取值范围是$0＜x＜50$。
【答案】
$S=x(100-2x)$；$0＜x＜50$
【知识点】
二次函数实际应用；自变量取值范围确定；矩形面积计算
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数应用题，解题的核心是先明确篱笆所围的边数，正确表示出矩形各边的长度，同时注意实际问题中边长为正的隐含条件，避免忽略取值范围的限制。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确围矩形时仅需用篱笆围3条边：2条与围墙相邻的边，1条与围墙平行的边。第一步先根据篱笆总长度表示出与围墙平行的边的长度，第二步利用矩形面积公式写出面积的函数解析式，第三步结合边长为正的实际隐含条件，求出自变量x的取值范围即可。
【解析】
1. 表示矩形各边长度：
已知与围墙相邻的篱笆长度为x m，有2条该类边，篱笆总长度为100 m，因此与围墙平行的边的长度为$(100-2x)$m。
2. 推导面积函数解析式：
矩形面积=相邻两边长度的乘积，因此$S=x×(100-2x)=x(100-2x)$。
3. 求自变量取值范围：
边长为正数，因此满足两个条件：
① 与围墙相邻的边长：$x＞0$；
② 与围墙平行的边长：$100-2x＞0$，解得$x＜50$。
综上可得自变量x的取值范围是$0＜x＜50$。
【答案】
$S=x(100-2x)$；$0＜x＜50$
【知识点】
二次函数实际应用；自变量取值范围确定；矩形面积计算
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数应用题，解题的核心是先明确篱笆所围的边数，正确表示出矩形各边的长度，同时注意实际问题中边长为正的隐含条件，避免忽略取值范围的限制。
【难度系数】
0.8
7.已知正方体的棱长为$x$ cm，它的表面积为$S$ cm²，体积为$V$ cm³.
(1)分别写出$S$与$x$，$V$与$x$之间的函数解析式；
(2)这两个函数中，哪一个是关于$x$的二次函数？
(1)分别写出$S$与$x$，$V$与$x$之间的函数解析式；
(2)这两个函数中，哪一个是关于$x$的二次函数？
答案
解:(1)由题意,得 $S=6x^2$,$V=x^3$. (2)$S=6x^2$ 是关于 $x$ 的二次函数.
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：1. 处理第(1)问：先回忆正方体表面积、体积的计算公式，正方体有6个完全相同的正方形面，单个面的面积为棱长的平方，因此表面积为6倍的单个面面积；正方体体积为棱长的三次方，代入棱长x即可得到两个函数解析式。2. 处理第(2)问：先明确二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数为二次函数，其核心特征是自变量的最高次数为2，且是整式函数。将两个解析式分别和定义对比，即可判断出哪个是二次函数。
【解析】
(1) 正方体的6个面是全等的正方形，单个面的面积为$x · x = x^2$（$\mathrm{cm}^2$），因此表面积$S = 6 × x^2 = 6x^2$，其中棱长$x＞0$；
正方体的体积为棱长×棱长×棱长，因此体积$V = x · x · x = x^3$，其中棱长$x＞0$。
(2) 根据二次函数的定义：自变量最高次数为2、且二次项系数不为0的整式函数为二次函数。
$S=6x^2$中自变量$x$的最高次数为2，二次项系数为6≠0，符合二次函数的定义；$V=x^3$中自变量$x$的最高次数为3，属于三次函数，不符合二次函数定义。
因此$S=6x^2$是关于$x$的二次函数。
【答案】
(1) $S=6x^2$，$V=x^3$；(2) $S=6x^2$是关于$x$的二次函数。
【知识点】
1. 正方体表面积与体积公式
2. 二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，既考察了立体几何的基础公式，又考察了二次函数的判定特征，熟练掌握相关基础概念和公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解决本题可按以下思路思考：1. 处理第(1)问：先回忆正方体表面积、体积的计算公式，正方体有6个完全相同的正方形面，单个面的面积为棱长的平方，因此表面积为6倍的单个面面积；正方体体积为棱长的三次方，代入棱长x即可得到两个函数解析式。2. 处理第(2)问：先明确二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数为二次函数，其核心特征是自变量的最高次数为2，且是整式函数。将两个解析式分别和定义对比，即可判断出哪个是二次函数。
【解析】
(1) 正方体的6个面是全等的正方形，单个面的面积为$x · x = x^2$（$\mathrm{cm}^2$），因此表面积$S = 6 × x^2 = 6x^2$，其中棱长$x＞0$；
正方体的体积为棱长×棱长×棱长，因此体积$V = x · x · x = x^3$，其中棱长$x＞0$。
(2) 根据二次函数的定义：自变量最高次数为2、且二次项系数不为0的整式函数为二次函数。
$S=6x^2$中自变量$x$的最高次数为2，二次项系数为6≠0，符合二次函数的定义；$V=x^3$中自变量$x$的最高次数为3，属于三次函数，不符合二次函数定义。
因此$S=6x^2$是关于$x$的二次函数。
【答案】
(1) $S=6x^2$，$V=x^3$；(2) $S=6x^2$是关于$x$的二次函数。
【知识点】
1. 正方体表面积与体积公式
2. 二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，既考察了立体几何的基础公式，又考察了二次函数的判定特征，熟练掌握相关基础概念和公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
8. 写出等边三角形的面积S与其边长a之间的函数解析式，并分别计算当$a=1,\sqrt{3},2$时三角形的面积。
答案
解:由题意,得 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$. 当 $a=1$ 时,$S=\frac{\sqrt{3}}{4}$;当 $a=\sqrt{3}$时,$S=\frac{3\sqrt{3}}{4}$;当 $a=2$ 时,$S=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要推导等边三角形面积S与边长a的函数解析式，首先利用等边三角形三线合一的性质，作等边三角形的高，可将其分为两个全等的直角三角形，借助勾股定理求出高的长度，再结合三角形面积公式即可得到函数关系，最后将a=1、√3、2分别代入解析式计算对应面积即可。
【解析】
解：作等边三角形任意一条边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，高将底边平分为两段，每段长度为$\frac{a}{2}$。
由勾股定理可得，等边三角形的高$h=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入底为a，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，可得：
$S=\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a＞0$）。
分别代入a的值计算：
当$a=1$时，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$；
当$a=\sqrt{3}$时，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3})^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
当$a=2$时，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$。
【答案】
函数解析式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$；当$a=1$时$S=\frac{\sqrt{3}}{4}$，当$a=\sqrt{3}$时$S=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，当$a=2$时$S=\sqrt{3}$。
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；二次函数求值
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合几何图形性质推导函数解析式，既考查了等边三角形、勾股定理等几何知识点的应用，也考查了二次函数代入求值的运算能力，计算时注意遵循二次根式的运算规则，避免失误。
【难度系数】
0.8
要推导等边三角形面积S与边长a的函数解析式，首先利用等边三角形三线合一的性质，作等边三角形的高，可将其分为两个全等的直角三角形，借助勾股定理求出高的长度，再结合三角形面积公式即可得到函数关系，最后将a=1、√3、2分别代入解析式计算对应面积即可。
【解析】
解：作等边三角形任意一条边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，高将底边平分为两段，每段长度为$\frac{a}{2}$。
由勾股定理可得，等边三角形的高$h=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入底为a，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，可得：
$S=\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a＞0$）。
分别代入a的值计算：
当$a=1$时，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$；
当$a=\sqrt{3}$时，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3})^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
当$a=2$时，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$。
【答案】
函数解析式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$；当$a=1$时$S=\frac{\sqrt{3}}{4}$，当$a=\sqrt{3}$时$S=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，当$a=2$时$S=\sqrt{3}$。
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；二次函数求值
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合几何图形性质推导函数解析式，既考查了等边三角形、勾股定理等几何知识点的应用，也考查了二次函数代入求值的运算能力，计算时注意遵循二次根式的运算规则，避免失误。
【难度系数】
0.8
