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11.(黑龙江中考)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为 （
A.$8000(1+2x)=12000$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
B
）A.$8000(1+2x)=12000$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
答案
11.B
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先确定题型为增长率问题，明确增长的次数：从1月到3月共经过2次增长（1月到2月1次，2月到3月1次）；再回忆增长率核心公式：若初始量为a，平均每期增长率为x，经过n期后的最终量为$a(1+x)^n$；最后对应题干数据代入公式，同时排除错误选项：A误将两次总增长率当成2x，忽略第二次增长的基数是2月销量；C是1-3月总销量的列式，题干仅涉及3月单月销量；D无逻辑依据，均不符合要求。
【解析】
解：已知一月份销量为8000辆，月平均增长率为x：
1. 二月份销量为一月份销量增长一次后的量，即$8000(1+x)$辆；
2. 三月份销量为二月份销量再增长一次后的量，即$8000(1+x) × (1+x) = 8000(1+x)^2$辆；
3. 题干给出三月份销量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，解题核心是找准初始量、增长次数和最终量的对应关系，要注意区分“单期最终量”和“多期累计量”的差异，避免误选累计求和的选项。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先确定题型为增长率问题，明确增长的次数：从1月到3月共经过2次增长（1月到2月1次，2月到3月1次）；再回忆增长率核心公式：若初始量为a，平均每期增长率为x，经过n期后的最终量为$a(1+x)^n$；最后对应题干数据代入公式，同时排除错误选项：A误将两次总增长率当成2x，忽略第二次增长的基数是2月销量；C是1-3月总销量的列式，题干仅涉及3月单月销量；D无逻辑依据，均不符合要求。
【解析】
解：已知一月份销量为8000辆，月平均增长率为x：
1. 二月份销量为一月份销量增长一次后的量，即$8000(1+x)$辆；
2. 三月份销量为二月份销量再增长一次后的量，即$8000(1+x) × (1+x) = 8000(1+x)^2$辆；
3. 题干给出三月份销量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，解题核心是找准初始量、增长次数和最终量的对应关系，要注意区分“单期最终量”和“多期累计量”的差异，避免误选累计求和的选项。
【难度系数】
0.8
12. 小明在与Deepseek对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是
2
。答案
12.2
解析
【分析】
遇到这类求未知数字的题目，我们可以用方程思想求解：第一步先把所求的数设为未知数x；第二步将题目中文字描述的运算关系转化为含x的等式，也就是列方程；第三步解出方程的根，再验证结果是否符合题意即可得到答案。
【解析】
设这个数为$ x $，根据题意可列方程：
$ x^2 - 3x + 4 = x $
移项合并同类项得：
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
利用完全平方公式因式分解得：
$ (x - 2)^2 = 0 $
解得：$ x_1 = x_2 = 2 $
验证：将$ x=2 $代入原式，$ 2^2 - 3×2 +4 = 4-6+4=2 $，和原数相等，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心是准确把文字描述的数量关系转化为数学方程，求解过程难度较低，掌握一元二次方程的基本解法就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
遇到这类求未知数字的题目，我们可以用方程思想求解：第一步先把所求的数设为未知数x；第二步将题目中文字描述的运算关系转化为含x的等式，也就是列方程；第三步解出方程的根，再验证结果是否符合题意即可得到答案。
【解析】
设这个数为$ x $，根据题意可列方程：
$ x^2 - 3x + 4 = x $
移项合并同类项得：
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
利用完全平方公式因式分解得：
$ (x - 2)^2 = 0 $
解得：$ x_1 = x_2 = 2 $
验证：将$ x=2 $代入原式，$ 2^2 - 3×2 +4 = 4-6+4=2 $，和原数相等，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心是准确把文字描述的数量关系转化为数学方程，求解过程难度较低，掌握一元二次方程的基本解法就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
13.综合与实践
项目主题:劳动基地扩建方案.
项目背景:学校计划扩建某劳动基地,综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习.
信息获取:
信息1,如图,原劳动基地为矩形,AB的长为25 m,BC的长为45 m;
信息2,如图,扩建后的新劳动基地仍为矩形,BE的最大长度为32 m,BG的最大长度为58 m.
问题解决:
(1)若新劳动基地的面积为1 500 m²,且AE=CG,求BG和BE的长;
(2)当CG=3AE时,新劳动基地的面积可以为1 800 m²吗?请说明理由.
项目主题:劳动基地扩建方案.
项目背景:学校计划扩建某劳动基地,综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习.
信息获取:
信息1,如图,原劳动基地为矩形,AB的长为25 m,BC的长为45 m;
信息2,如图,扩建后的新劳动基地仍为矩形,BE的最大长度为32 m,BG的最大长度为58 m.
问题解决:
(1)若新劳动基地的面积为1 500 m²,且AE=CG,求BG和BE的长;
(2)当CG=3AE时,新劳动基地的面积可以为1 800 m²吗?请说明理由.
答案
13.解:(1)设$AE=CG=x$ m,根据题意,得$(25+x)(45+x)=1500$,解得$x_1=5$,$x_2=-75$(不合题意,舍去). $\therefore 25+x=25+5=30$,$45+x=45+5=50$. 答:$BG$的长为50 m,$BE$的长为30 m.
(2)不可以,理由如下:设$AE=a$ m,则$CG=3a$ m,根据题意,得$(25+a)(45+3a)=1800$,解得$a_1=5$,$a_2=-45$(不合题意,舍去). 当$a=5$时,$45+3a=60＞58$,不合题意,舍去. $\therefore$当$CG=3AE$时,新劳动基地的面积不可以为1 800 m².
(2)不可以,理由如下:设$AE=a$ m,则$CG=3a$ m,根据题意,得$(25+a)(45+3a)=1800$,解得$a_1=5$,$a_2=-45$(不合题意,舍去). 当$a=5$时,$45+3a=60＞58$,不合题意,舍去. $\therefore$当$CG=3AE$时,新劳动基地的面积不可以为1 800 m².
解析
【分析】
（1）第一问已知AE=CG，可设两者长度均为x m，先用含x的代数式表示扩建后新矩形的两条邻边BE、BG的长度，再根据矩形面积公式结合新基地面积列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，同时验证结果是否符合BE、BG的最大长度限制，即可得到所求边长。
（2）第二问设AE的长度为a m，根据CG=3AE用含a的代数式表示CG，进而表示出BE、BG的长度，结合面积为1800 m²列方程求解，得到正根后验证此时BG的长度是否超出题目给出的最大长度，若超出则说明面积无法达到1800 m²。
【解析】
(1) 设$AE=CG=x$ m，根据题意，扩建后新矩形的邻边长度分别为$BE=(25+x)$ m，$BG=(45+x)$ m，由矩形面积公式可得：
$(25+x)(45+x)=1500$
整理求解得$x_1=5$，$x_2=-75$（长度为非负数，不合题意，舍去）。
因此$BE=25+5=30$（m），$BG=45+5=50$（m），且$30＜32$，$50＜58$，符合题目给出的长度限制。
(2) 不可以，理由如下：
设$AE=a$ m，则$CG=3a$ m，此时$BE=(25+a)$ m，$BG=(45+3a)$ m，若新基地面积为1800 m²，可列方程：
$(25+a)(45+3a)=1800$
整理求解得$a_1=5$，$a_2=-45$（不合题意，舍去）。
当$a=5$时，$BG=45+3×5=60$ m，而题目中BG的最大长度为58 m，$60＞58$，不符合实际条件，故该解舍去。
因此当$CG=3AE$时，新劳动基地的面积不可以为1800 m²。
【答案】
(1) BG的长为50 m，BE的长为30 m；
(2) 不可以。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题结合实际生活场景考查方程思想的应用，解题时要注意除了舍去不符合意义的负根外，还要结合题目给出的限制条件对解进行二次验证，避免忽略实际约束出错。
【难度系数】
0.6
（1）第一问已知AE=CG，可设两者长度均为x m，先用含x的代数式表示扩建后新矩形的两条邻边BE、BG的长度，再根据矩形面积公式结合新基地面积列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，同时验证结果是否符合BE、BG的最大长度限制，即可得到所求边长。
（2）第二问设AE的长度为a m，根据CG=3AE用含a的代数式表示CG，进而表示出BE、BG的长度，结合面积为1800 m²列方程求解，得到正根后验证此时BG的长度是否超出题目给出的最大长度，若超出则说明面积无法达到1800 m²。
【解析】
(1) 设$AE=CG=x$ m，根据题意，扩建后新矩形的邻边长度分别为$BE=(25+x)$ m，$BG=(45+x)$ m，由矩形面积公式可得：
$(25+x)(45+x)=1500$
整理求解得$x_1=5$，$x_2=-75$（长度为非负数，不合题意，舍去）。
因此$BE=25+5=30$（m），$BG=45+5=50$（m），且$30＜32$，$50＜58$，符合题目给出的长度限制。
(2) 不可以，理由如下：
设$AE=a$ m，则$CG=3a$ m，此时$BE=(25+a)$ m，$BG=(45+3a)$ m，若新基地面积为1800 m²，可列方程：
$(25+a)(45+3a)=1800$
整理求解得$a_1=5$，$a_2=-45$（不合题意，舍去）。
当$a=5$时，$BG=45+3×5=60$ m，而题目中BG的最大长度为58 m，$60＞58$，不符合实际条件，故该解舍去。
因此当$CG=3AE$时，新劳动基地的面积不可以为1800 m²。
【答案】
(1) BG的长为50 m，BE的长为30 m；
(2) 不可以。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题结合实际生活场景考查方程思想的应用，解题时要注意除了舍去不符合意义的负根外，还要结合题目给出的限制条件对解进行二次验证，避免忽略实际约束出错。
【难度系数】
0.6
14.(洛阳汝阳县期末)你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗?
以$x^2 - 3x - 4 = 0$为例,大致过程如下:
第一步:将原方程变形为$x^2 - 3x = 4$,即$x(x - 3) = 4$;
第二步:构造一个长为$x$,宽为$(x - 3)$的长方形,长比宽大3,且面积为4,如图1所示;
第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,如图2所示.小正方形的边长为
第四步:计算大正方形面积,用含$x$的代数式表示为
第五步:用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,列方程得$(2x - 3)^2 = 16 + 9$,因为$x$为边长,所以$x ＞ 0$,可求得方程的正解为
(1)将横线上的内容补充完整;
(2)请利用上述的思考过程,设计求方程$2x^2 - 4x - 6 = 0$正解的过程;
(3)仿照上述的思考过程,请你写出求方程$2x^2 - 4x - 6 = 0$的负解过程.
以$x^2 - 3x - 4 = 0$为例,大致过程如下:
第一步:将原方程变形为$x^2 - 3x = 4$,即$x(x - 3) = 4$;
第二步:构造一个长为$x$,宽为$(x - 3)$的长方形,长比宽大3,且面积为4,如图1所示;
第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,如图2所示.小正方形的边长为
3
;第四步:计算大正方形面积,用含$x$的代数式表示为
$(2x-3)^2$
;第五步:用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,列方程得$(2x - 3)^2 = 16 + 9$,因为$x$为边长,所以$x ＞ 0$,可求得方程的正解为
$x=4$
.(1)将横线上的内容补充完整;
(2)请利用上述的思考过程,设计求方程$2x^2 - 4x - 6 = 0$正解的过程;
(3)仿照上述的思考过程,请你写出求方程$2x^2 - 4x - 6 = 0$的负解过程.
答案
14.解:(1)3 $(2x-3)^2$ $x=4$
(2)由$2x^2-4x-6=0$,得$2x^2-4x=6$,即$x^2-2x=3$,即$x(x-2)=3$,构造长方形:长为$x$,宽为$(x-2)$,长比宽大2,面积为3,构造大正方形:四个长方形围成一个大正方形,中间小正方形边长为2,大正方形的边长为$x+(x-2)=2x-2$,面积为$(2x-2)^2$,列方程:$(2x-2)^2=3×4+2^2$,整理,得$2x-2=4$,解得$x=3$.
(3)由$2x^2-4x-6=0$,得$x^2-2x=3$. 令$x=-y(y＞0)$,得$y^2+2y=3$,即$y(y+2)=3$. 构造长方形:长为$(y+2)$,宽为$y$,长比宽大2,面积为3,构造大正方形:四个长方形围成一个大正方形,中间小正方形边长为2,大正方形边长为$y+(y+2)=2y+2$,面积为$(2y+2)^2$,列方程:$(2y+2)^2=3×4+2^2=16$,整理,得$2y+2=4$,解得$y=1$,$\therefore x=-y=-1$.
(2)由$2x^2-4x-6=0$,得$2x^2-4x=6$,即$x^2-2x=3$,即$x(x-2)=3$,构造长方形:长为$x$,宽为$(x-2)$,长比宽大2,面积为3,构造大正方形:四个长方形围成一个大正方形,中间小正方形边长为2,大正方形的边长为$x+(x-2)=2x-2$,面积为$(2x-2)^2$,列方程:$(2x-2)^2=3×4+2^2$,整理,得$2x-2=4$,解得$x=3$.
(3)由$2x^2-4x-6=0$,得$x^2-2x=3$. 令$x=-y(y＞0)$,得$y^2+2y=3$,即$y(y+2)=3$. 构造长方形:长为$(y+2)$,宽为$y$,长比宽大2,面积为3,构造大正方形:四个长方形围成一个大正方形,中间小正方形边长为2,大正方形边长为$y+(y+2)=2y+2$,面积为$(2y+2)^2$,列方程:$(2y+2)^2=3×4+2^2=16$,整理,得$2y+2=4$,解得$y=1$,$\therefore x=-y=-1$.
解析
【分析】
本题采用数形结合的方法求解一元二次方程，解题思路如下：①对于(1)问，观察图2的拼接方式，小正方形的边长等于长方形的长与宽的差，大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，据此计算对应量，再结合面积关系解方程即可得到正解；②对于(2)问，先将方程变形为“x(x-a)=b”的形式，仿照(1)的过程构造面积为b、长为x宽为(x-a)的长方形，再用四个长方形拼接大正方形，利用面积关系列方程求解正解；③对于(3)问，求负解时先通过换元，将负根转化为正参数的问题，再仿照上述几何方法求解参数，最后回代得到原方程的负解。
【解析】
(1) 长方形的长为$x$，宽为$x-3$，因此小正方形的边长 = 长 - 宽 = $x-(x-3)=3$；
大正方形的边长 = 长 + 宽 = $x+(x-3)=2x-3$，因此大正方形面积为$(2x-3)^2$；
列方程得$(2x-3)^2=16+9=25$，因为$x＞0$，舍去负根，得$2x-3=5$，解得$x=4$。
(2) 求解方程$2x^2 - 4x - 6 = 0$的正解：
第一步：化简原方程，移项得$2x^2-4x=6$，两边除以2得$x^2-2x=3$，即$x(x-2)=3$；
第二步：构造长为$x$，宽为$(x-2)$的长方形，其长比宽大2，面积为3；
第三步：用四个这样的长方形围成大正方形，中间小正方形的边长为长与宽的差，即2，大正方形的边长为$x+(x-2)=2x-2$；
第四步：根据大正方形面积=4个长方形面积+小正方形面积，列方程：$(2x-2)^2=3×4 + 2^2=16$，
因为$x$为边长大于0，舍去负根，得$2x-2=4$，解得$x=3$。
(3) 求解方程$2x^2 - 4x - 6 = 0$的负解：
第一步：化简原方程得$x^2-2x=3$，令$x=-y$（$y＞0$），代入方程得$y^2+2y=3$，即$y(y+2)=3$；
第二步：构造长为$(y+2)$，宽为$y$的长方形，其长比宽大2，面积为3；
第三步：用四个这样的长方形围成大正方形，中间小正方形的边长为2，大正方形的边长为$y+(y+2)=2y+2$；
第四步：根据面积关系列方程：$(2y+2)^2=3×4 + 2^2=16$，
因为$y＞0$，舍去负根，得$2y+2=4$，解得$y=1$，因此$x=-y=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{(2x-3)^2}$；$\boxed{x=4}$
(2) 方程的正解为$\boxed{x=3}$，过程见解析
(3) 方程的负解为$\boxed{x=-1}$，过程见解析
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 数形结合思想
3. 换元法
【点评】
本题将代数的一元二次方程求解与几何图形面积拼接相结合，把抽象的方程转化为直观的面积问题，降低了求解难度，同时考查了方程变形、合理取舍根的能力，有助于培养数形结合的数学思维。
【难度系数】
0.7
本题采用数形结合的方法求解一元二次方程，解题思路如下：①对于(1)问，观察图2的拼接方式，小正方形的边长等于长方形的长与宽的差，大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，据此计算对应量，再结合面积关系解方程即可得到正解；②对于(2)问，先将方程变形为“x(x-a)=b”的形式，仿照(1)的过程构造面积为b、长为x宽为(x-a)的长方形，再用四个长方形拼接大正方形，利用面积关系列方程求解正解；③对于(3)问，求负解时先通过换元，将负根转化为正参数的问题，再仿照上述几何方法求解参数，最后回代得到原方程的负解。
【解析】
(1) 长方形的长为$x$，宽为$x-3$，因此小正方形的边长 = 长 - 宽 = $x-(x-3)=3$；
大正方形的边长 = 长 + 宽 = $x+(x-3)=2x-3$，因此大正方形面积为$(2x-3)^2$；
列方程得$(2x-3)^2=16+9=25$，因为$x＞0$，舍去负根，得$2x-3=5$，解得$x=4$。
(2) 求解方程$2x^2 - 4x - 6 = 0$的正解：
第一步：化简原方程，移项得$2x^2-4x=6$，两边除以2得$x^2-2x=3$，即$x(x-2)=3$；
第二步：构造长为$x$，宽为$(x-2)$的长方形，其长比宽大2，面积为3；
第三步：用四个这样的长方形围成大正方形，中间小正方形的边长为长与宽的差，即2，大正方形的边长为$x+(x-2)=2x-2$；
第四步：根据大正方形面积=4个长方形面积+小正方形面积，列方程：$(2x-2)^2=3×4 + 2^2=16$，
因为$x$为边长大于0，舍去负根，得$2x-2=4$，解得$x=3$。
(3) 求解方程$2x^2 - 4x - 6 = 0$的负解：
第一步：化简原方程得$x^2-2x=3$，令$x=-y$（$y＞0$），代入方程得$y^2+2y=3$，即$y(y+2)=3$；
第二步：构造长为$(y+2)$，宽为$y$的长方形，其长比宽大2，面积为3；
第三步：用四个这样的长方形围成大正方形，中间小正方形的边长为2，大正方形的边长为$y+(y+2)=2y+2$；
第四步：根据面积关系列方程：$(2y+2)^2=3×4 + 2^2=16$，
因为$y＞0$，舍去负根，得$2y+2=4$，解得$y=1$，因此$x=-y=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{(2x-3)^2}$；$\boxed{x=4}$
(2) 方程的正解为$\boxed{x=3}$，过程见解析
(3) 方程的负解为$\boxed{x=-1}$，过程见解析
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 数形结合思想
3. 换元法
【点评】
本题将代数的一元二次方程求解与几何图形面积拼接相结合，把抽象的方程转化为直观的面积问题，降低了求解难度，同时考查了方程变形、合理取舍根的能力，有助于培养数形结合的数学思维。
【难度系数】
0.7
