登录
9.若$y=(a+1)x^{|a+3|}-x+3$是关于$x$的二次函数，则$a$的值是
$-5$
。答案
$-5$
解析
【分析】
本题需根据二次函数的定义求解a的值，解题思路分两步：首先，二次函数中自变量x的最高次数为2，据此列绝对值方程求出a的可能取值；其次，二次函数的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的a值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$y=(a+1)x^{|a+3|}-x+3$是关于$x$的二次函数
∴需同时满足两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即$|a+3|=2$
解绝对值方程：
当$a+3=2$时，$a=-1$；
当$a+3=-2$时，$a=-5$。
2. 二次项系数不为0，即$a+1≠0$，解得$a≠-1$。
综上，舍去$a=-1$，得$a=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的概念，绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致多解错解，解题时需牢记二次函数定义的两个核心要求，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题需根据二次函数的定义求解a的值，解题思路分两步：首先，二次函数中自变量x的最高次数为2，据此列绝对值方程求出a的可能取值；其次，二次函数的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的a值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$y=(a+1)x^{|a+3|}-x+3$是关于$x$的二次函数
∴需同时满足两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即$|a+3|=2$
解绝对值方程：
当$a+3=2$时，$a=-1$；
当$a+3=-2$时，$a=-5$。
2. 二次项系数不为0，即$a+1≠0$，解得$a≠-1$。
综上，舍去$a=-1$，得$a=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的概念，绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致多解错解，解题时需牢记二次函数定义的两个核心要求，避免出错。
【难度系数】
0.7
10. 下列函数:①$y=2x-1$;②$y=-2x^2 -1$;③$y=-2x^2 +3x^3$;④$y=\frac{2}{x^2} -x -1$;⑤$y=ax^2 +bx +c$. 其中二次函数的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10.A
解析
【分析】
解题的核心是紧扣二次函数的定义，首先明确二次函数需满足3个条件：1.函数表达式是关于自变量的整式；2.自变量的最高次数为2；3.二次项系数不为0。接下来带着这三个条件逐一判断给出的5个函数，就能得到二次函数的个数。
【解析】
我们逐个分析每个函数：
①$y=2x-1$：自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不是二次函数；
②$y=-2x^2 -1$：表达式是整式，$x$的最高次数为2，且二次项系数$-2≠0$，符合二次函数的定义，是二次函数；
③$y=-2x^2 +3x^3$：自变量$x$的最高次数是3，属于三次函数，不是二次函数；
④$y=\frac{2}{x^2} -x -1$：表达式中$x^2$在分母位置，属于分式，不是整式，因此不是二次函数；
⑤$y=ax^2 +bx +c$：未明确说明二次项系数$a≠0$，当$a=0$时，函数不是二次函数，因此该函数不一定是二次函数。
综上，只有②是二次函数，共1个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握二次函数的判定条件，尤其要注意不要忽略“二次项系数不为0”“表达式为整式”这两个容易出错的点，避免误判第④和第⑤个函数。
【难度系数】
0.7
解题的核心是紧扣二次函数的定义，首先明确二次函数需满足3个条件：1.函数表达式是关于自变量的整式；2.自变量的最高次数为2；3.二次项系数不为0。接下来带着这三个条件逐一判断给出的5个函数，就能得到二次函数的个数。
【解析】
我们逐个分析每个函数：
①$y=2x-1$：自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不是二次函数；
②$y=-2x^2 -1$：表达式是整式，$x$的最高次数为2，且二次项系数$-2≠0$，符合二次函数的定义，是二次函数；
③$y=-2x^2 +3x^3$：自变量$x$的最高次数是3，属于三次函数，不是二次函数；
④$y=\frac{2}{x^2} -x -1$：表达式中$x^2$在分母位置，属于分式，不是整式，因此不是二次函数；
⑤$y=ax^2 +bx +c$：未明确说明二次项系数$a≠0$，当$a=0$时，函数不是二次函数，因此该函数不一定是二次函数。
综上，只有②是二次函数，共1个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握二次函数的判定条件，尤其要注意不要忽略“二次项系数不为0”“表达式为整式”这两个容易出错的点，避免误判第④和第⑤个函数。
【难度系数】
0.7
11.长为20 cm，宽为10 cm的矩形，四个角上分别剪去边长为x cm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为$y\ \mathrm{cm}^2$的无盖的长方体盒子，则$y$与$x$之间的函数解析式为 （
A.$y=(10-x)(20-x)(0＜x＜5)$
B.$y=200-4x^2(0＜x＜5)$
C.$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$
D.$y=200+4x^2(0＜x＜5)$
C
）A.$y=(10-x)(20-x)(0＜x＜5)$
B.$y=200-4x^2(0＜x＜5)$
C.$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$
D.$y=200+4x^2(0＜x＜5)$
答案
11.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要明确折成无盖长方体盒子后底面的长和宽的表达式，再结合矩形面积公式列出函数解析式，最后根据实际意义确定自变量x的取值范围即可。思考步骤：①四个角各剪去边长为x的正方形，折起后原来矩形的长和宽都会减少2x（两边各减去1个x）；②底面积=底面长×底面宽；③x必须为正数，且底面的边长必须大于0，据此确定x的取值范围，再匹配选项。
【解析】
步骤1：确定无盖长方体盒子底面的长和宽
原来矩形的长为20cm，宽为10cm，四个角各剪去边长为x cm的小正方形后，折成的长方体底面的长为$(20-2x)\mathrm{cm}$，底面的宽为$(10-2x)\mathrm{cm}$。
步骤2：列底面积的函数解析式
矩形面积=长×宽，因此底面积$y=(20-2x)(10-2x)$。
步骤3：确定自变量x的取值范围
根据实际意义，剪去的小正方形边长$x＞0$，且底面的宽必须大于0，即$10-2x＞0$，解得$x＜5$，因此x的取值范围是$0＜x＜5$。
综上，函数解析式为$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列二次函数解析式；自变量取值范围确定；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确找到折成无盖长方体后底面长、宽的表达式，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们首先需要明确折成无盖长方体盒子后底面的长和宽的表达式，再结合矩形面积公式列出函数解析式，最后根据实际意义确定自变量x的取值范围即可。思考步骤：①四个角各剪去边长为x的正方形，折起后原来矩形的长和宽都会减少2x（两边各减去1个x）；②底面积=底面长×底面宽；③x必须为正数，且底面的边长必须大于0，据此确定x的取值范围，再匹配选项。
【解析】
步骤1：确定无盖长方体盒子底面的长和宽
原来矩形的长为20cm，宽为10cm，四个角各剪去边长为x cm的小正方形后，折成的长方体底面的长为$(20-2x)\mathrm{cm}$，底面的宽为$(10-2x)\mathrm{cm}$。
步骤2：列底面积的函数解析式
矩形面积=长×宽，因此底面积$y=(20-2x)(10-2x)$。
步骤3：确定自变量x的取值范围
根据实际意义，剪去的小正方形边长$x＞0$，且底面的宽必须大于0，即$10-2x＞0$，解得$x＜5$，因此x的取值范围是$0＜x＜5$。
综上，函数解析式为$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列二次函数解析式；自变量取值范围确定；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确找到折成无盖长方体后底面长、宽的表达式，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.8
12. 小球在某个斜坡上由静止开始向下滚动，它在斜坡上滚动的路程$s$(单位:m)与时间$t$(单位:s)之间的关系是$s=0.2t^2$.
(1)当$t=2$时,小球在斜坡上滚动的路程是________m;
(2)若斜坡长5 m,则小球经过________s到达斜坡底部.
(1)当$t=2$时,小球在斜坡上滚动的路程是________m;
(2)若斜坡长5 m,则小球经过________s到达斜坡底部.
答案
(1)0.8 (2)5
解析
【分析】
本题给出了小球滚动路程s与时间t的二次函数关系，解题思路如下：（1）问已知自变量t的取值，直接代入函数表达式即可求出对应的函数值s；（2）问已知函数值s（斜坡总长度），将其代入表达式得到关于t的方程，求解后结合时间t为正数的实际意义舍去不合题意的根即可。
【解析】
(1) 将$t=2$代入$s=0.2t^2$，得：
$s=0.2× 2^2=0.2×4=0.8$，故此时小球滚动的路程为0.8m。
(2) 斜坡长5m即小球滚动的路程$s=5$，将$s=5$代入$s=0.2t^2$，得：
$5=0.2t^2$
等式两边同时除以0.2，得$t^2=25$，解得$t=5$或$t=-5$。
因为时间$t＞0$，故舍去$t=-5$，即小球经过5s到达斜坡底部。
【答案】
(1)0.8 (2)5
【知识点】
二次函数代入求值，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用，考查基本的代入计算能力，解题时需注意结合实际问题的意义，对解的合理性进行判断，避免保留不符合实际的负根。
【难度系数】
0.9
本题给出了小球滚动路程s与时间t的二次函数关系，解题思路如下：（1）问已知自变量t的取值，直接代入函数表达式即可求出对应的函数值s；（2）问已知函数值s（斜坡总长度），将其代入表达式得到关于t的方程，求解后结合时间t为正数的实际意义舍去不合题意的根即可。
【解析】
(1) 将$t=2$代入$s=0.2t^2$，得：
$s=0.2× 2^2=0.2×4=0.8$，故此时小球滚动的路程为0.8m。
(2) 斜坡长5m即小球滚动的路程$s=5$，将$s=5$代入$s=0.2t^2$，得：
$5=0.2t^2$
等式两边同时除以0.2，得$t^2=25$，解得$t=5$或$t=-5$。
因为时间$t＞0$，故舍去$t=-5$，即小球经过5s到达斜坡底部。
【答案】
(1)0.8 (2)5
【知识点】
二次函数代入求值，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用，考查基本的代入计算能力，解题时需注意结合实际问题的意义，对解的合理性进行判断，避免保留不符合实际的负根。
【难度系数】
0.9
13. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为2.5 m. 求：
(1)隧道截面的面积$S(\mathrm{m}^2)$关于上部半圆半径$r(\mathrm{m})$的函数解析式；
(2)当上部半圆半径为2 m时的截面面积.
($π$取3.14，结果精确到0.1 $\mathrm{m}^2$)
(1)隧道截面的面积$S(\mathrm{m}^2)$关于上部半圆半径$r(\mathrm{m})$的函数解析式；
(2)当上部半圆半径为2 m时的截面面积.
($π$取3.14，结果精确到0.1 $\mathrm{m}^2$)
答案
解:(1)圆的半径为 $r$ m,矩形的另一边长为 $2r$ m,根据题意,得隧道截面的面积 $S=\frac{1}{2}π r^2 +2r× 2.5=\frac{1}{2}π r^2 +5r$.
(2)当 $r=2$ m 时,截面面积 $S=\frac{1}{2}× π × 2^2 +5× 2=2π +10\approx16.3(\mathrm{m}^2)$.
(2)当 $r=2$ m 时,截面面积 $S=\frac{1}{2}× π × 2^2 +5× 2=2π +10\approx16.3(\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以拆分隧道截面图形分别计算面积：①隧道截面由上部半圆和下部矩形组成，总面积为两部分面积之和。第一问求函数解析式时，首先明确半圆半径为r，可得半圆面积为$\frac{1}{2}π r^2$；矩形的长等于半圆的直径即$2r$，宽为已知的2.5m，可算出矩形面积，两部分相加即可得到S关于r的函数解析式。第二问只需将r=2代入第一问得到的解析式，按要求取$π=3.14$计算，最后将结果精确到0.1即可。
【解析】
(1) 已知上部半圆的半径为$r$ m，则下部矩形的长为半圆的直径$2r$ m，矩形的宽为2.5 m。
半圆的面积：$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$
矩形的面积：$S_{\mathrm{矩形}}=2r×2.5=5r$
因此隧道截面的总面积$S = S_{\mathrm{半圆}} + S_{\mathrm{矩形}} = \frac{1}{2}π r^2 +5r$（$r＞0$）。
(2) 当$r=2$ m，$π$取3.14时，代入解析式得：
$S=\frac{1}{2}×3.14×2^2 +5×2$
$=\frac{1}{2}×3.14×4 +10$
$=6.28+10$
$=16.28\approx16.3(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}π r^2 +5r$（$r＞0$）
(2) $16.3\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
组合图形面积计算、二次函数解析式、代数式求值
【点评】
本题核心是将组合图形拆分为熟悉的半圆和矩形分别计算面积，再求和得到函数关系式，代入求值时注意运算准确性和近似值的保留要求即可。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以拆分隧道截面图形分别计算面积：①隧道截面由上部半圆和下部矩形组成，总面积为两部分面积之和。第一问求函数解析式时，首先明确半圆半径为r，可得半圆面积为$\frac{1}{2}π r^2$；矩形的长等于半圆的直径即$2r$，宽为已知的2.5m，可算出矩形面积，两部分相加即可得到S关于r的函数解析式。第二问只需将r=2代入第一问得到的解析式，按要求取$π=3.14$计算，最后将结果精确到0.1即可。
【解析】
(1) 已知上部半圆的半径为$r$ m，则下部矩形的长为半圆的直径$2r$ m，矩形的宽为2.5 m。
半圆的面积：$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$
矩形的面积：$S_{\mathrm{矩形}}=2r×2.5=5r$
因此隧道截面的总面积$S = S_{\mathrm{半圆}} + S_{\mathrm{矩形}} = \frac{1}{2}π r^2 +5r$（$r＞0$）。
(2) 当$r=2$ m，$π$取3.14时，代入解析式得：
$S=\frac{1}{2}×3.14×2^2 +5×2$
$=\frac{1}{2}×3.14×4 +10$
$=6.28+10$
$=16.28\approx16.3(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}π r^2 +5r$（$r＞0$）
(2) $16.3\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
组合图形面积计算、二次函数解析式、代数式求值
【点评】
本题核心是将组合图形拆分为熟悉的半圆和矩形分别计算面积，再求和得到函数关系式，代入求值时注意运算准确性和近似值的保留要求即可。
【难度系数】
0.8
14. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°,AB=12\ \mathrm{cm},BC=24\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动(不与点$A$,$B$重合),动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向$C$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度移动(不与点$B$,$C$重合).如果点$P$,$Q$分别从点$A$,$B$同时出发,设运动的时间为$x\ \mathrm{s}$,四边形$APQC$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$.
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式.
(2)求自变量$x$的取值范围.
(3)四边形$APQC$的面积能否等于$172\ \mathrm{cm}^2$?若能,求出运动的时间;若不能,请说明理由.
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式.
(2)求自变量$x$的取值范围.
(3)四边形$APQC$的面积能否等于$172\ \mathrm{cm}^2$?若能,求出运动的时间;若不能,请说明理由.
答案
解:(1)由题意,知 $AP=2x$ cm,$BQ=4x$ cm,则 $BP=AB-AP=(12-2x)(\mathrm{cm})$.$y=\frac{1}{2}BC· AB-\frac{1}{2}BQ· BP=\frac{1}{2}× 24× 12-\frac{1}{2}× 4x· (12-2x)=4x^2-24x+144$. (2)由题意,知 $0＜AP＜AB$,$0＜BQ＜BC$,即 $0＜2x＜12$,$0＜4x＜24$. 解得 $0＜x＜6$. (3)不能.理由如下:当 $y=172$ 时,$4x^2-24x+144=172$. 解得 $x_1=7$,$x_2=-1$. 又由(2)知 $0＜x＜6$,所以 $x_1=7$,$x_2=-1$ 不在自变量 $x$ 的取值范围内. 因此,四边形 $APQC$ 的面积不可能等于 $172\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 求四边形APQC的面积可采用割补法，用$△ ABC$的总面积减去$△ PBQ$的面积计算更简便。先根据动点速度和运动时间表示出AP、BQ的长度，再推导得到BP的长度，代入面积公式即可得到y与x的函数解析式。
(2) 自变量x的取值范围受动点运动限制：点P不与A、B重合，因此AP长度大于0且小于AB；点Q不与B、C重合，因此BQ长度大于0且小于BC，列不等式求解即可得到x的范围。
(3) 判断面积能否等于$172\mathrm{cm}^2$，只需将$y=172$代入函数解析式求解x，再判断解是否在x的取值范围内，在范围内则能，否则不能。
【解析】
(1) 由题意得：运动时间为$x\ \mathrm{s}$时，$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=4x\ \mathrm{cm}$，因此$BP=AB-AP=(12-2x)\ \mathrm{cm}$。
$△ ABC$的面积为：$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 24 = 144\ \mathrm{cm}^2$，
$△ PBQ$的面积为：$\frac{1}{2} × BQ × BP = \frac{1}{2} × 4x × (12-2x) = 24x-4x^2\ \mathrm{cm}^2$，
因此四边形APQC的面积：
$y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ} = 144 - (24x-4x^2) = 4x^2-24x+144$。
(2) 由于P、Q均不与端点重合，因此：
$\begin{cases}0＜2x＜12 \\0＜4x＜24 \end{cases}$
解不等式组得$0＜x＜6$，即自变量x的取值范围为$0＜x＜6$。
(3) 不能，理由如下：
将$y=172$代入$y=4x^2-24x+144$，得：
$4x^2-24x+144=172$
整理得$x^2-6x-7=0$，因式分解得$(x-7)(x+1)=0$，解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
结合(2)中$0＜x＜6$的取值范围，两个解均不在范围内，因此四边形APQC的面积不能等于$172\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $y=4x^2-24x+144$；
(2) $0＜x＜6$；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程解法，自变量取值范围
【点评】
本题是动点与二次函数结合的基础题，解题核心是用割补法将不规则四边形面积转化为规则图形的面积差，求解过程中需注意动点的运动限制，不要忽略自变量的取值范围，避免得出错误结论。
【难度系数】
0.7
(1) 求四边形APQC的面积可采用割补法，用$△ ABC$的总面积减去$△ PBQ$的面积计算更简便。先根据动点速度和运动时间表示出AP、BQ的长度，再推导得到BP的长度，代入面积公式即可得到y与x的函数解析式。
(2) 自变量x的取值范围受动点运动限制：点P不与A、B重合，因此AP长度大于0且小于AB；点Q不与B、C重合，因此BQ长度大于0且小于BC，列不等式求解即可得到x的范围。
(3) 判断面积能否等于$172\mathrm{cm}^2$，只需将$y=172$代入函数解析式求解x，再判断解是否在x的取值范围内，在范围内则能，否则不能。
【解析】
(1) 由题意得：运动时间为$x\ \mathrm{s}$时，$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=4x\ \mathrm{cm}$，因此$BP=AB-AP=(12-2x)\ \mathrm{cm}$。
$△ ABC$的面积为：$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 24 = 144\ \mathrm{cm}^2$，
$△ PBQ$的面积为：$\frac{1}{2} × BQ × BP = \frac{1}{2} × 4x × (12-2x) = 24x-4x^2\ \mathrm{cm}^2$，
因此四边形APQC的面积：
$y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ} = 144 - (24x-4x^2) = 4x^2-24x+144$。
(2) 由于P、Q均不与端点重合，因此：
$\begin{cases}0＜2x＜12 \\0＜4x＜24 \end{cases}$
解不等式组得$0＜x＜6$，即自变量x的取值范围为$0＜x＜6$。
(3) 不能，理由如下：
将$y=172$代入$y=4x^2-24x+144$，得：
$4x^2-24x+144=172$
整理得$x^2-6x-7=0$，因式分解得$(x-7)(x+1)=0$，解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
结合(2)中$0＜x＜6$的取值范围，两个解均不在范围内，因此四边形APQC的面积不能等于$172\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $y=4x^2-24x+144$；
(2) $0＜x＜6$；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程解法，自变量取值范围
【点评】
本题是动点与二次函数结合的基础题，解题核心是用割补法将不规则四边形面积转化为规则图形的面积差，求解过程中需注意动点的运动限制，不要忽略自变量的取值范围，避免得出错误结论。
【难度系数】
0.7
