1. 下列是二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的大致图象的是（）

1.D

【分析】
要判断二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象，可按三步思考：第一步，先明确二次函数的图象是抛物线，先排除非抛物线的选项；第二步，根据二次项系数a的符号判断开口方向：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下，排除开口方向错误的选项；第三步，结合$y=ax^2$的特征：顶点在原点、对称轴为y轴，且满足函数的定义（一个x对应唯一的y），最终锁定正确选项。
【解析】
1. 先判断图象类型：$y=-\frac{1}{2}x^2$是二次函数，图象为抛物线。选项B是折线，属于绝对值函数的图象，选项C中一个x值对应两个y值，不符合函数的定义，因此排除B、C；
2. 判断开口方向：二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，选项A开口向上，排除A；
3. 验证图象特征：二次函数$y=ax^2$的顶点为原点，对称轴为y轴，只有选项D符合所有特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；函数的定义
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握二次函数$y=ax^2$的图象形状、开口方向和a的对应关系，熟悉基础性质就能快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 如果抛物线 $ y=(m-3)x^2 $ 的开口向上，那么m的取值范围是 （）

A.$ m≥3 $
B.$ m＞3 $
C.$ m＜3 $
D.$ m≤3 $

2.B

【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$。同时抛物线的前提是二次项系数不为0，因此我们只需要根据开口向上的条件列出关于$m$的不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，当$a＞0$时，抛物线开口向上。
已知抛物线$y=(m-3)x^2$开口向上，因此它的二次项系数满足：
$m-3＞0$
解这个不等式，移项得：$m＞3$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 一元一次不等式的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，只要牢记相关性质，准确计算不等式就能得分，需注意若二次项系数为0时，函数就不是二次函数，不存在抛物线的说法。
【难度系数】
0.9

3. 嘉嘉用软件绘制抛物线 $y=5x^2$ 时，将“5”按成了“$-5$”，和原图象相比，发生改变的是
（）

A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.顶点坐标

3.A

【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数$y=ax^2$的各项性质与参数$a$的关系。解题思路如下：首先写出原抛物线和输入错误后的抛物线解析式，再分别对比两个抛物线的开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标这四个性质，判断哪个性质发生了变化。其中要明确：$a$的正负决定开口方向，$|a|$的大小决定开口大小，$y=ax^2$的对称轴恒为y轴，顶点恒为原点。
【解析】
解：由题意得，原抛物线解析式为$y=5x^2$，输入错误后的抛物线解析式为$y=-5x^2$。
对各选项逐一分析：
A. 开口方向：当$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下。原函数$a=5＞0$，开口向上；错误后的函数$a=-5＜0$，开口向下，故开口方向发生改变，符合题意。
B. 开口大小由$|a|$决定，$|5|=|-5|=5$，因此两条抛物线开口大小相同，不符合题意。
C. 形如$y=ax^2$的抛物线，对称轴均为y轴（直线$x=0$），因此对称轴不变，不符合题意。
D. 形如$y=ax^2$的抛物线，顶点坐标均为$(0,0)$，因此顶点坐标不变，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数开口方向判定、二次函数开口大小影响因素
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察参数$a$对二次函数$y=ax^2$图象性质的影响，牢记相关性质即可快速作答，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8

4.若二次函数$y=ax^2$的图象过点$P(-2,4)$，则该图象必过点（）

A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$

4.A

【分析】
解题有两种常见思路：思路1：函数图象上的点坐标满足函数解析式，先将已知点P的坐标代入y=ax²求出a的值，得到完整的二次函数解析式，再逐一将各选项的横坐标代入解析式，计算出对应的纵坐标，判断是否与选项给出的纵坐标一致即可；思路2：回忆二次函数y=ax²的图象性质，其图象是关于y轴对称的抛物线，因此若点(x,y)在图象上，那么它关于y轴的对称点(-x,y)一定也在图象上，直接找P点关于y轴的对称点就能快速得到答案。
【解析】
方法1：代入求值法
将点P(-2,4)代入y=ax²，得：
$4=a×(-2)^2$
解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，点$(2,4)$在函数图象上；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，点$(-2,-4)$不在函数图象上；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，点$(-4,2)$不在函数图象上；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，点$(4,-2)$不在函数图象上。
方法2：对称性法
二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称，因此图象上横坐标互为相反数的点纵坐标相同。已知点$P(-2,4)$在图象上，那么它关于y轴的对称点$(2,4)$也一定在图象上。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数y=ax²的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数$y=ax^2$的核心性质，两种解题方法都需要掌握，利用对称性解题可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9

5.(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数$y=3x^2,y=\frac{1}{3}x^2,y=-3x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象.

(2)根据(1)中所画的函数图象填空：
①抛物线$y=3x^2$的对称轴是，顶点是，当x时，抛物线上的点都在x轴的上方；
②抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$的开口向，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的方，它的顶点是抛物线上的最点；
③抛物线$y=3x^2$与抛物线的形状相同，且两抛物线关于轴对称；同样，抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$与抛物线的形状相同，也关于轴对称；
④抛物线$y=3x^2$的开口比抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$的开口(填“大”或“小”)，抛物线$y=-3x^2$的开口比抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$的开口(填“大”或“小”)，在抛物线$y=ax^2$中，当|a|相同时，抛物线开口大小；|a|越大，抛物线开口越；|a|越小，抛物线开口越.

5.解:(1)如图所示.
(2)①y轴 原点 ≠0 ②下 下 高 ③$y=-3x^2$ x $y=-\frac{1}{3}x^2$ x ④小 小 相同 小 大

【分析】
(1) 画二次函数图象采用描点法，步骤为：列表（选取对称的x值，计算对应函数值）、描点、用平滑曲线顺次连接各点即可得到四个函数的图象。
(2) 填空部分可结合二次函数$y=ax^2$的性质分析：①对于$a＞0$的抛物线，开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点，x≠0时函数值大于0；②对于$a＜0$的抛物线，开口向下，顶点是最高点，除顶点外函数值都小于0；③抛物线形状由|a|决定，|a|相同则形状相同，a互为相反数的两个抛物线关于x轴对称；④|a|越大，抛物线开口越小，|a|越小开口越大，|a|相同时开口大小相同。按照上述性质对应填空即可。
【解析】
(1) 画函数图象：
第一步：列表，取x=-2、-1、0、1、2，分别计算四个函数的对应y值：
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|----|----|----|----|----|----|
| $y=3x^2$ | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 |
| $y=\frac{1}{3}x^2$ | $\frac{4}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | 0 | $\frac{1}{3}$ | $\frac{4}{3}$ |
| $y=-3x^2$ | -12 | -3 | 0 | -3 | -12 |
| $y=-\frac{1}{3}x^2$ | $-\frac{4}{3}$ | $-\frac{1}{3}$ | 0 | $-\frac{1}{3}$ | $-\frac{4}{3}$ |
第二步：在坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接，即得到四个函数的图象。
(2) 结合图象和二次函数性质分析：
① 抛物线$y=3x^2$中$a=3＞0$，对称轴是y轴，顶点是原点，当x≠0时，y＞0，故抛物线上的点都在x轴上方；
② 抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$中$a=-\frac{1}{3}＜0$，开口向下，除顶点外y＜0，故抛物线上的点都在x轴下方，顶点是抛物线上的最高点；
③ 抛物线形状由|a|决定，$y=3x^2$与$y=-3x^2$的|a|均为3，形状相同，开口相反，两抛物线关于x轴对称；同理$y=\frac{1}{3}x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2$的|a|均为$\frac{1}{3}$，形状相同，关于x轴对称；
④ |a|越大开口越小，$|3|＞|\frac{1}{3}|$，故$y=3x^2$的开口比$y=\frac{1}{3}x^2$的开口小，$y=-3x^2$的开口比$y=-\frac{1}{3}x^2$的开口小；当|a|相同时，抛物线开口大小相同；|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大。
【答案】
(1)如图所示.
(2)①y轴；原点；≠0 ②下；下；高 ③$y=-3x^2$；x；$y=-\frac{1}{3}x^2$；x ④小；小；相同；小；大
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的图象与性质设计，通过描点画图的过程直观感知参数a对抛物线的影响，能帮助大家理解二次函数开口方向、开口大小、对称轴、顶点等基本性质，是二次函数的基础巩固题，熟练掌握这些性质是后续学习复杂二次函数的前提。
【难度系数】
0.8

6. 对于函数$y=6x^2$，下列说法正确的是（）

A.y随x的增大而增大
B.y随x的增大而减小
C.当$x＞0$时，y随x的增大而增大
D.当$x＞0$时，y随x的增大而减小

6.C

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的增减性判断，解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的符号，明确抛物线的开口方向；第二步找到函数的对称轴，二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$）；第三步结合开口方向，分对称轴左右两个区间判断增减性，再逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
函数$y=6x^2$是二次函数，其中二次项系数$a=6＞0$，因此该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）。
根据二次函数的增减性规律：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$），y随x的增大而增大。
逐一分析选项：
A、未限定x的范围，直接说y随x的增大而增大，错误；
B、未限定x的范围，直接说y随x的增大而减小，错误；
C、当$x＞0$时，y随x的增大而增大，符合性质，正确；
D、当$x＞0$时，y随x的增大而减小，不符合性质，错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数的增减性、抛物线的对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题的核心是牢记二次函数的增减性需要结合开口方向和对称轴分区间判断，不能笼统描述整个定义域内的函数变化趋势。
【难度系数】
0.8

7. 已知$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是二次函数$y=-5x^2$图象上的两点，若$x_1＜x_2＜0$，则下列不等式一定成立的是（）

A.$y_1≤ y_2$
B.$y_1≥ y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.$y_1＞y_2$

7.C

【分析】
要比较二次函数图象上两点纵坐标的大小，需先明确该二次函数的图象性质：首先根据二次项系数判断开口方向，再确定对称轴，最后结合给定的横坐标的取值范围，利用函数的增减性判断纵坐标的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-5x^2$：
1. 二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
3. 已知$x_1＜x_2＜0$，两点均在对称轴左侧，且$x_2$更大，因此对应的函数值满足$y_1＜y_2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数的增减性；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题核心是根据开口方向和对称轴判断不同区间内函数的增减性，再结合横坐标的大小关系推导纵坐标的大小，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8