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8.已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是函数$y=(m-3)x^2$的图象上的两点，且当$0＜x_1＜x_2$时，有$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围是
$m＜3$
。答案
8.$m＜3$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确本题考查二次函数$y=ax^2$的增减性与开口方向的关系。第一步，先根据给定的$0＜x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$的条件，判断出函数在$x＞0$区间的增减性：y随x的增大而减小；第二步，结合$y=ax^2$的性质：只有当二次项系数$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴（y轴）右侧$y$随$x$增大而减小，由此列出关于m的不等式；第三步解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
函数$y=(m-3)x^2$的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。
由题意，当$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，说明在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
根据二次函数$y=ax^2$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而减小，因此可得：
$m-3＜0$
解不等式得：$m＜3$
【答案】
$m＜3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，解题核心是通过自变量与函数值的大小变化关系，对应到二次函数的增减性，进而推导二次项系数的符号，熟练掌握二次函数基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确本题考查二次函数$y=ax^2$的增减性与开口方向的关系。第一步，先根据给定的$0＜x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$的条件，判断出函数在$x＞0$区间的增减性：y随x的增大而减小；第二步，结合$y=ax^2$的性质：只有当二次项系数$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴（y轴）右侧$y$随$x$增大而减小，由此列出关于m的不等式；第三步解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
函数$y=(m-3)x^2$的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。
由题意，当$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，说明在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
根据二次函数$y=ax^2$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而减小，因此可得：
$m-3＜0$
解不等式得：$m＜3$
【答案】
$m＜3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，解题核心是通过自变量与函数值的大小变化关系，对应到二次函数的增减性，进而推导二次项系数的符号，熟练掌握二次函数基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 已知抛物线 $y=ax^2(a＞0)$过$A(-2,y_1)$，$B(-1,y_2)$两点，则下列关系式一定正确的是（
A.$y_1＞y_2＞0$
B.$y_2＞y_1＞0$
C.$y_1＞0＞y_2$
D.$y_2＞0＞y_1$
A
）A.$y_1＞y_2＞0$
B.$y_2＞y_1＞0$
C.$y_1＞0＞y_2$
D.$y_2＞0＞y_1$
答案
9.A
解析
【分析】
拿到本题首先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴，在y轴左侧（$x＜0$时）y随x的增大而减小，且所有非零x对应的函数值均为正。本题中A、B两点横坐标都小于0，属于对称轴左侧的点，只需要比较两点横坐标的大小，结合增减性就能判断$y_1$、$y_2$的大小，再结合$a＞0$判断函数值正负即可得到结论。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2$且$a＞0$，因此：
1. 抛物线开口向上，对称轴为y轴，当$x＜0$时，y随x的增大而减小；
2. 对任意非零实数x，都有$x^2＞0$，因此对应的函数值$y=ax^2＞0$。
点$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标满足$-2 ＜ -1 ＜ 0$，结合$x＜0$时的增减性可得$y_1 ＞ y_2$，且$y_1＞0$、$y_2＞0$，即$y_1＞y_2＞0$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，熟练掌握$a＞0$时$y=ax^2$的开口方向、对称轴和增减性是解题的核心，只需结合点的横坐标位置就能快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴，在y轴左侧（$x＜0$时）y随x的增大而减小，且所有非零x对应的函数值均为正。本题中A、B两点横坐标都小于0，属于对称轴左侧的点，只需要比较两点横坐标的大小，结合增减性就能判断$y_1$、$y_2$的大小，再结合$a＞0$判断函数值正负即可得到结论。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2$且$a＞0$，因此：
1. 抛物线开口向上，对称轴为y轴，当$x＜0$时，y随x的增大而减小；
2. 对任意非零实数x，都有$x^2＞0$，因此对应的函数值$y=ax^2＞0$。
点$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标满足$-2 ＜ -1 ＜ 0$，结合$x＜0$时的增减性可得$y_1 ＞ y_2$，且$y_1＞0$、$y_2＞0$，即$y_1＞y_2＞0$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，熟练掌握$a＞0$时$y=ax^2$的开口方向、对称轴和增减性是解题的核心，只需结合点的横坐标位置就能快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
10. 如图，A,B为抛物线$y=x^2$上的两点，且线段$AB⊥y$轴.若$AB=6$,则点A的坐标为（
A.(3,3)
B.(3,9)
C.$(-3,3)$
D.$(-3,9)$
D
）A.(3,3)
B.(3,9)
C.$(-3,3)$
D.$(-3,9)$
答案
10.D
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=x^2$的性质：其图象是抛物线，对称轴为y轴，图象上关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数。由题意$AB⊥ y$轴，可知AB平行于x轴，即A、B两点纵坐标相同，且两点关于y轴对称。已知AB长度为6，可先求出点A到y轴的距离，结合A在y轴左侧得到A的横坐标，再代入抛物线解析式求出纵坐标，即可得到A点坐标。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），且$AB⊥ y$轴
∴ AB平行于x轴，点A和点B关于y轴对称，两点纵坐标相等，横坐标互为相反数
∵ $AB=6$
∴ 点A到y轴的距离为$6÷2=3$，又
∵ 点A在y轴左侧，
∴ 点A的横坐标为$-3$
将$x=-3$代入$y=x^2$，得$y=(-3)^2=9$
∴ 点A的坐标为$(-3,9)$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的线段性质
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，解题的突破口是利用抛物线的对称性确定A、B两点的坐标关系，结合线段长度求出横坐标后代入解析式计算即可，解题时要注意A点的位置，避免横坐标正负判断错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=x^2$的性质：其图象是抛物线，对称轴为y轴，图象上关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数。由题意$AB⊥ y$轴，可知AB平行于x轴，即A、B两点纵坐标相同，且两点关于y轴对称。已知AB长度为6，可先求出点A到y轴的距离，结合A在y轴左侧得到A的横坐标，再代入抛物线解析式求出纵坐标，即可得到A点坐标。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），且$AB⊥ y$轴
∴ AB平行于x轴，点A和点B关于y轴对称，两点纵坐标相等，横坐标互为相反数
∵ $AB=6$
∴ 点A到y轴的距离为$6÷2=3$，又
∵ 点A在y轴左侧，
∴ 点A的横坐标为$-3$
将$x=-3$代入$y=x^2$，得$y=(-3)^2=9$
∴ 点A的坐标为$(-3,9)$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的线段性质
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，解题的突破口是利用抛物线的对称性确定A、B两点的坐标关系，结合线段长度求出横坐标后代入解析式计算即可，解题时要注意A点的位置，避免横坐标正负判断错误。
【难度系数】
0.7
11. 如图,一次函数$y=ax+a$和二次函数$y=ax^2$的大致图象在同一直角坐标系中可能是 (
B
) 答案
11.B
解析
【分析】
本题为函数图象共存类题目，核心突破口是两个函数中的参数a符号一致，解题时先分a＞0和a＜0两种情况：①先根据a的符号判断二次函数$y=ax^2$的开口方向；②再根据a的符号推导一次函数$y=ax+a$的斜率、截距，确定一次函数经过的象限；最后将推导结果和选项逐一对比，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$\boldsymbol{a＞0}$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a=a(x+1)$：斜率$a＞0$（图象从左下向右上倾斜），与y轴交点为$(0,a)$（在y轴正半轴），与x轴交点为$(-1,0)$，因此一次函数过一、二、三象限。
对比选项：A中一次函数斜率为负，不符合，排除；B的图象符合该情况，暂时保留。
2. 当$\boldsymbol{a＜0}$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$：斜率$a＜0$（图象从左上向右下倾斜），与y轴交点为$(0,a)$（在y轴负半轴），与x轴交点为$(-1,0)$，因此一次函数过二、三、四象限。
对比选项：C中一次函数斜率为正，不符合，排除；D中一次函数与y轴交于正半轴，说明$a＞0$，和二次函数开口向下对应的$a＜0$矛盾，排除。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象性质，二次函数$y=ax^2$的图象性质，分类讨论
【点评】
本题是函数图象类的常考基础题型，解题的关键是抓住两个函数共有的参数符号一致的特点，通过分类讨论逐一排除错误选项，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题为函数图象共存类题目，核心突破口是两个函数中的参数a符号一致，解题时先分a＞0和a＜0两种情况：①先根据a的符号判断二次函数$y=ax^2$的开口方向；②再根据a的符号推导一次函数$y=ax+a$的斜率、截距，确定一次函数经过的象限；最后将推导结果和选项逐一对比，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$\boldsymbol{a＞0}$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a=a(x+1)$：斜率$a＞0$（图象从左下向右上倾斜），与y轴交点为$(0,a)$（在y轴正半轴），与x轴交点为$(-1,0)$，因此一次函数过一、二、三象限。
对比选项：A中一次函数斜率为负，不符合，排除；B的图象符合该情况，暂时保留。
2. 当$\boldsymbol{a＜0}$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$：斜率$a＜0$（图象从左上向右下倾斜），与y轴交点为$(0,a)$（在y轴负半轴），与x轴交点为$(-1,0)$，因此一次函数过二、三、四象限。
对比选项：C中一次函数斜率为正，不符合，排除；D中一次函数与y轴交于正半轴，说明$a＞0$，和二次函数开口向下对应的$a＜0$矛盾，排除。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象性质，二次函数$y=ax^2$的图象性质，分类讨论
【点评】
本题是函数图象类的常考基础题型，解题的关键是抓住两个函数共有的参数符号一致的特点，通过分类讨论逐一排除错误选项，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
12.【几何直观】如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①$y=ax^2$；②$y=bx^2$；③$y=cx^2$；④$y=dx^2$。比较$a,b,c,d$的大小，用“＞”连接为
$a＞b＞d＞c$
。答案
12.$a＞b＞d＞c$
解析
【分析】
要比较a、b、c、d的大小，需结合二次函数$y=ax^2$的性质分步思考：第一步先判断二次项系数的正负：抛物线开口向上时，$a＞0$，开口向下时，$a＜0$，可先将四个系数分为正数、负数两组，正数都大于负数；第二步比较同组内系数的大小：对于$y=ax^2$，$\vert a\vert$越大，抛物线的开口越窄（越陡峭），再结合正负性比较同组系数的大小即可。
【解析】
1. 判断系数正负：
抛物线①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；抛物线③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$。
2. 比较正数组$a$、$b$的大小：
抛物线①的开口比②更窄，说明$\vert a\vert＞\vert b\vert$，由于$a$、$b$均为正数，因此$a＞b＞0$。
3. 比较负数组$c$、$d$的大小：
抛物线③的开口比④更窄，说明$\vert c\vert＞\vert d\vert$，由于$c$、$d$均为负数，负数绝对值越大数值越小，因此$0＞d＞c$。
4. 综合排序：正数大于负数，因此最终大小关系为$a＞b＞d＞c$。
【答案】
$a＞b＞d＞c$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题核心考查二次项系数$a$对抛物线开口方向和开口大小的影响，牢记“开口方向定$a$正负，开口宽窄定$\vert a\vert$大小”的规律即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
要比较a、b、c、d的大小，需结合二次函数$y=ax^2$的性质分步思考：第一步先判断二次项系数的正负：抛物线开口向上时，$a＞0$，开口向下时，$a＜0$，可先将四个系数分为正数、负数两组，正数都大于负数；第二步比较同组内系数的大小：对于$y=ax^2$，$\vert a\vert$越大，抛物线的开口越窄（越陡峭），再结合正负性比较同组系数的大小即可。
【解析】
1. 判断系数正负：
抛物线①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；抛物线③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$。
2. 比较正数组$a$、$b$的大小：
抛物线①的开口比②更窄，说明$\vert a\vert＞\vert b\vert$，由于$a$、$b$均为正数，因此$a＞b＞0$。
3. 比较负数组$c$、$d$的大小：
抛物线③的开口比④更窄，说明$\vert c\vert＞\vert d\vert$，由于$c$、$d$均为负数，负数绝对值越大数值越小，因此$0＞d＞c$。
4. 综合排序：正数大于负数，因此最终大小关系为$a＞b＞d＞c$。
【答案】
$a＞b＞d＞c$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题核心考查二次项系数$a$对抛物线开口方向和开口大小的影响，牢记“开口方向定$a$正负，开口宽窄定$\vert a\vert$大小”的规律即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
13. 关于抛物线$y=-x^2$，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当$x＞10$时，$y$随$x$的增大而减小；
③当$-1＜x＜2$时，$-4＜y＜-1$；
④若$(m,p),(n,p)$是该抛物线上的两点，则$m+n=0$.
其中正确的说法有________（填序号）.
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当$x＞10$时，$y$随$x$的增大而减小；
③当$-1＜x＜2$时，$-4＜y＜-1$；
④若$(m,p),(n,p)$是该抛物线上的两点，则$m+n=0$.
其中正确的说法有________（填序号）.
答案
13.①②④
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路是先明确$y=-x^2$的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、对称性等基本性质，再逐一验证4个说法是否正确：首先根据$a$的符号判断开口和顶点，再结合对称轴判断增减性，判断区间内函数取值范围时要注意是否包含顶点处的最值，最后利用对称性判断纵坐标相同的两点的横坐标关系。
【解析】
首先回忆二次函数$y=-x^2$的基本性质：$a=-1＜0$，对称轴为$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$。
1. 验证说法①：
因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，顶点为原点$(0,0)$，故①正确。
2. 验证说法②：
抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，因此在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小。当$x＞10$时，属于$x＞0$的区间，所以$y$随$x$的增大而减小，故②正确。
3. 验证说法③：
当$-1＜x＜2$时，$x=0$在该区间内，此时$y$取得最大值$0$；当$x=2$时，$y=-4$，因此$y$的取值范围是$-4＜y≤0$，不是$-4＜y＜-1$，故③错误。
4. 验证说法④：
若$(m,p)$、$(n,p)$是抛物线上两点，说明两点纵坐标相等，关于抛物线的对称轴$x=0$对称，因此两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{m+n}{2}=0$，可得$m+n=0$，故④正确。
综上，正确的说法是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质 2. 二次函数的增减性 3. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查对$y=ax^2$核心性质的掌握，解题时要注意判断区间内函数取值范围时，需优先考虑顶点处的最值，避免忽略特殊点导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路是先明确$y=-x^2$的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、对称性等基本性质，再逐一验证4个说法是否正确：首先根据$a$的符号判断开口和顶点，再结合对称轴判断增减性，判断区间内函数取值范围时要注意是否包含顶点处的最值，最后利用对称性判断纵坐标相同的两点的横坐标关系。
【解析】
首先回忆二次函数$y=-x^2$的基本性质：$a=-1＜0$，对称轴为$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$。
1. 验证说法①：
因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，顶点为原点$(0,0)$，故①正确。
2. 验证说法②：
抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，因此在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小。当$x＞10$时，属于$x＞0$的区间，所以$y$随$x$的增大而减小，故②正确。
3. 验证说法③：
当$-1＜x＜2$时，$x=0$在该区间内，此时$y$取得最大值$0$；当$x=2$时，$y=-4$，因此$y$的取值范围是$-4＜y≤0$，不是$-4＜y＜-1$，故③错误。
4. 验证说法④：
若$(m,p)$、$(n,p)$是抛物线上两点，说明两点纵坐标相等，关于抛物线的对称轴$x=0$对称，因此两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{m+n}{2}=0$，可得$m+n=0$，故④正确。
综上，正确的说法是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质 2. 二次函数的增减性 3. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查对$y=ax^2$核心性质的掌握，解题时要注意判断区间内函数取值范围时，需优先考虑顶点处的最值，避免忽略特殊点导致判断错误。
【难度系数】
0.7
14.已知二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=mx+4$的图象相交于$A(-2,2)$和$B(n,8)$两点.
(1)求二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=mx+4$的解析式；
(2)若$O$为原点，试判断$△ AOB$的形状，并说明理由.
(1)求二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=mx+4$的解析式；
(2)若$O$为原点，试判断$△ AOB$的形状，并说明理由.
答案
14.解:(1)
∵二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(-2,2)$,
∴2=4a,解得$a=\frac{1}{2}$.
∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$.
∵一次函数$y=mx+4$的图象经过点$A(-2,2)$,
∴2=-2m+4,解得m=1.
∴一次函数的解析式为$y=x+4$.
(2)△AOB是直角三角形.理由如下:
∵点B(n,8)在一次函数$y=x+4$的图象上,
∴8=n+4,解得n=4.
∴B(4,8),$OB^2=4^2+8^2=80$.
∵$A(-2,2)$,$OA^2=2^2+2^2=8$,
∴$AB^2=[4-(-2)]^2+(8-2)^2=72$.
∴$OA^2+AB^2=OB^2$.
∴△AOB为直角三角形.
∵二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(-2,2)$,
∴2=4a,解得$a=\frac{1}{2}$.
∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$.
∵一次函数$y=mx+4$的图象经过点$A(-2,2)$,
∴2=-2m+4,解得m=1.
∴一次函数的解析式为$y=x+4$.
(2)△AOB是直角三角形.理由如下:
∵点B(n,8)在一次函数$y=x+4$的图象上,
∴8=n+4,解得n=4.
∴B(4,8),$OB^2=4^2+8^2=80$.
∵$A(-2,2)$,$OA^2=2^2+2^2=8$,
∴$AB^2=[4-(-2)]^2+(8-2)^2=72$.
∴$OA^2+AB^2=OB^2$.
∴△AOB为直角三角形.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式使用待定系数法：函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点A的坐标分别代入两个函数表达式，即可求出未知系数a和m，得到对应函数的解析式。
(2) 判断△AOB的形状首先需要确定点B的坐标：点B在一次函数图象上，将B点纵坐标代入已求出的一次函数解析式，可算出n的值得到B点坐标；再利用勾股定理分别计算OA²、OB²、AB²的数值，结合勾股定理的逆定理，若两个短边的平方和等于长边的平方，即可判定三角形为直角三角形。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(-2,2)$,
∴将$x=-2,y=2$代入得$2=4a$，解得$a=\frac{1}{2}$.
∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$.
∵一次函数$y=mx+4$的图象经过点$A(-2,2)$,
∴将$x=-2,y=2$代入得$2=-2m+4$，解得$m=1$.
∴一次函数的解析式为$y=x+4$.
(2) $△ AOB$是直角三角形，理由如下：
∵点$B(n,8)$在一次函数$y=x+4$的图象上，
∴将$y=8$代入得$8=n+4$，解得$n=4$.
∴$B$点坐标为$(4,8)$，由勾股定理可得：
$OB^2=4^2+8^2=16+64=80$，
$OA^2=(-2)^2+2^2=4+4=8$，
$AB^2=[4-(-2)]^2+(8-2)^2=6^2+6^2=36+36=72$.
∵$OA^2+AB^2=8+72=80=OB^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，$△ AOB$为直角三角形.
【答案】
(1) 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x^2}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+4}$；
(2) $\boldsymbol{△ AOB}$是直角三角形.
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于函数与几何的综合基础题，同时考查了函数解析式的求解和直角三角形的判定，解题核心是熟练掌握待定系数法的应用，以及坐标与线段长度的转换规律，计算时注意符号和运算准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式使用待定系数法：函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点A的坐标分别代入两个函数表达式，即可求出未知系数a和m，得到对应函数的解析式。
(2) 判断△AOB的形状首先需要确定点B的坐标：点B在一次函数图象上，将B点纵坐标代入已求出的一次函数解析式，可算出n的值得到B点坐标；再利用勾股定理分别计算OA²、OB²、AB²的数值，结合勾股定理的逆定理，若两个短边的平方和等于长边的平方，即可判定三角形为直角三角形。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(-2,2)$,
∴将$x=-2,y=2$代入得$2=4a$，解得$a=\frac{1}{2}$.
∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$.
∵一次函数$y=mx+4$的图象经过点$A(-2,2)$,
∴将$x=-2,y=2$代入得$2=-2m+4$，解得$m=1$.
∴一次函数的解析式为$y=x+4$.
(2) $△ AOB$是直角三角形，理由如下：
∵点$B(n,8)$在一次函数$y=x+4$的图象上，
∴将$y=8$代入得$8=n+4$，解得$n=4$.
∴$B$点坐标为$(4,8)$，由勾股定理可得：
$OB^2=4^2+8^2=16+64=80$，
$OA^2=(-2)^2+2^2=4+4=8$，
$AB^2=[4-(-2)]^2+(8-2)^2=6^2+6^2=36+36=72$.
∵$OA^2+AB^2=8+72=80=OB^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，$△ AOB$为直角三角形.
【答案】
(1) 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x^2}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+4}$；
(2) $\boldsymbol{△ AOB}$是直角三角形.
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于函数与几何的综合基础题，同时考查了函数解析式的求解和直角三角形的判定，解题核心是熟练掌握待定系数法的应用，以及坐标与线段长度的转换规律，计算时注意符号和运算准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
15.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)，(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线$y=ax^2$的图象与正方形有公共点，则实数$a$的取值范围是（
A.$\dfrac{1}{9}≤ a≤ 3$
B.$\dfrac{1}{9}≤ a≤ 1$
C.$\dfrac{1}{3}≤ a≤ 3$
D.$\dfrac{1}{3}≤ a≤ 1$
A
）A.$\dfrac{1}{9}≤ a≤ 3$
B.$\dfrac{1}{9}≤ a≤ 1$
C.$\dfrac{1}{3}≤ a≤ 3$
D.$\dfrac{1}{3}≤ a≤ 1$
答案
15.A
解析
【分析】
抛物线$y=ax^2$（$a＞0$）开口向上，在$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，且$a$越大抛物线开口越小，$a$越小开口越大。要确定抛物线与正方形有公共点时$a$的取值范围，只需找到两个临界情况：①$a$取最大值时，抛物线开口最小，刚好经过正方形左上顶点$(1,3)$；②$a$取最小值时，抛物线开口最大，刚好经过正方形右下顶点$(3,1)$，将两个点代入解析式计算即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：已知抛物线$y=ax^2$开口向上，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
当抛物线与正方形有公共点时，需考虑两个临界位置：
1. 求$a$的最大值：抛物线恰好经过正方形顶点$(1,3)$，将$x=1$，$y=3$代入$y=ax^2$，得：
$3=a×1^2$，解得$a=3$；
2. 求$a$的最小值：抛物线恰好经过正方形顶点$(3,1)$，将$x=3$，$y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a×3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$。
结合二次函数性质可知，当$\frac{1}{9}\le a\le3$时，抛物线与正方形有公共点。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质，点在函数图象上的特征，参数范围求解
【点评】
本题结合正方形的坐标特征考查二次函数的相关性质，解题的关键是明确$a$的取值与抛物线开口大小的关系，找准两个临界交点代入计算即可，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
抛物线$y=ax^2$（$a＞0$）开口向上，在$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，且$a$越大抛物线开口越小，$a$越小开口越大。要确定抛物线与正方形有公共点时$a$的取值范围，只需找到两个临界情况：①$a$取最大值时，抛物线开口最小，刚好经过正方形左上顶点$(1,3)$；②$a$取最小值时，抛物线开口最大，刚好经过正方形右下顶点$(3,1)$，将两个点代入解析式计算即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：已知抛物线$y=ax^2$开口向上，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
当抛物线与正方形有公共点时，需考虑两个临界位置：
1. 求$a$的最大值：抛物线恰好经过正方形顶点$(1,3)$，将$x=1$，$y=3$代入$y=ax^2$，得：
$3=a×1^2$，解得$a=3$；
2. 求$a$的最小值：抛物线恰好经过正方形顶点$(3,1)$，将$x=3$，$y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a×3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$。
结合二次函数性质可知，当$\frac{1}{9}\le a\le3$时，抛物线与正方形有公共点。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质，点在函数图象上的特征，参数范围求解
【点评】
本题结合正方形的坐标特征考查二次函数的相关性质，解题的关键是明确$a$的取值与抛物线开口大小的关系，找准两个临界交点代入计算即可，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
