10 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$.以点$C$为圆心、$CA$长为半径的圆与$AB$交于点$D$,则$AD$的长为 ()


A.$\dfrac{9}{5}$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$\dfrac{18}{5}$
D.$\dfrac{5}{2}$

10. C

11 如图,在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中,弦AB与CD交于点E.若$∠ DEB=75°$,AB=6,AE=1,则CD的长是()


A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$

11. C

12 如图,在以点O为圆心的两个圆中,大圆的半径是小圆半径的2倍,大圆的弦AB和小圆交于C,D两点.若$AC=CD=4$,则小圆的半径是.

12. $\frac{4}{3}\sqrt{6}$

13 如图,在$\odot O$中,弦$AB=9$,点$C$在$AB$上移动,连接$OC$.过点$C$作$CD⊥OC$交$\odot O$于点$D$,则$CD$长的最大值为.

13. $\frac{9}{2}$

14 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为E，$AE=2$，$CD=8$。
（1）求$\odot O$的半径；
（2）一题多解 连接BC，过点O作$OF⊥ BC$于点F，求OF的长。
（第14题）

14. （1）连接OD. 设$\odot O$的半径为r. $\because AB⊥CD,\therefore ∠OED=90°,DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$. 在$\mathrm{Rt}△ODE$中,$\because OE=r-2,OD=r,DE=4,\therefore (r-2)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$,即$\odot O$的半径为5
（2）解法一: 在$\mathrm{Rt}△BCE$中,$\because CE=4,BE=AB-AE=8$,
$\therefore BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$. $\because OF⊥BC$,
$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5},∠OFB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△OBF$中,
$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$
解法二(面积法):连接OC. 根据题意,得 $S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC·OF=\frac{1}{2}OB·CE=\frac{1}{2}×5×4=10$,即$BC·OF=20$. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中,由勾股定理,得 $BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+(10-2)^2}=4\sqrt{5}$.
$\therefore 4\sqrt{5}×OF=20. \therefore OF=\sqrt{5}$

15 如图,有一座拱桥的截面是圆弧形,圆心为点O,它的跨度$AB=60\ \mathrm{m}$,拱高$PD=18\ \mathrm{m}$($OP⊥ AB$).
（1）求圆弧所在圆的半径.
（2）当洪水泛滥到跨度只有$30\ \mathrm{m}$(即图中$A'B'$的位置)时,要采取紧急措施.当拱顶离水面只有$4\ \mathrm{m}$,即$PE=4\ \mathrm{m}$时,是否要采取紧急措施?

15. （1）连接OA. 设圆弧所在圆的半径为r m. 由题意,得 $AD=\frac{1}{2}AB=30\ \mathrm{m},OD=OP-PD=(r-18)\mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ADO$中,由勾股定理,得 $r^2=30^2+(r-18)^2$,解得$r=34$. $\therefore$ 圆弧所在圆的半径为34 m
（2）连接$OA'$. 由题意,得 $OE=OP-PE=34-4=30(\mathrm{m}),A'B'=2A'E$. 在$\mathrm{Rt}△A'EO$中,由勾股定理,得 $A'E=\sqrt{A'O^2-OE^2}=\sqrt{34^2-30^2}=16\ (\mathrm{m})$. $\therefore A'B'=2A'E=32\ \mathrm{m}. \because 32＞30,\therefore$ 不要采取紧急措施