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10 已知点$(m-1,y_1),(m+1,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上.若$y_1＞y_2$,则$m$的取值范围是 （
A.$m≠±1$
B.$m＞1$或$m＜-1$
C.$-1＜m＜1$
D.$-1＜m＜0$或$0＜m＜1$
B
）A.$m≠±1$
B.$m＞1$或$m＜-1$
C.$-1＜m＜1$
D.$-1＜m＜0$或$0＜m＜1$
答案
10. B
解析
【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与性质：图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。观察两个点的横坐标可知$m+1-(m-1)=2$，即$x_2=m+1＞x_1=m-1$恒成立。题目要求$y_1＞y_2$，结合性质分析：若两点在不同象限，则横坐标小的点在第三象限（$y$为负），横坐标大的点在第一象限（$y$为正），此时$y_1＜y_2$，不符合要求；因此两点必须在同一象限，即两个横坐标同号，列不等式求解即可得到$m$的范围。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知两点横坐标分别为$x_1=m-1$，$x_2=m+1$，
∴$x_2 - x_1=2＞0$，即$x_2＞x_1$恒成立。
若两点在不同象限，则$x_1＜0＜x_2$，此时$y_1＜0$，$y_2＞0$，得$y_1＜y_2$，不符合题意，舍去；
因此两点必须在同一象限，即$x_1$与$x_2$同号，
∴$(m-1)(m+1)＞0$，
分两种情况解不等式：
①当$\begin{cases}m-1＞0 \\ m+1＞0 \end{cases}$时，解得$m＞1$；
②当$\begin{cases}m-1＜0 \\ m+1＜0 \end{cases}$时，解得$m＜-1$；
综上，$m$的取值范围是$m＞1$或$m＜-1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式组
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断两点的象限位置，再结合性质列不等式求解，避免忽略象限限制导致错误。
【难度系数】
0.65
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与性质：图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。观察两个点的横坐标可知$m+1-(m-1)=2$，即$x_2=m+1＞x_1=m-1$恒成立。题目要求$y_1＞y_2$，结合性质分析：若两点在不同象限，则横坐标小的点在第三象限（$y$为负），横坐标大的点在第一象限（$y$为正），此时$y_1＜y_2$，不符合要求；因此两点必须在同一象限，即两个横坐标同号，列不等式求解即可得到$m$的范围。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知两点横坐标分别为$x_1=m-1$，$x_2=m+1$，
∴$x_2 - x_1=2＞0$，即$x_2＞x_1$恒成立。
若两点在不同象限，则$x_1＜0＜x_2$，此时$y_1＜0$，$y_2＞0$，得$y_1＜y_2$，不符合题意，舍去；
因此两点必须在同一象限，即$x_1$与$x_2$同号，
∴$(m-1)(m+1)＞0$，
分两种情况解不等式：
①当$\begin{cases}m-1＞0 \\ m+1＞0 \end{cases}$时，解得$m＞1$；
②当$\begin{cases}m-1＜0 \\ m+1＜0 \end{cases}$时，解得$m＜-1$；
综上，$m$的取值范围是$m＞1$或$m＜-1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式组
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断两点的象限位置，再结合性质列不等式求解，避免忽略象限限制导致错误。
【难度系数】
0.65
11 已知反比例函数 $ y = \frac{1 - 2m}{x} $ 的图象上有 $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $ 两点，且当 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $ 时，$ y_1 ＜ y_2 $，则 $ m $ 的取值范围是
$m＞\dfrac{1}{2}$
。答案
11. $m＞\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大；当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中给出$x_1＜x_2＜0$，说明A、B两点都在第三象限，属于同一象限，此时$y_1＜y_2$说明$y$随$x$的增大而增大，因此可以判断比例系数$1-2m＜0$，最后解这个一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
①若$k＞0$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
②若$k＜0$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$x_1＜x_2＜0$，即A、B两点均位于第三象限，属于同一象限，且此时$y_1＜y_2$，说明$y$随$x$的增大而增大，因此比例系数满足：
$1-2m＜0$
解该不等式：
移项得：$-2m ＜ -1$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$m＞\frac{1}{2}$
【答案】
$m＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先判断两个点是否在同一象限，再根据y的大小关系确定比例系数的符号，解不等式时要注意两边同时除以负数时不等号方向需要改变，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大；当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中给出$x_1＜x_2＜0$，说明A、B两点都在第三象限，属于同一象限，此时$y_1＜y_2$说明$y$随$x$的增大而增大，因此可以判断比例系数$1-2m＜0$，最后解这个一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
①若$k＞0$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
②若$k＜0$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$x_1＜x_2＜0$，即A、B两点均位于第三象限，属于同一象限，且此时$y_1＜y_2$，说明$y$随$x$的增大而增大，因此比例系数满足：
$1-2m＜0$
解该不等式：
移项得：$-2m ＜ -1$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$m＞\frac{1}{2}$
【答案】
$m＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先判断两个点是否在同一象限，再根据y的大小关系确定比例系数的符号，解不等式时要注意两边同时除以负数时不等号方向需要改变，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
12 [2025 山西]如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴、y轴交于点A,B,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点C.已知点A的坐标为$(-2,0)$,点C的坐标为$(1,6)$,点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限内的图象上,纵坐标为2.
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）连接BD,OD,求四边形ABDO的面积.
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）连接BD,OD,求四边形ABDO的面积.
答案
12. （1）$\because$ 点 $C$ 的坐标为$(1,6)$,且在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象上,$\therefore 6=\frac{k}{1}$,即 $k=6$.$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$.设直线 $AC$ 对应的函数解析式为 $y=ax+b(a≠0)$.把$A(-2,0)$,$C(1,6)$分别代入,得$\begin{cases}-2a+b=0,\\a+b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=4.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AC$对应的函数解析式为$y=2x+4$.令 $x=0$,则 $y=4$.$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(0,4)$ （2）$\because$ 点 $D$ 在反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 在第一象限内的图象上,纵坐标为2,$\therefore 2=\frac{6}{x}$,解得 $x=3$.由题意知,$OA=2$,$OB=4$,$\therefore S_{四边形ABDO}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}=\frac{1}{2}OA·OB+\frac{1}{2}OB·x_D=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×4×3=10$
解析
【分析】
（1）求反比例函数解析式，只需将图象上已知点C的坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值；求点B的坐标，点B是直线AB与y轴的交点，因此先利用待定系数法，代入A、C两点坐标求出直线AB的解析式，再令解析式中x=0，计算得到的y值就是点B的纵坐标，即可得到B点坐标。
（2）求四边形ABDO的面积，先根据D点在反比例函数图象上且纵坐标为2，代入反比例函数解析式求出D点的横坐标；再将不规则的四边形ABDO分割为$△ AOB$和$△ BOD$两个规则三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的面积。
【解析】
（1）$\because$ 点$C(1,6)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$ 将$x=1$，$y=6$代入得：$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
设直线$AB$对应的函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$A(-2,0)$、$C(1,6)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}-2a+b=0\\a+b=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2\\b=4\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+4$。
令$x=0$，得$y=2×0+4=4$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,4)$。
（2）$\because$ 点$D$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，且纵坐标为2，
$\therefore$ 将$y=2$代入$y=\frac{6}{x}$得：$2=\frac{6}{x}$，解得$x=3$。
观察图形可得$S_{四边形ABDO}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}$，其中$OA=2$，$OB=4$，$△ BOD$中OB边上的高等于D点的横坐标3，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OB× x_D=\frac{1}{2}×4×3=6$，
$\therefore S_{四边形ABDO}=4+6=10$。
【答案】
（1）反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，点B的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$；
（2）四边形ABDO的面积为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的坐标特征，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，不规则图形面积可通过割补法转化为规则图形的面积和差计算，属于函数部分的常规考法。
【难度系数】
0.7
（1）求反比例函数解析式，只需将图象上已知点C的坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值；求点B的坐标，点B是直线AB与y轴的交点，因此先利用待定系数法，代入A、C两点坐标求出直线AB的解析式，再令解析式中x=0，计算得到的y值就是点B的纵坐标，即可得到B点坐标。
（2）求四边形ABDO的面积，先根据D点在反比例函数图象上且纵坐标为2，代入反比例函数解析式求出D点的横坐标；再将不规则的四边形ABDO分割为$△ AOB$和$△ BOD$两个规则三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的面积。
【解析】
（1）$\because$ 点$C(1,6)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$ 将$x=1$，$y=6$代入得：$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
设直线$AB$对应的函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$A(-2,0)$、$C(1,6)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}-2a+b=0\\a+b=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2\\b=4\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+4$。
令$x=0$，得$y=2×0+4=4$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,4)$。
（2）$\because$ 点$D$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，且纵坐标为2，
$\therefore$ 将$y=2$代入$y=\frac{6}{x}$得：$2=\frac{6}{x}$，解得$x=3$。
观察图形可得$S_{四边形ABDO}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}$，其中$OA=2$，$OB=4$，$△ BOD$中OB边上的高等于D点的横坐标3，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OB× x_D=\frac{1}{2}×4×3=6$，
$\therefore S_{四边形ABDO}=4+6=10$。
【答案】
（1）反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，点B的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$；
（2）四边形ABDO的面积为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的坐标特征，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，不规则图形面积可通过割补法转化为规则图形的面积和差计算，属于函数部分的常规考法。
【难度系数】
0.7
13 如图, 反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$ 与一次函数 $y=k_2x+b$ 的图象交于点 $A(1,8),B(-4,m)$.
(1) 求 $k_1,k_2,b$ 的值.
(2) 求 $△ AOB$ 的面积.
(3) 若 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$ 是反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$ 图象上的两点, 且 $x_1＜x_2,y_1＜y_2$, 则点 $M,N$ 分别位于哪个象限? 请说明理由.
(1) 求 $k_1,k_2,b$ 的值.
(2) 求 $△ AOB$ 的面积.
(3) 若 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$ 是反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$ 图象上的两点, 且 $x_1＜x_2,y_1＜y_2$, 则点 $M,N$ 分别位于哪个象限? 请说明理由.
答案
13. （1）$\because$ 点 $A(1,8)$ 在反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$ 的图象上,$\therefore k_1=8$.$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{8}{x}$.$\because$ 点 $B(-4,m)$ 在反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象上,$\therefore m=-2$.$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(-4,-2)$.$\because$ 点 $A(1,8)$,$B(-4,-2)$ 在一次函数 $y=k_2x+b$ 的图象上,$\therefore \begin{cases}k_2+b=8,\\-4k_2+b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=2,\\b=6\end{cases}$ （2）由(1)知,一次函数的解析式为 $y=2x+6$,设其图象与 $y$ 轴的交点为 $C$,则易得点 $C$ 的坐标为$(0,6)$.$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ COB}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×4×6+\frac{1}{2}×1×6=15$ （3）点 $M$ 位于第三象限,点 $N$ 位于第一象限 理由:$\because k_1=8＞0$,$\therefore$ 反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象位于第一、第三象限,且在每一个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.$\because$ 当 $x_1＜x_2$ 时,$y_1＜y_2$,$\therefore$ 点 $M$,$N$ 在不同的象限.$\therefore$ 点 $M$ 位于第三象限,点 $N$ 位于第一象限.
解析
【分析】
(1) 采用待定系数法求解未知系数：先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式求出$k_1$，得到反比例函数解析式后，代入点B的横坐标求出m，得到点B的完整坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到$k_2$和$b$的值。
(2) 用割补法计算三角形面积：直接求$△ AOB$的面积缺少对应底和高，因此先找一次函数与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ COB$和$△ AOC$，两个三角形均以OC为底，高分别为点B横坐标的绝对值、点A的横坐标，分别计算面积后求和即可。
(3) 结合反比例函数的增减性判断点的位置：先根据$k_1$的正负明确反比例函数的增减规律，题中给出的$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$不符合同一象限的增减规律，说明两点不在同一象限，再结合x的大小关系即可判断两点所在象限。
【解析】
(1) $\because$ 点 $A(1,8)$ 在反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$ 的图象上，
$\therefore k_1=1×8=8$，反比例函数的解析式为 $y=\frac{8}{x}$。
$\because$ 点 $B(-4,m)$ 在反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象上，
$\therefore m=\frac{8}{-4}=-2$，即点 $B$ 的坐标为$(-4,-2)$。
$\because$ 点 $A(1,8)$、$B(-4,-2)$ 在一次函数 $y=k_2x+b$ 的图象上，
$\therefore \begin{cases}k_2+b=8\\-4k_2+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=2\\b=6\end{cases}$。
(2) 由(1)知一次函数的解析式为 $y=2x+6$，设其图象与 $y$ 轴的交点为 $C$，
令$x=0$，得$y=6$，即点 $C$ 的坐标为$(0,6)$，$OC=6$。
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ COB}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_B|+\frac{1}{2}× OC× x_A=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×6×1=15$。
(3) 点 $M$ 位于第三象限，点 $N$ 位于第一象限，理由：
$\because k_1=8＞0$，
$\therefore$ 反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
$\because$ 当 $x_1＜x_2$ 时，$y_1＜y_2$，不符合同一象限内的增减规律，
$\therefore$ 点 $M$、$N$ 在不同的象限，即$x_1＜0＜x_2$，
$\therefore$ 点 $M$ 位于第三象限，点 $N$ 位于第一象限。
【答案】
(1) $k_1=8$，$k_2=2$，$b=6$；
(2) $△ AOB$的面积为$15$；
(3) 点$M$位于第三象限，点$N$位于第一象限。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，覆盖了函数解析式求解、图形面积计算、函数性质应用三类核心考点，解题时需要灵活运用转化思想处理面积计算问题，熟练掌握反比例函数的增减性规律，注意增减性适用前提是“同一象限内”。
【难度系数】
0.7
(1) 采用待定系数法求解未知系数：先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式求出$k_1$，得到反比例函数解析式后，代入点B的横坐标求出m，得到点B的完整坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到$k_2$和$b$的值。
(2) 用割补法计算三角形面积：直接求$△ AOB$的面积缺少对应底和高，因此先找一次函数与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ COB$和$△ AOC$，两个三角形均以OC为底，高分别为点B横坐标的绝对值、点A的横坐标，分别计算面积后求和即可。
(3) 结合反比例函数的增减性判断点的位置：先根据$k_1$的正负明确反比例函数的增减规律，题中给出的$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$不符合同一象限的增减规律，说明两点不在同一象限，再结合x的大小关系即可判断两点所在象限。
【解析】
(1) $\because$ 点 $A(1,8)$ 在反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$ 的图象上，
$\therefore k_1=1×8=8$，反比例函数的解析式为 $y=\frac{8}{x}$。
$\because$ 点 $B(-4,m)$ 在反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象上，
$\therefore m=\frac{8}{-4}=-2$，即点 $B$ 的坐标为$(-4,-2)$。
$\because$ 点 $A(1,8)$、$B(-4,-2)$ 在一次函数 $y=k_2x+b$ 的图象上，
$\therefore \begin{cases}k_2+b=8\\-4k_2+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=2\\b=6\end{cases}$。
(2) 由(1)知一次函数的解析式为 $y=2x+6$，设其图象与 $y$ 轴的交点为 $C$，
令$x=0$，得$y=6$，即点 $C$ 的坐标为$(0,6)$，$OC=6$。
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ COB}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_B|+\frac{1}{2}× OC× x_A=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×6×1=15$。
(3) 点 $M$ 位于第三象限，点 $N$ 位于第一象限，理由：
$\because k_1=8＞0$，
$\therefore$ 反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
$\because$ 当 $x_1＜x_2$ 时，$y_1＜y_2$，不符合同一象限内的增减规律，
$\therefore$ 点 $M$、$N$ 在不同的象限，即$x_1＜0＜x_2$，
$\therefore$ 点 $M$ 位于第三象限，点 $N$ 位于第一象限。
【答案】
(1) $k_1=8$，$k_2=2$，$b=6$；
(2) $△ AOB$的面积为$15$；
(3) 点$M$位于第三象限，点$N$位于第一象限。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，覆盖了函数解析式求解、图形面积计算、函数性质应用三类核心考点，解题时需要灵活运用转化思想处理面积计算问题，熟练掌握反比例函数的增减性规律，注意增减性适用前提是“同一象限内”。
【难度系数】
0.7
