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1 教材变式题 已知反比例函数$y=-\frac{7}{x}$，下列说法正确的是（
A.函数图象在第一、第三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、第四象限
D.y随x的增大而增大
C
）A.函数图象在第一、第三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、第四象限
D.y随x的增大而增大
答案
1. C
解析
【分析】
解决这道题需结合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质逐一判断选项：第一步先确定解析式中$k$的正负，第二步根据$k$的正负判断图象所在象限，排除错误的象限选项；第三步分析增减性的描述是否符合要求，注意反比例函数的增减性必须限定“在每个象限内”，没有该前提的增减性描述都是错误的，由此排除错误的增减性选项，最终得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=-\frac{7}{x}$，其中比例系数$k=-7＜0$：
1. 象限判断：当$k＜0$时，反比例函数的图象位于第二、第四象限，因此A选项错误，C选项正确。
2. 增减性判断：当$k＜0$时，仅在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，B、D选项均未限定“在每个象限内”，描述不成立，因此B、D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数象限判断；反比例函数增减性
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提“在每个象限内”，从而误选D选项，掌握反比例函数性质的前提条件是解题关键。
【难度系数】
0.7
解决这道题需结合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质逐一判断选项：第一步先确定解析式中$k$的正负，第二步根据$k$的正负判断图象所在象限，排除错误的象限选项；第三步分析增减性的描述是否符合要求，注意反比例函数的增减性必须限定“在每个象限内”，没有该前提的增减性描述都是错误的，由此排除错误的增减性选项，最终得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=-\frac{7}{x}$，其中比例系数$k=-7＜0$：
1. 象限判断：当$k＜0$时，反比例函数的图象位于第二、第四象限，因此A选项错误，C选项正确。
2. 增减性判断：当$k＜0$时，仅在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，B、D选项均未限定“在每个象限内”，描述不成立，因此B、D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数象限判断；反比例函数增减性
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提“在每个象限内”，从而误选D选项，掌握反比例函数性质的前提条件是解题关键。
【难度系数】
0.7
2 若点$A(x_1,-2),B(x_2,-1),C(x_3,1)$都在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，则$x_1,x_2,x_3$的大小关系是（
A.$x_1＜x_2＜x_3$
B.$x_3＜x_1＜x_2$
C.$x_3＜x_2＜x_1$
D.$x_2＜x_1＜x_3$
D
）A.$x_1＜x_2＜x_3$
B.$x_3＜x_1＜x_2$
C.$x_3＜x_2＜x_1$
D.$x_2＜x_1＜x_3$
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路可从两个角度切入：一是代入法，将各点纵坐标代入反比例函数解析式，直接求出$x_1、x_2、x_3$的值再比较大小；二是利用反比例函数的性质判断：首先由$k=2＞0$确定函数图象分布在一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小；再根据三个点纵坐标的正负判断所属象限，第一象限的点横坐标为正，第三象限的点横坐标为负，可先确定$x_3$最大；最后比较第三象限内两个点的横坐标，结合增减性即可得到$x_1、x_2$的大小关系。
【解析】
方法一：代入计算法
将各点纵坐标分别代入$y=\frac{2}{x}$，求对应横坐标：
① 把$y=-2$代入得：$-2=\frac{2}{x_1}$，解得$x_1=-1$；
② 把$y=-1$代入得：$-1=\frac{2}{x_2}$，解得$x_2=-2$；
③ 把$y=1$代入得：$1=\frac{2}{x_3}$，解得$x_3=2$。
比较大小：$-2 ＜ -1 ＜ 2$，即$x_2 ＜ x_1 ＜ x_3$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ 点$A(x_1,-2)$、$B(x_2,-1)$的纵坐标为负，
∴ A、B在第三象限，$x_1＜0$，$x_2＜0$；
∵ 点$C(x_3,1)$的纵坐标为正，
∴ C在第一象限，$x_3＞0$，因此$x_3$最大；
又
∵ 第三象限内$y$随$x$增大而减小，且$-1 ＞ -2$，
∴ $x_2 ＜ x_1$。
综上可得：$x_2 ＜ x_1 ＜ x_3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；有理数大小比较
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，两种解题方法中，代入计算更直观，利用增减性判断效率更高，熟练掌握反比例函数的图象分布规律和增减性是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
解题思路可从两个角度切入：一是代入法，将各点纵坐标代入反比例函数解析式，直接求出$x_1、x_2、x_3$的值再比较大小；二是利用反比例函数的性质判断：首先由$k=2＞0$确定函数图象分布在一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小；再根据三个点纵坐标的正负判断所属象限，第一象限的点横坐标为正，第三象限的点横坐标为负，可先确定$x_3$最大；最后比较第三象限内两个点的横坐标，结合增减性即可得到$x_1、x_2$的大小关系。
【解析】
方法一：代入计算法
将各点纵坐标分别代入$y=\frac{2}{x}$，求对应横坐标：
① 把$y=-2$代入得：$-2=\frac{2}{x_1}$，解得$x_1=-1$；
② 把$y=-1$代入得：$-1=\frac{2}{x_2}$，解得$x_2=-2$；
③ 把$y=1$代入得：$1=\frac{2}{x_3}$，解得$x_3=2$。
比较大小：$-2 ＜ -1 ＜ 2$，即$x_2 ＜ x_1 ＜ x_3$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ 点$A(x_1,-2)$、$B(x_2,-1)$的纵坐标为负，
∴ A、B在第三象限，$x_1＜0$，$x_2＜0$；
∵ 点$C(x_3,1)$的纵坐标为正，
∴ C在第一象限，$x_3＞0$，因此$x_3$最大；
又
∵ 第三象限内$y$随$x$增大而减小，且$-1 ＞ -2$，
∴ $x_2 ＜ x_1$。
综上可得：$x_2 ＜ x_1 ＜ x_3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；有理数大小比较
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，两种解题方法中，代入计算更直观，利用增减性判断效率更高，熟练掌握反比例函数的图象分布规律和增减性是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
3 教材变式题 如果反比例函数$y=\dfrac{k+3}{x}$的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，那么k的取值范围是（
A.$k≤ -3$
B.$k≥ -3$
C.$k＞ -3$
D.$k＜ -3$
C
）A.$k≤ -3$
B.$k≥ -3$
C.$k＞ -3$
D.$k＜ -3$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$）的增减性由比例系数$m$的符号决定，当$m＞0$时，图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，图象在二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题已知函数在每个象限内$y$随$x$增大而减小，因此只需让题中反比例函数的比例系数大于0，解对应的不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m\ne0$），若图象在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小，则比例系数$m＞0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{k+3}{x}$，其比例系数为$k+3$，结合题意可得：
$k+3＞0$
解这个不等式，移项得：$k＞-3$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是准确掌握反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，审题时注意“每一个象限内”的限定条件，避免混淆增减性对应的系数符号导致出错。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$）的增减性由比例系数$m$的符号决定，当$m＞0$时，图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，图象在二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题已知函数在每个象限内$y$随$x$增大而减小，因此只需让题中反比例函数的比例系数大于0，解对应的不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m\ne0$），若图象在每一个象限内$y$随$x$的增大而减小，则比例系数$m＞0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{k+3}{x}$，其比例系数为$k+3$，结合题意可得：
$k+3＞0$
解这个不等式，移项得：$k＞-3$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是准确掌握反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，审题时注意“每一个象限内”的限定条件，避免混淆增减性对应的系数符号导致出错。
【难度系数】
0.85
4（易错题）对于函数$y=\frac{2}{x}$，当函数值$y ＞ -1$时，自变量$x$的取值范围是
$x＜-2或x＞0$
。答案
4. $x＜-2或x＞0$
易错分析：求自变量的取值范围时漏解。
易错分析：求自变量的取值范围时漏解。
解析
【分析】
本题考查与反比例函数相关的自变量取值范围求解，解题时需注意反比例函数$y=\frac{2}{x}$的自变量$x$不能为0，且$k=2＞0$，图象分布在第一、三象限，$x$的正负会影响函数值的正负，因此不能直接给不等式$\frac{2}{x}＞-1$两边乘$x$，需要分$x＞0$和$x＜0$两种情况分类讨论求解，避免漏解或不等号方向判断错误。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，反比例函数$y=\frac{2}{x}$的函数值恒为正数，即$y＞0$，显然满足$y＞-1$，因此所有$x＞0$的取值均符合要求；
2. 当$x＜0$时，反比例函数$y=\frac{2}{x}$的函数值恒为负数，此时解不等式$\frac{2}{x}＞-1$，
∵$x＜0$，不等式两边同时乘负数$x$，不等号方向改变，
∴$2 ＜ -x$，
解得$x ＜ -2$，结合前提$x＜0$，该情况的取值范围为$x ＜ -2$。
综上，自变量$x$的取值范围是$x ＜ -2$或$x ＞ 0$。
【答案】
$x＜-2或x＞0$
【知识点】
反比例函数性质、分式不等式求解、分类讨论
【点评】
本题是反比例函数的常见易错题，解题核心是结合反比例函数的图象分布特点，对自变量的正负分类讨论，避免直接对分式不等式乘未知数时忽略不等号方向变化，或者漏掉$x＞0$时所有取值都满足条件的情况，减少漏解失误。
【难度系数】
0.6
本题考查与反比例函数相关的自变量取值范围求解，解题时需注意反比例函数$y=\frac{2}{x}$的自变量$x$不能为0，且$k=2＞0$，图象分布在第一、三象限，$x$的正负会影响函数值的正负，因此不能直接给不等式$\frac{2}{x}＞-1$两边乘$x$，需要分$x＞0$和$x＜0$两种情况分类讨论求解，避免漏解或不等号方向判断错误。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，反比例函数$y=\frac{2}{x}$的函数值恒为正数，即$y＞0$，显然满足$y＞-1$，因此所有$x＞0$的取值均符合要求；
2. 当$x＜0$时，反比例函数$y=\frac{2}{x}$的函数值恒为负数，此时解不等式$\frac{2}{x}＞-1$，
∵$x＜0$，不等式两边同时乘负数$x$，不等号方向改变，
∴$2 ＜ -x$，
解得$x ＜ -2$，结合前提$x＜0$，该情况的取值范围为$x ＜ -2$。
综上，自变量$x$的取值范围是$x ＜ -2$或$x ＞ 0$。
【答案】
$x＜-2或x＞0$
【知识点】
反比例函数性质、分式不等式求解、分类讨论
【点评】
本题是反比例函数的常见易错题，解题核心是结合反比例函数的图象分布特点，对自变量的正负分类讨论，避免直接对分式不等式乘未知数时忽略不等号方向变化，或者漏掉$x＞0$时所有取值都满足条件的情况，减少漏解失误。
【难度系数】
0.6
5 数形结合思想 在函数 $y=\frac{k^2+2}{x}$（$k$为常数）的图象上有三个点$(-2,y_1),(-1,y_2),(\frac{1}{2},y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_2＜y_1＜y_3$
（用“＜”连接）。答案
5. $y_2＜y_1＜y_3$
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先判断反比例函数的比例系数符号，确定函数图象所在象限及增减性：由k²的非负性可得k²+2恒大于0，因此该反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。接下来分象限判断y值的正负：横坐标为正的点在第一象限，y值为正；横坐标为负的点在第三象限，y值为负，因此第一象限的点对应的y值最大。最后对同处第三象限的两个点，根据增减性比较对应y值的大小即可。
【解析】
解：
∵$k^2≥0$，
∴$k^2+2≥2＞0$，
∴反比例函数$y=\frac{k^2+2}{x}$的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵点$(-2,y_1)$、$(-1,y_2)$的横坐标均为负数，两点都在第三象限，
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，
又
∵$-2 ＜ -1$，根据第三象限内y随x增大而减小，可得$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$；
∵点$(\frac{1}{2},y_3)$的横坐标为正数，该点在第一象限，
∴$y_3＞0$，
综上可得$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题时要注意：不同象限内的点不能直接用增减性比较函数值大小，要先根据象限判断函数值的正负，同象限内的点再结合增减性比较大小，避免直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.7
要比较三个点的函数值大小，首先判断反比例函数的比例系数符号，确定函数图象所在象限及增减性：由k²的非负性可得k²+2恒大于0，因此该反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。接下来分象限判断y值的正负：横坐标为正的点在第一象限，y值为正；横坐标为负的点在第三象限，y值为负，因此第一象限的点对应的y值最大。最后对同处第三象限的两个点，根据增减性比较对应y值的大小即可。
【解析】
解：
∵$k^2≥0$，
∴$k^2+2≥2＞0$，
∴反比例函数$y=\frac{k^2+2}{x}$的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵点$(-2,y_1)$、$(-1,y_2)$的横坐标均为负数，两点都在第三象限，
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，
又
∵$-2 ＜ -1$，根据第三象限内y随x增大而减小，可得$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$；
∵点$(\frac{1}{2},y_3)$的横坐标为正数，该点在第一象限，
∴$y_3＞0$，
综上可得$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题时要注意：不同象限内的点不能直接用增减性比较函数值大小，要先根据象限判断函数值的正负，同象限内的点再结合增减性比较大小，避免直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.7
6 反比例函数 $y=(3m-1)x^{m^2-2}$ 的图象在每个象限内，y都随x的增大而增大，则该反比例函数的解析式为
$y=-\dfrac{4}{x}$
。答案
6. $y=-\dfrac{4}{x}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合反比例函数的定义和增减性两个核心知识点推导：第一步先根据反比例函数的形式特征，确定x的指数和系数的取值要求，求出参数m的可能值；第二步再结合“每个象限内y随x增大而增大”的增减性特征，筛选出符合条件的m值，最后代入得到反比例函数解析式。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(3m-1)x^{m^2-2}$是反比例函数
∴ 根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2-2=-1 \\3m-1≠0\end{cases}$
解方程$m^2-2=-1$，得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$，两个取值均满足$3m-1≠0$。
又
∵ 该反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大
∴ 比例系数$3m-1＜0$
当$m=1$时，$3m-1=3×1-1=2＞0$，不符合要求，舍去；
当$m=-1$时，$3m-1=3×(-1)-1=-4＜0$，符合要求。
将$3m-1=-4$代入解析式，可得该反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{4}{x}$
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.反比例函数的增减性
【点评】
本题属于反比例函数的常规基础题，解题关键是牢记反比例函数的形式特征，以及增减性和比例系数符号的对应关系，注意要先根据定义确定参数的取值范围，再结合性质筛选，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合反比例函数的定义和增减性两个核心知识点推导：第一步先根据反比例函数的形式特征，确定x的指数和系数的取值要求，求出参数m的可能值；第二步再结合“每个象限内y随x增大而增大”的增减性特征，筛选出符合条件的m值，最后代入得到反比例函数解析式。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(3m-1)x^{m^2-2}$是反比例函数
∴ 根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2-2=-1 \\3m-1≠0\end{cases}$
解方程$m^2-2=-1$，得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$，两个取值均满足$3m-1≠0$。
又
∵ 该反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大
∴ 比例系数$3m-1＜0$
当$m=1$时，$3m-1=3×1-1=2＞0$，不符合要求，舍去；
当$m=-1$时，$3m-1=3×(-1)-1=-4＜0$，符合要求。
将$3m-1=-4$代入解析式，可得该反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{4}{x}$
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.反比例函数的增减性
【点评】
本题属于反比例函数的常规基础题，解题关键是牢记反比例函数的形式特征，以及增减性和比例系数符号的对应关系，注意要先根据定义确定参数的取值范围，再结合性质筛选，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
7 已知一次函数$y=3x-2k$的图象与反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6.
（1）求两个函数的解析式；
（2）结合图象求出$3x-2k＜\frac{k-3}{x}$时，$x$的取值范围.
（1）求两个函数的解析式；
（2）结合图象求出$3x-2k＜\frac{k-3}{x}$时，$x$的取值范围.
答案
7. （1）令$y=3x-2k=6$,得$x=\frac{6+2k}{3}$,令$y=\frac{k-3}{x}=6$,得$x=\frac{k-3}{6}$,则$\frac{6+2k}{3}=\frac{k-3}{6}$,解得$k=-5$.
∴ 一次函数的解析式为$y=3x+10$,反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$ （2）令$3x+10=-\frac{8}{x}$,解得$x=-2$或$x=-\frac{4}{3}$.由图象(图象略)可知,当$x＜-2$或$-\frac{4}{3}＜x＜0$时,$3x+10＜-\frac{8}{x}$
∴ 一次函数的解析式为$y=3x+10$,反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$ （2）令$3x+10=-\frac{8}{x}$,解得$x=-2$或$x=-\frac{4}{3}$.由图象(图象略)可知,当$x＜-2$或$-\frac{4}{3}＜x＜0$时,$3x+10＜-\frac{8}{x}$
解析
【分析】
（1）已知两个函数的一个交点纵坐标为6，说明该点同时满足两个函数的解析式，因此可将y=6分别代入两个函数，得到两个用含k的代数式表示的横坐标，由于是同一个交点，两个横坐标相等，据此列方程即可求出k的值，再将k代回原解析式就能得到两个函数的解析式。
（2）求$3x-2k＜\frac{k-3}{x}$的解集，本质是求一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围。首先联立已求出的两个函数解析式，求出所有交点的横坐标，再结合两个函数的图象分布（注意反比例函数自变量x≠0，图象分布在不同象限），分区间判断函数值大小关系即可得到解集。
【解析】
（1）将交点纵坐标$y=6$分别代入两个函数解析式：
代入一次函数$y=3x-2k$，得$6=3x-2k$，解得$x=\frac{6+2k}{3}$；
代入反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$，得$6=\frac{k-3}{x}$，解得$x=\frac{k-3}{6}$。
因为是同一个交点，横坐标相等，因此列方程：
$\frac{6+2k}{3}=\frac{k-3}{6}$
去分母得$2(6+2k)=k-3$，展开得$12+4k=k-3$，移项合并同类项得$3k=-15$，解得$k=-5$。
将$k=-5$代回原函数解析式：
一次函数：$y=3x-2×(-5)=3x+10$；
反比例函数：$y=\frac{-5-3}{x}=-\frac{8}{x}$。
（2）联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=3x+10 \\ y=-\frac{8}{x} \end{cases}$
可得$3x+10=-\frac{8}{x}$，两边同乘x（x≠0）整理得$3x²+10x+8=0$，因式分解得$(3x+4)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=-\frac{4}{3}$，即两个交点的横坐标为-2和$-\frac{4}{3}$。
结合图象分析：一次函数$y=3x+10$过一、二、三象限，反比例函数$y=-\frac{8}{x}$分布在第二、四象限：
当$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；
当$-\frac{4}{3}＜x＜0$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方；
当$x＞0$时，一次函数值为正，反比例函数值为负，不满足条件。
因此不等式的解集为$x＜-2$或$-\frac{4}{3}＜x＜0$。
【答案】
（1）一次函数解析式为$y=3x+10$，反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$；
（2）$x$的取值范围是$x＜-2$或$-\frac{4}{3}＜x＜0$。
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.函数交点的性质
3.图象法解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心是利用交点的公共属性求解参数，再结合图象位置判断不等式解集，解题时需注意反比例函数自变量不能为0，分析区间时避免漏解或错判。
【难度系数】
0.65
（1）已知两个函数的一个交点纵坐标为6，说明该点同时满足两个函数的解析式，因此可将y=6分别代入两个函数，得到两个用含k的代数式表示的横坐标，由于是同一个交点，两个横坐标相等，据此列方程即可求出k的值，再将k代回原解析式就能得到两个函数的解析式。
（2）求$3x-2k＜\frac{k-3}{x}$的解集，本质是求一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围。首先联立已求出的两个函数解析式，求出所有交点的横坐标，再结合两个函数的图象分布（注意反比例函数自变量x≠0，图象分布在不同象限），分区间判断函数值大小关系即可得到解集。
【解析】
（1）将交点纵坐标$y=6$分别代入两个函数解析式：
代入一次函数$y=3x-2k$，得$6=3x-2k$，解得$x=\frac{6+2k}{3}$；
代入反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$，得$6=\frac{k-3}{x}$，解得$x=\frac{k-3}{6}$。
因为是同一个交点，横坐标相等，因此列方程：
$\frac{6+2k}{3}=\frac{k-3}{6}$
去分母得$2(6+2k)=k-3$，展开得$12+4k=k-3$，移项合并同类项得$3k=-15$，解得$k=-5$。
将$k=-5$代回原函数解析式：
一次函数：$y=3x-2×(-5)=3x+10$；
反比例函数：$y=\frac{-5-3}{x}=-\frac{8}{x}$。
（2）联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=3x+10 \\ y=-\frac{8}{x} \end{cases}$
可得$3x+10=-\frac{8}{x}$，两边同乘x（x≠0）整理得$3x²+10x+8=0$，因式分解得$(3x+4)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=-\frac{4}{3}$，即两个交点的横坐标为-2和$-\frac{4}{3}$。
结合图象分析：一次函数$y=3x+10$过一、二、三象限，反比例函数$y=-\frac{8}{x}$分布在第二、四象限：
当$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；
当$-\frac{4}{3}＜x＜0$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方；
当$x＞0$时，一次函数值为正，反比例函数值为负，不满足条件。
因此不等式的解集为$x＜-2$或$-\frac{4}{3}＜x＜0$。
【答案】
（1）一次函数解析式为$y=3x+10$，反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$；
（2）$x$的取值范围是$x＜-2$或$-\frac{4}{3}＜x＜0$。
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.函数交点的性质
3.图象法解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心是利用交点的公共属性求解参数，再结合图象位置判断不等式解集，解题时需注意反比例函数自变量不能为0，分析区间时避免漏解或错判。
【难度系数】
0.65
8 双曲线 $y=\dfrac{m}{x}$ 与直线 $y=kx+b$ 相交于点 $M(1,3)$ 和点 $N$，点 $N$ 的纵坐标为 $-1$，则关于 $x$ 的方程 $kx+b=\dfrac{m}{x}$ 的解为
$x_1=1,x_2=-3$
。答案
8. $x_1=1,x_2=-3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解就是一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$图象交点的横坐标。我们已知一个交点$M$的横坐标为1，只需求出另一个交点$N$的横坐标即可：第一步先利用点$M$的坐标求出反比例函数的解析式，第二步将点$N$的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求出点$N$的横坐标，最终得到方程的两个解。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
因为点$M(1,3)$在双曲线$y=\dfrac{m}{x}$上，将$x=1$，$y=3$代入解析式得：
$3=\dfrac{m}{1}$，解得$m=3$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}$。
2. 求点$N$的横坐标：
已知点$N$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$上，且点$N$的纵坐标为$-1$，将$y=-1$代入$y=\dfrac{3}{x}$得：
$-1=\dfrac{3}{x}$，解得$x=-3$，即点$N$的横坐标为$-3$。
3. 确定方程的解：
方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解是一次函数与反比例函数图象交点的横坐标，两个交点的横坐标分别为$1$和$-3$，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
反比例函数解析式确定；一次函数与反比例函数的交点；函数与方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象与对应方程的关系，解题的关键是理解两个函数交点的横坐标就是联立两个函数解析式所得方程的解，计算量小，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解就是一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$图象交点的横坐标。我们已知一个交点$M$的横坐标为1，只需求出另一个交点$N$的横坐标即可：第一步先利用点$M$的坐标求出反比例函数的解析式，第二步将点$N$的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求出点$N$的横坐标，最终得到方程的两个解。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
因为点$M(1,3)$在双曲线$y=\dfrac{m}{x}$上，将$x=1$，$y=3$代入解析式得：
$3=\dfrac{m}{1}$，解得$m=3$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}$。
2. 求点$N$的横坐标：
已知点$N$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$上，且点$N$的纵坐标为$-1$，将$y=-1$代入$y=\dfrac{3}{x}$得：
$-1=\dfrac{3}{x}$，解得$x=-3$，即点$N$的横坐标为$-3$。
3. 确定方程的解：
方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解是一次函数与反比例函数图象交点的横坐标，两个交点的横坐标分别为$1$和$-3$，因此方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
反比例函数解析式确定；一次函数与反比例函数的交点；函数与方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象与对应方程的关系，解题的关键是理解两个函数交点的横坐标就是联立两个函数解析式所得方程的解，计算量小，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9 教材变式题 已知反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m≠0)$ 的图象经过点 $(3,-\frac{4}{3})$。
（1）求 $m$ 的值。
（2）函数图象在哪些象限？在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而怎样变化？
（3）当 $-3≤x≤-\frac{1}{2}$ 时，求 $y$ 的取值范围。
（1）求 $m$ 的值。
（2）函数图象在哪些象限？在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而怎样变化？
（3）当 $-3≤x≤-\frac{1}{2}$ 时，求 $y$ 的取值范围。
答案
9. （1）由题意,得$m=3×(-\frac{4}{3})=-4$ （2）$\because m=-4$,$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$.$\because -4＜0$,$\therefore$ 函数图象位于第二、第四象限,且在每一个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大 （3）$\because y=-\frac{4}{x}$,$\therefore$ 当 $x=-3$ 时,$y=\frac{4}{3}$;当 $x=-\frac{1}{2}$ 时,$y=8$.$\therefore$ 易得当$-3≤x≤-\frac{1}{2}$时,$\frac{4}{3}≤y≤8$
解析
【分析】
（1）第一问求解m值，可利用反比例函数图象上点的坐标特征：点的横、纵坐标的乘积等于比例系数m，直接代入已知点的坐标计算即可；
（2）第二问判断图象所在象限和增减性，先由第一问结果得到反比例函数的解析式，再根据反比例函数性质，由比例系数的正负直接判断即可；
（3）第三问求y的取值范围，首先判断给定的x取值范围位于同一象限，再结合该象限内函数的增减性，代入区间端点的x值求出对应y值，即可确定y的取值范围。
【解析】
（1）已知反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象经过点$(3,-\frac{4}{3})$，将点坐标代入解析式可得：
$m=3×(-\frac{4}{3})=-4$
（2）由（1）可知反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$，
∵比例系数$-4＜0$，
∴函数图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大。
（3）对于函数$y=-\frac{4}{x}$，
当$x=-3$时，$y=-\frac{4}{-3}=\frac{4}{3}$；
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}=8$。
又
∵$-3≤x≤-\frac{1}{2}$属于第二象限区间，该区间内y随x的增大而增大，
∴当$-3≤x≤-\frac{1}{2}$时，y的取值范围为$\frac{4}{3}≤y≤8$。
【答案】
（1）$m=-4$；（2）函数图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；（3）$\frac{4}{3}≤y≤8$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；反比例函数图象与性质；反比例函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，重点考查对反比例函数核心性质的掌握程度，解题时需注意讨论函数增减性时必须限定在同一象限内，避免出现判断错误。
【难度系数】
0.8
（1）第一问求解m值，可利用反比例函数图象上点的坐标特征：点的横、纵坐标的乘积等于比例系数m，直接代入已知点的坐标计算即可；
（2）第二问判断图象所在象限和增减性，先由第一问结果得到反比例函数的解析式，再根据反比例函数性质，由比例系数的正负直接判断即可；
（3）第三问求y的取值范围，首先判断给定的x取值范围位于同一象限，再结合该象限内函数的增减性，代入区间端点的x值求出对应y值，即可确定y的取值范围。
【解析】
（1）已知反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象经过点$(3,-\frac{4}{3})$，将点坐标代入解析式可得：
$m=3×(-\frac{4}{3})=-4$
（2）由（1）可知反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$，
∵比例系数$-4＜0$，
∴函数图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大。
（3）对于函数$y=-\frac{4}{x}$，
当$x=-3$时，$y=-\frac{4}{-3}=\frac{4}{3}$；
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}=8$。
又
∵$-3≤x≤-\frac{1}{2}$属于第二象限区间，该区间内y随x的增大而增大，
∴当$-3≤x≤-\frac{1}{2}$时，y的取值范围为$\frac{4}{3}≤y≤8$。
【答案】
（1）$m=-4$；（2）函数图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；（3）$\frac{4}{3}≤y≤8$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；反比例函数图象与性质；反比例函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，重点考查对反比例函数核心性质的掌握程度，解题时需注意讨论函数增减性时必须限定在同一象限内，避免出现判断错误。
【难度系数】
0.8
