10 如图,矩形ABCD的边AD//x轴,顶点A在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上,点B,D在函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,则矩形ABCD的面积为.

10. $\frac{8}{3}$

11 已知$A(m+2,2),B(3,\dfrac{m}{3})$是同一个反比例函数图象上的两个点.
(1) 求$m$的值；
(2) 画出这个反比例函数的图象($O$为坐标原点)；
(3) 求以$A,O,B$为顶点的三角形的面积.

11. (1) 由题意,得 $2(m+2)=3×\frac{m}{3}$,解得 $m=-4$
(2) 由(1),得 $m=-4$,$\therefore A(-2,2),B(3,-\frac{4}{3})$. 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{n}{x}(n≠0)$. $\because$ 点 $A(-2,2)$ 在反比例函数 $y=\frac{n}{x}$ 的图象上,$\therefore 2=\frac{n}{-2}$,解得 $n=-4$. $\therefore y=-\frac{4}{x}$. 列表略. 建立平面直角坐标系,描点、连线,画出函数图象如图所示
(3) 作直线 $AB$,交 $y$ 轴于点 $C$,连接 $OA$,$OB$. 设直线 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=kx+b(k≠0)$. $\because$ 点 $A(-2,2),B(3,-\frac{4}{3})$ 在直线 $y=kx+b(k≠0)$ 上,$\therefore \begin{cases}-2k+b=2,\\3k+b=-\frac{4}{3},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=\frac{2}{3}.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$. 令 $x=0$,得 $y=\frac{2}{3}$. $\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(0,\frac{2}{3})$. $\therefore$ 以 $A$,$O$,$B$ 为顶点的三角形的面积为 $S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|-2|+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×3=\frac{5}{3}$

同一直角坐标系中反比例函数与其他函数的图象
【例】数形结合思想 如图，若$k≠0$，则函数$y=kx^2$，$y=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （B）


A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【方法归纳】先由抛物线确定$k$的符号，再根据$k$的符号确定双曲线的位置。
【同步演练】

B

分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向上，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限：图①符合该特征，且$x=1$时，$y=k·1^2=k$，$y=\frac{k}{1}=k$，两图象交点为$(1,k)$，符合要求；图②中反比例函数图象位于第二、四象限，对应$k＜0$，与开口向上的抛物线要求$k＞0$矛盾，故②错误。
2. 当$k＜0$时，二次函数$y=kx^2$的图象开口向下，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限：图③中反比例函数图象位于第一、三象限，对应$k＞0$，与开口向下的抛物线要求$k＜0$矛盾，故③错误；图④符合该特征，且$x=1$时，$y=k·1^2=k$，$y=\frac{k}{1}=k$，两图象交点为$(1,k)$，符合要求。
综上，符合条件的是①④。

如图，函数$y=k_1x$和$y=k_2x^{-1}$的图象交于点A，B，AB=10，过点A作AE⊥x轴于点E，AE=4，则$k_1k_2$的值是.

$\boldsymbol{16}$

解：
因为正比例函数$y=k_1x$与反比例函数$y=k_2x^{-1}$的图象都关于原点中心对称，
所以交点A、B关于原点O对称，
因此$OA=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
因为$AE⊥ x$轴，$AE=4$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
所以点A的坐标为$(3,4)$。
将$A(3,4)$代入$y=k_1x$，得$4=3k_1$，解得$k_1=\frac{4}{3}$。
将$A(3,4)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$4=\frac{k_2}{3}$，解得$k_2=12$。
所以$k_1k_2=\frac{4}{3}×12=16$。
最终