登录
10 如图,矩形ABCD的边AD//x轴,顶点A在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上,点B,D在函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,则矩形ABCD的面积为
$\frac{8}{3}$
.答案
10. $\frac{8}{3}$
解析
【分析】
要求矩形ABCD的面积，需先得到矩形相邻两边的长度。由AD平行x轴可知A、D两点纵坐标相等，AB平行y轴可知A、B两点横坐标相等，我们可以设点A的横坐标为参数，结合反比例函数解析式分别表示出A、B、D三点的坐标，进而求出AD、AB的长度，相乘计算面积时参数会自动消去，即可得到固定的面积值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$）：
1. 求点D坐标：
∵$AD// x$轴，
∴点D的纵坐标与点A相同，为$\frac{6}{a}$，
又
∵点D在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=\frac{6}{a}$代入解析式得$\frac{6}{a}=\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{a}{3}$，即$D(\frac{a}{3},\frac{6}{a})$。
2. 求点B坐标：
∵四边形ABCD是矩形，$AB// y$轴，
∴点B的横坐标与点A相同，为$a$，
又
∵点B在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，将$x=a$代入解析式得$y=\frac{2}{a}$，即$B(a,\frac{2}{a})$。
3. 计算矩形面积：
矩形的长$AD=a-\frac{a}{3}=\frac{2a}{3}$，矩形的宽$AB=\frac{6}{a}-\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$，
则矩形ABCD的面积$S=AD× AB=\frac{2a}{3}×\frac{4}{a}=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数点坐标特征
2. 矩形的性质
3. 坐标与图形运算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常见题型，核心考查反比例函数上点的坐标满足函数解析式的性质，通过设参数表示点坐标、消参求面积的方法十分典型，熟练掌握该方法可以快速解决同类反比例函数几何综合题。
【难度系数】
0.6
要求矩形ABCD的面积，需先得到矩形相邻两边的长度。由AD平行x轴可知A、D两点纵坐标相等，AB平行y轴可知A、B两点横坐标相等，我们可以设点A的横坐标为参数，结合反比例函数解析式分别表示出A、B、D三点的坐标，进而求出AD、AB的长度，相乘计算面积时参数会自动消去，即可得到固定的面积值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$）：
1. 求点D坐标：
∵$AD// x$轴，
∴点D的纵坐标与点A相同，为$\frac{6}{a}$，
又
∵点D在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=\frac{6}{a}$代入解析式得$\frac{6}{a}=\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{a}{3}$，即$D(\frac{a}{3},\frac{6}{a})$。
2. 求点B坐标：
∵四边形ABCD是矩形，$AB// y$轴，
∴点B的横坐标与点A相同，为$a$，
又
∵点B在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，将$x=a$代入解析式得$y=\frac{2}{a}$，即$B(a,\frac{2}{a})$。
3. 计算矩形面积：
矩形的长$AD=a-\frac{a}{3}=\frac{2a}{3}$，矩形的宽$AB=\frac{6}{a}-\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$，
则矩形ABCD的面积$S=AD× AB=\frac{2a}{3}×\frac{4}{a}=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数点坐标特征
2. 矩形的性质
3. 坐标与图形运算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常见题型，核心考查反比例函数上点的坐标满足函数解析式的性质，通过设参数表示点坐标、消参求面积的方法十分典型，熟练掌握该方法可以快速解决同类反比例函数几何综合题。
【难度系数】
0.6
11 已知$A(m+2,2),B(3,\dfrac{m}{3})$是同一个反比例函数图象上的两个点.
(1) 求$m$的值；
(2) 画出这个反比例函数的图象($O$为坐标原点)；
(3) 求以$A,O,B$为顶点的三角形的面积.
(1) 求$m$的值；
(2) 画出这个反比例函数的图象($O$为坐标原点)；
(3) 求以$A,O,B$为顶点的三角形的面积.
答案
11. (1) 由题意,得 $2(m+2)=3×\frac{m}{3}$,解得 $m=-4$
(2) 由(1),得 $m=-4$,$\therefore A(-2,2),B(3,-\frac{4}{3})$. 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{n}{x}(n≠0)$. $\because$ 点 $A(-2,2)$ 在反比例函数 $y=\frac{n}{x}$ 的图象上,$\therefore 2=\frac{n}{-2}$,解得 $n=-4$. $\therefore y=-\frac{4}{x}$. 列表略. 建立平面直角坐标系,描点、连线,画出函数图象如图所示
(3) 作直线 $AB$,交 $y$ 轴于点 $C$,连接 $OA$,$OB$. 设直线 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=kx+b(k≠0)$. $\because$ 点 $A(-2,2),B(3,-\frac{4}{3})$ 在直线 $y=kx+b(k≠0)$ 上,$\therefore \begin{cases}-2k+b=2,\\3k+b=-\frac{4}{3},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=\frac{2}{3}.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$. 令 $x=0$,得 $y=\frac{2}{3}$. $\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(0,\frac{2}{3})$. $\therefore$ 以 $A$,$O$,$B$ 为顶点的三角形的面积为 $S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|-2|+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×3=\frac{5}{3}$
解析
【分析】
(1) 反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数k（定值），因此点A、B的横纵坐标乘积相等，据此列方程即可求解m的值；
(2) 代入m的数值得到点A的坐标，将其代入反比例函数一般式求出比例系数，得到函数解析式，再按列表、描点、连线的步骤绘制图象即可；
(3) △AOB是不规则图形，采用割补法计算面积：先求直线AB的解析式，找到直线AB与y轴的交点C，将△AOB拆分为同底的△AOC和△BOC，分别计算两个三角形面积后求和即可。
【解析】
(1) 由反比例函数图象上点的坐标特征，可得：
$2(m+2)=3×\frac{m}{3}$
化简得$2m+4=m$，解得$m=-4$。
(2) 将$m=-4$代入点A、B的坐标，得$A(-2,2)$，$B(3,-\frac{4}{3})$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{n}{x}(n≠0)$，把$A(-2,2)$代入解析式：
$2=\frac{n}{-2}$，解得$n=-4$，即反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
按列表、描点、连线的步骤绘制图象，图象如图所示：
(3) 作直线AB交y轴于点C，连接OA、OB。
设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-2,2)$、$B(3,-\frac{4}{3})$代入得：
$\begin{cases}-2k+b=2\\3k+b=-\frac{4}{3}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=\frac{2}{3}\end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$。
令$x=0$，得$y=\frac{2}{3}$，故点C坐标为$(0,\frac{2}{3})$，$OC=\frac{2}{3}$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|-2|+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×3=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $m=-4$
(2) 反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$，图象如图所示
(3) 以$A,O,B$为顶点的三角形的面积为$\frac{5}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，坐标系内面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的基础应用，覆盖了反比例函数图象上点的坐标特征、图象绘制、不规则图形面积计算等考点，解题时注意利用函数性质简化计算，熟练掌握割补法处理坐标系内的面积问题。
【难度系数】
0.7
(1) 反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数k（定值），因此点A、B的横纵坐标乘积相等，据此列方程即可求解m的值；
(2) 代入m的数值得到点A的坐标，将其代入反比例函数一般式求出比例系数，得到函数解析式，再按列表、描点、连线的步骤绘制图象即可；
(3) △AOB是不规则图形，采用割补法计算面积：先求直线AB的解析式，找到直线AB与y轴的交点C，将△AOB拆分为同底的△AOC和△BOC，分别计算两个三角形面积后求和即可。
【解析】
(1) 由反比例函数图象上点的坐标特征，可得：
$2(m+2)=3×\frac{m}{3}$
化简得$2m+4=m$，解得$m=-4$。
(2) 将$m=-4$代入点A、B的坐标，得$A(-2,2)$，$B(3,-\frac{4}{3})$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{n}{x}(n≠0)$，把$A(-2,2)$代入解析式：
$2=\frac{n}{-2}$，解得$n=-4$，即反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
按列表、描点、连线的步骤绘制图象，图象如图所示：
(3) 作直线AB交y轴于点C，连接OA、OB。
设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-2,2)$、$B(3,-\frac{4}{3})$代入得：
$\begin{cases}-2k+b=2\\3k+b=-\frac{4}{3}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=\frac{2}{3}\end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$。
令$x=0$，得$y=\frac{2}{3}$，故点C坐标为$(0,\frac{2}{3})$，$OC=\frac{2}{3}$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×|-2|+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×3=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $m=-4$
(2) 反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$，图象如图所示
(3) 以$A,O,B$为顶点的三角形的面积为$\frac{5}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，坐标系内面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的基础应用，覆盖了反比例函数图象上点的坐标特征、图象绘制、不规则图形面积计算等考点，解题时注意利用函数性质简化计算，熟练掌握割补法处理坐标系内的面积问题。
【难度系数】
0.7
同一直角坐标系中反比例函数与其他函数的图象
【例】数形结合思想 如图，若$k≠0$，则函数$y=kx^2$，$y=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （B）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【方法归纳】先由抛物线确定$k$的符号，再根据$k$的符号确定双曲线的位置。
【同步演练】
【例】数形结合思想 如图，若$k≠0$，则函数$y=kx^2$，$y=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （B）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【方法归纳】先由抛物线确定$k$的符号，再根据$k$的符号确定双曲线的位置。
【同步演练】
答案
B
解析
【分析】
解题时需围绕参数$k$的符号分类讨论：首先明确二次函数$y=kx^2$的开口方向、反比例函数$y=\frac{k}{x}$的象限分布都由$k$的正负决定，再逐一验证四个图象中两类函数的图象特征、交点位置是否符合对应$k$值下的函数性质即可。
【解析】
我们分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
二次函数$y=kx^2$开口向上，顶点在原点；反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限。
图①：抛物线开口向上，双曲线在一、三象限，当$x=1$时，两个函数的函数值均为$k$，因此在$x=1$处存在交点，符合性质；
图②：虽然抛物线、双曲线的位置符合$k＞0$的特征，但交点横坐标为$x=-1$，代入得二次函数值为$k＞0$，反比例函数值为$\frac{k}{-1}=-k＜0$，二者不可能相等，无交点，不符合。
2. 当$k＜0$时：
二次函数$y=kx^2$开口向下，顶点在原点；反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限。
图③：虽然抛物线、双曲线的位置符合$k＜0$的特征，但交点横坐标为$x=-1$，代入得二次函数值为$k＜0$，反比例函数值为$\frac{k}{-1}=-k＞0$，二者不可能相等，无交点，不符合；
图④：抛物线开口向下，双曲线在二、四象限，当$x=1$时，两个函数的函数值均为$k＜0$，因此在$x=1$处存在交点，符合性质。
综上，符合要求的图象是①④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；反比例函数图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查两类基本函数的图象特征，解题核心是根据参数$k$的符号分类验证图象合理性，要求学生熟练掌握二次函数、反比例函数的图象与性质，能结合特殊点的函数值判断交点是否存在，是函数图象类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时需围绕参数$k$的符号分类讨论：首先明确二次函数$y=kx^2$的开口方向、反比例函数$y=\frac{k}{x}$的象限分布都由$k$的正负决定，再逐一验证四个图象中两类函数的图象特征、交点位置是否符合对应$k$值下的函数性质即可。
【解析】
我们分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
二次函数$y=kx^2$开口向上，顶点在原点；反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限。
图①：抛物线开口向上，双曲线在一、三象限，当$x=1$时，两个函数的函数值均为$k$，因此在$x=1$处存在交点，符合性质；
图②：虽然抛物线、双曲线的位置符合$k＞0$的特征，但交点横坐标为$x=-1$，代入得二次函数值为$k＞0$，反比例函数值为$\frac{k}{-1}=-k＜0$，二者不可能相等，无交点，不符合。
2. 当$k＜0$时：
二次函数$y=kx^2$开口向下，顶点在原点；反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限。
图③：虽然抛物线、双曲线的位置符合$k＜0$的特征，但交点横坐标为$x=-1$，代入得二次函数值为$k＜0$，反比例函数值为$\frac{k}{-1}=-k＞0$，二者不可能相等，无交点，不符合；
图④：抛物线开口向下，双曲线在二、四象限，当$x=1$时，两个函数的函数值均为$k＜0$，因此在$x=1$处存在交点，符合性质。
综上，符合要求的图象是①④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；反比例函数图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查两类基本函数的图象特征，解题核心是根据参数$k$的符号分类验证图象合理性，要求学生熟练掌握二次函数、反比例函数的图象与性质，能结合特殊点的函数值判断交点是否存在，是函数图象类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
如图，函数$y=k_1x$和$y=k_2x^{-1}$的图象交于点A，B，AB=10，过点A作AE⊥x轴于点E，AE=4，则$k_1k_2$的值是.
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
【分析】
首先，正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此两个交点A、B关于原点对称，可得OA的长度为AB的一半。已知AE⊥x轴且AE=4，在Rt△OAE中利用勾股定理可求出OE的长度，进而得到点A的坐标。再将点A坐标分别代入两个函数解析式求出$k_1$、$k_2$的值，最后计算二者的乘积即可。
【解析】
∵ 正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称
∴ 交点A、B关于原点对称，即$OA=OB=\frac{1}{2}AB$
∵ $AB=10$，
∴ $OA=5$
∵ $AE⊥x$轴，$AE=4$，在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$
∴ 点A的坐标为$(3,4)$
将$A(3,4)$代入$y=k_1x$，得$4=3k_1$，解得$k_1=\frac{4}{3}$
将$A(3,4)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$4=\frac{k_2}{3}$，解得$k_2=12$
∴ $k_1k_2=\frac{4}{3}×12=16$
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
1. 正反比例函数的对称性
2. 勾股定理
3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数的综合题，解题的核心是利用函数图象的中心对称性得到OA的长度，结合勾股定理确定交点坐标，再代入解析式计算参数，属于该部分的常考基础题型，掌握函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先，正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此两个交点A、B关于原点对称，可得OA的长度为AB的一半。已知AE⊥x轴且AE=4，在Rt△OAE中利用勾股定理可求出OE的长度，进而得到点A的坐标。再将点A坐标分别代入两个函数解析式求出$k_1$、$k_2$的值，最后计算二者的乘积即可。
【解析】
∵ 正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称
∴ 交点A、B关于原点对称，即$OA=OB=\frac{1}{2}AB$
∵ $AB=10$，
∴ $OA=5$
∵ $AE⊥x$轴，$AE=4$，在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$
∴ 点A的坐标为$(3,4)$
将$A(3,4)$代入$y=k_1x$，得$4=3k_1$，解得$k_1=\frac{4}{3}$
将$A(3,4)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$4=\frac{k_2}{3}$，解得$k_2=12$
∴ $k_1k_2=\frac{4}{3}×12=16$
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
1. 正反比例函数的对称性
2. 勾股定理
3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数的综合题，解题的核心是利用函数图象的中心对称性得到OA的长度，结合勾股定理确定交点坐标，再代入解析式计算参数，属于该部分的常考基础题型，掌握函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
