1. 如图,点 P 在$∠ AOB$的内部,点 C 和点 P 关于 OA 对称,点 P 关于 OB 的对称点是点 D,连接 CD 交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,连接 OC,OD,PM,PN.
(1)①若$∠ AOB=60°$,求$∠ COD$的度数;
②若$∠ AOB=n°$,则$∠ COD=$$°$(用含 n 的代数式表示);
(2)若$CD=4$,则$△ PMN$的周长为.

(1)①连接 OP.
∵点 C 和点 P 关于 OA 对称，
∴∠AOC=∠AOP.
∵点 P 关于 OB 的对称点是点 D,
∴∠BOD=∠BOP.
∴∠COD = ∠AOC + ∠AOP + ∠BOP + ∠BOD = 2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=2×60°=120°.
②2n
(2)4
【点拨】
∵点 C 和点 P 关于 OA 对称,
∴CM=PM.
∵点 P 关于 OB 的对称点是点 D,
∴DN=PN.
∵CD=4,
∴CM+MN+DN=4.
∴PM+MN+PN=4,即△PMN的周长为4.

2. 母题 教材 P71 习题 T11 如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠ABC=125°，∠A+∠D=155°，AB=3 cm，EH=4 cm.
(1)试写出EF，AD的长度.
(2)求∠G的度数.
(3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？

(1)
∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,AB=3 cm,EH=4 cm，
∴EF=AB=3 cm,AD=EH=4 cm.
(2)
∵∠ABC=125°,∠A+∠D=155°，
∴∠C=360°-155°-125°=80°.易得∠G=∠C=80°.
(3)
∵对称轴垂直平分对应点的连线,点B和点F为对应点,
∴直线MN垂直平分线段BF.

3. 新考法 逆向思维法 如图，O为$△ ABC$内部一点，$OB=3$，$P$，$R$分别为点$O$关于直线$AB$，$BC$的对称点。
(1)请指出当$∠ ABC$为多少度时，会使得$PR$的长度等于6，并说明理由。
(2)在(1)的基础上，请判断当$∠ ABC$不是你指出的角度时，$PR$的长度是小于6还是大于6？并说明理由。

(1)当∠ABC=90°时,PR=6.
理由:如图,连接PB,RB.
∵P,R分别为点O关于直线AB,BC的对称点，
∴PB=OB=3, RB=OB=3, ∠ABP=∠ABO,∠CBR=∠CBO. 又
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°.
∴∠PBR=180°.
∴点P,B,R三点共线.
∴PR=PB+RB=6.

(2)PR的长度小于6.理由如下：
∵∠ABC≠90°,
∴由(1)易知点P,B,R不在同一直线上.
∴PB+BR＞PR.
又
∵PB+BR=3+3=6,
∴PR＜6.

4.(1)如图①,草原上两个居民点A,B在河流l的同侧,一辆汽车从A出发到B,途中需要到河边加水,汽车在哪一点加水,可使行驶的路程最短?在图中画出该点,并说明理由.

(2)嘉淇同学秋游时,发现一位农民伯伯正在浇地,这块地的外形是如图②所示的$△ ABC$,其中边BC在一条水渠上,这位农民伯伯想在地中再新开一条水渠,把水引到顶点A处,且水渠把地分成面积相等的两部分.
①这条水渠是$△ ABC$的(填“中线”“角平分线”或“高”);
②请在图②中画出水渠的位置,并说明水渠把三角形地分成面积相等的两部分的理由.

(1)如图①,作点A关于l的对称点A',连接A'B交l于点C,点C即为所求.理由如下：
∵点A与点A'关于直线l对称，
∴AC=A'C.
∴AC+BC=A'C+BC=A'B.
又
∵两点之间线段最短，
∴此时A'C+BC最小,即AC+BC最小.

(2)①中线
②如图②,AE为水渠,即BC边上的中线.理由：
作AD⊥BC于点D.
∵BC边上的中线为AE，
∴BE=CE.
又
∵$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·AD$，
$S_{△ACE}=\frac{1}{2}CE·AD$,
∴$S_{△ABE}=S_{△ACE}$.
∴水渠AE把三角形地分成面积相等的两部分.