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1[2026江西吉安期中,中]如图,已知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点,点A表示的数为12,且AB=18,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动,在点P向左运动的过程中,M,N始终分别为AP,PB的中点,设运动时间为$t(t＞0)$秒,则下列结论中正确的是 (
①点B表示的数是-6;②点P到达点B时,$t=9$;③当$BP=2$时,$t=8$;④当$t=3$时,点N与数轴的原点重合;⑤在点P的运动过程中,线段MN的长度会改变.
A.①②③
B.①③⑤
C.①②④
D.①④⑤
C
)①点B表示的数是-6;②点P到达点B时,$t=9$;③当$BP=2$时,$t=8$;④当$t=3$时,点N与数轴的原点重合;⑤在点P的运动过程中,线段MN的长度会改变.
A.①②③
B.①③⑤
C.①②④
D.①④⑤
答案
因为A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点,点A表示的数为12,且AB=18,所以点B表示的数为12-18=-6,故①正确.因为18÷2=9(秒),所以点P到达点B时,t=9,故②正确.当点P在点B的右侧时,因为BP=2,所以AP=18-2=16,所以t=16÷2=8;当点P在点B的左侧时,因为BP=2,所以AP=18+2=20,所以t=20÷2=10.故当BP=2时,t=8或10,故③错误.当t=3时,AP=3×2=6,所以点P表示的数为12-6=6.因为点N为PB的中点,所以点N表示的数为$\frac{-6+6}{2}=0$,即点N与数轴的原点重合,故④正确.因为M,N分别为AP,BP的中点,所以$MP=\frac{1}{2}AP$,$NP=\frac{1}{2}BP$.当点P在点B的右侧时,$MN=PM+PN=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}(AP+PB)=\frac{1}{2}AB=9$;当点P在点B的左侧时,$MN=PM-PN=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}(AP-PB)=\frac{1}{2}AB=9$.所以在点P的运动过程中,线段MN的长度不会发生变化,故⑤错误.所以正确的结论是①②④.故选C.
2[2026浙江杭州质检,较难]已知线段$AB=12$，$CD=6$，线段$CD$在直线$AB$上运动($A$在$B$的左侧，$C$在$D$的左侧).
(1)当$D$点与$B$点重合时，$AC=$
(2)点$P$是线段$AB$延长线上任意一点，在(1)的条件下，求$PA+PB-2PC$的值；
(3)$M,N$分别是$AC,BD$的中点，当$BC=4$时，求$MN$的长.
(1)当$D$点与$B$点重合时，$AC=$
6
；(2)点$P$是线段$AB$延长线上任意一点，在(1)的条件下，求$PA+PB-2PC$的值；
(3)$M,N$分别是$AC,BD$的中点，当$BC=4$时，求$MN$的长.
答案
(1)当D点与B点重合时,$AC=AB-CD=6$.故答案为6.
(2)由题意得$CD=\frac{1}{2}AB$.
因为点P是线段AB延长线上任意一点,所以$PA+PB=AB+PB+PB$,$PC=CD+PB=\frac{1}{2}AB+PB$,所以$PA+PB-2PC=AB+PB+PB-2(\frac{1}{2}AB+PB)=0$.
(3)①如图(1),当点C在点B的右侧时,因为M,N分别为线段AC,BD的中点,所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB+BC)=8$,$DN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(CD+BC)=5$,所以$MN=AD-AM-DN=12+4+6-8-5=9$;
②如图(2),当点C在点B的左侧时,因为M,N分别为线段AC,BD的中点,所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB-BC)=4$,$DN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(CD-BC)=1$,所以$MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9$.
思路分析
3)需要分两种情况讨论:
①当点C在点B的右侧时;②当点C在点B的左侧时,分别利用线段间的和差关系求得MN的长度即可.
关键点拨
本题考查线段的中点、等分点及线段的和差,解题的关键是掌握线段中点、等分点的定义及线段和差的运算.
3[2025江苏徐州期末,较难]小明在学习了线段的和差后对下面一道题进行了探究.
【基础探究】
如图(1),点C在线段AB上,M,N分别是AC,
BC的中点.若$AB=12,AC=8$,求MN的长.
(1)$MN=$
【深入探究】
(2)小明在求解(1)的过程中,发现MN的长度具有一个特殊性质,于是他将题中的条件一般化:设$AB=a$,C是线段AB上任意一点(不与点A,B重合),小明提出了如下三个问题,请你进行解答.
①如图(1),M,N分别是AC,BC的中点,则$MN=$
②如图(2),M,N分别是AC,BC的三等分点,且$AM=\frac{1}{3}AC,BN=\frac{1}{3}BC$,求MN的长;
③若M,N分别是AC,BC的n等分点,且$AM=\frac{1}{n}AC,BN=\frac{1}{n}BC$,则$MN=$
【基础探究】
如图(1),点C在线段AB上,M,N分别是AC,
BC的中点.若$AB=12,AC=8$,求MN的长.
(1)$MN=$
6
.【深入探究】
(2)小明在求解(1)的过程中,发现MN的长度具有一个特殊性质,于是他将题中的条件一般化:设$AB=a$,C是线段AB上任意一点(不与点A,B重合),小明提出了如下三个问题,请你进行解答.
①如图(1),M,N分别是AC,BC的中点,则$MN=$
$\frac{1}{2}a$
;②如图(2),M,N分别是AC,BC的三等分点,且$AM=\frac{1}{3}AC,BN=\frac{1}{3}BC$,求MN的长;
③若M,N分别是AC,BC的n等分点,且$AM=\frac{1}{n}AC,BN=\frac{1}{n}BC$,则$MN=$
$\frac{n-1}{n}a$
.答案
(1)因为AB=12,AC=8,所以BC=AB-AC=4.因为点M,N分别是AC,BC的中点,所以$CM=\frac{1}{2}AC=4$,$CN=\frac{1}{2}BC=2$,所以MN=CM+CN=6.故答案为6.
(2)①因为M,N分别是AC,BC的中点,所以$CM=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$.因为AB=a,所以$MN=\frac{1}{2}a$.故答案为$\frac{1}{2}a$.
② 因为$AM=\frac{1}{3}AC$,$BN=\frac{1}{3}BC$,所以$CM=\frac{2}{3}AC$,$CN=\frac{2}{3}BC$,所以$MN=CM+CN=\frac{2}{3}AC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}AB$.因为AB=a,所以$MN=\frac{2}{3}a$.
③ 因为$AM=\frac{1}{n}AC$,$BN=\frac{1}{n}BC$,所以$CM=\frac{n-1}{n}AC$,$CN=\frac{n-1}{n}BC$,所以$MN=CM+CN=\frac{n-1}{n}AC+\frac{n-1}{n}BC=\frac{n-1}{n}AB$.因为AB=a,所以$MN=\frac{n-1}{n}a$,故答案为$\frac{n-1}{n}a$.
(2)①因为M,N分别是AC,BC的中点,所以$CM=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$.因为AB=a,所以$MN=\frac{1}{2}a$.故答案为$\frac{1}{2}a$.
② 因为$AM=\frac{1}{3}AC$,$BN=\frac{1}{3}BC$,所以$CM=\frac{2}{3}AC$,$CN=\frac{2}{3}BC$,所以$MN=CM+CN=\frac{2}{3}AC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}AB$.因为AB=a,所以$MN=\frac{2}{3}a$.
③ 因为$AM=\frac{1}{n}AC$,$BN=\frac{1}{n}BC$,所以$CM=\frac{n-1}{n}AC$,$CN=\frac{n-1}{n}BC$,所以$MN=CM+CN=\frac{n-1}{n}AC+\frac{n-1}{n}BC=\frac{n-1}{n}AB$.因为AB=a,所以$MN=\frac{n-1}{n}a$,故答案为$\frac{n-1}{n}a$.
4[中]如图,点A,B,C在同一直线上,H为AC的中点,M为AB的中点,N为BC的中点,则下列说法:①$MN=HC$;②$MN=\frac{1}{2}(AC+HB)$;③$MH=\frac{1}{2}(AH-HB)$;④$HN=\frac{1}{2}(HC+HB)$,其中正确的是
(
A.①③
B.②④
C.①④
D.①③④
(
D
)A.①③
B.②④
C.①④
D.①③④
答案
因为H为AC的中点,M为AB的中点,N为BC的中点,所以$MN=\frac{1}{2}AC=HC$,①正确,②错误;$MH=MN-HN=\frac{1}{2}AC-(HC-CN)=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AC-AB)=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(HC-HB)=\frac{1}{2}(AH-HB)$,③正确;$HN=HC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AH+HB)=\frac{1}{2}(HC+HB)$,④正确.所以①③④正确.故选D.
