1[2025 浙江宁波质检, 较难]在长方形ABCD中放入3个正方形如图所示,若AI=CJ,MN=PQ,则知道下面哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长之和

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A.BF
B.FH
C.AB
D.BC

1.C 【解析】题图中阴影部分的周长为 $2AD+2DJ+2FN+2EF+2GH+2QH=2AD+2AB+2GH+2FN+2EF$. 因为 $AI=CJ$,$MN=PQ$,所以 $AB=2(JC+PQ)=2FN$,所以图中阴影部分的周长为 $2AD+2AB+2GH+AB+2EF=2AD+3AB+2GH+2EF$. 因为 $EH=FN=\dfrac{1}{2}AB$,所以 $GH+EF=\dfrac{1}{2}AB-FG$,所以图中阴影部分的周长为 $2AD+3AB+2GH+2EF=2AD+3AB+AB-2FG=2AD+4AB-2FG$. 因为 $BF=BI$,$GC=JC=AI$,所以 $BF+JC=BI+AI=AB$. 因为 $AD=BC=BF+GC+FG$,所以 $AD=AB+FG$,所以图中阴影部分的周长为 $2AD+4AB-2FG=2(AB+FG)+4AB-2FG=6AB$,故选 C.

2[2025北京朝阳区期中,较难]如图,点M在线段AN的延长线上,且线段MN=10,第一次操作:分别取线段AM和AN的中点$M_1,N_1$;第二次操作:分别取线段$AM_1$和$AN_1$的中点$M_2,N_2$;第三次操作:分别取线段$AM_2$和$AN_2$的中点$M_3,N_3$;…连续这样操作15次,则$M_1N_1+M_2N_2+…+M_{15}N_{15}=$.

2.$10-\dfrac{5}{2^{14}}$ 【解析】因为 $M_1,N_1$ 是 $AM$ 和 $AN$ 的中点,所以 $AM_1=\dfrac{1}{2}AM$,$AN_1=\dfrac{1}{2}AN$,所以 $M_1N_1=\dfrac{1}{2}AM-\dfrac{1}{2}AN=\dfrac{1}{2}MN=5$. 因为 $M_2,N_2$ 是 $AM_1$ 和 $AN_1$ 的中点,所以 $AM_2=\dfrac{1}{2}AM_1$,$AN_2=\dfrac{1}{2}AN_1$,所以 $M_2N_2=\dfrac{1}{2}AM_1-\dfrac{1}{2}AN_1=\dfrac{1}{2}M_1N_1=\dfrac{5}{2}=5× \dfrac{1}{2}$. 因为 $M_3,N_3$ 是 $AM_2$ 和 $AN_2$ 的中点,所以 $AM_3=\dfrac{1}{2}AM_2$,$AN_3=\dfrac{1}{2}AN_2$,所以 $M_3N_3=\dfrac{1}{2}AM_2-\dfrac{1}{2}AN_2=\dfrac{1}{2}M_2N_2=\dfrac{5}{4}=5× (\dfrac{1}{2})^2$,$\dots$ 由此可发现规律为 $M_nN_n=5× (\dfrac{1}{2})^{n-1}$,所以 $M_1N_1+M_2N_2+\dots +M_{15}N_{15}=5× 1+5× \dfrac{1}{2}+\dots +5× (\dfrac{1}{2})^{14}$,① 所以 $2(M_1N_1+M_2N_2+\dots +M_{15}N_{15})=10+5+\dots +5× (\dfrac{1}{2})^{13}$,② ②-①得 $M_1N_1+M_2N_2+\dots +M_{15}N_{15}=10-5× (\dfrac{1}{2})^{14}=10-\dfrac{5}{2^{14}}$,故答案为 $10-\dfrac{5}{2^{14}}$.

3[2026江苏南通期末,中]如图,平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图.
(1)画线段AB;
(2)连结CD,并反向延长CD至E,使$DE=2CD$;
(3)在平面内找到一点F,使F到A,B,C,D四点的距离之和$FA+FB+FC+FD$最小.

3.【解】(1)如图所示,线段 $AB$ 即为所作.

(2)如图所示即为所作.
(3)如图所示,$F$ 点即为所作.

4 方程思想 [2025浙江温州期末,中]已知点B在线段AC上,点D在线段AB上.
(1)如图(1),若$AB=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,D为线段AC的中点,求线段DB的长度;
(2)如图(2),若$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,E为线段AB的中点,$EC=8\ \mathrm{cm}$,求线段AC的长度.

4.【解】(1)因为 $AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,所以 $AC=AB+BC=6+4=10(\mathrm{cm})$. 又因为 $D$ 为线段 $AC$ 的中点,所以 $DC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}× 10=5(\mathrm{cm})$,所以 $DB=DC-BC=5-4=1(\mathrm{cm})$.
(2)因为 $BD=\dfrac{1}{4}AB=\dfrac{1}{3}CD$,所以设 $BD=x\ \mathrm{cm}$,则 $AB=4BD=4x\ \mathrm{cm}$,$CD=3BD=3x\ \mathrm{cm}$,所以 $BC=DC-DB=3x-x=2x(\mathrm{cm})$,所以 $AC=AB+BC=4x+2x=6x(\mathrm{cm})$. 因为 $E$ 为线段 $AB$ 的中点,所以 $BE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}× 4x=2x(\mathrm{cm})$,所以 $EC=BE+BC=2x+2x=4x(\mathrm{cm})$. 又因为 $EC=8\ \mathrm{cm}$,所以 $4x=8$,解得 $x=2$,所以 $AC=6× 2=12(\mathrm{cm})$.

5 分类讨论思想 [2025江苏南京期末,中]如图,已知线段$AB=4$,延长$AB$到点$C$,使得$AB=2BC$,反向延长$AB$到点$D$,使$AC=2AD$.
(1)求线段$CD$的长;
(2)若$Q$为$AB$的中点,$P$为线段$CD$上一点,且$BP=\frac{1}{2}BC$,请画出示意图并求出$PQ$的长.

刷素养 走向重高

5.【解】(1)因为 $AB=4$,$AB=2BC$,所以 $BC=\dfrac{1}{2}AB=2$,所以 $AC=AB+BC=4+2=6$. 又因为 $AC=2AD$,所以 $AD=\dfrac{1}{2}AC=3$,所以 $CD=AD+AC=3+6=9$,故线段 $CD$ 的长为 9.
(2)因为 $Q$ 为 $AB$ 的中点,所以 $BQ=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}× 4=2$. 因为 $BP=\dfrac{1}{2}BC$,$BC=\dfrac{1}{2}AB=2$,所以 $BP=\dfrac{1}{2}× 2=1$. 由题意分以下两种情况:
①如图(1),当点 $P$ 在点 $B$ 左侧时,$PQ=BQ-BP=2-1=1$;

②如图(2),当点 $P$ 在点 $B$ 右侧时,$PQ=BQ+BP=2+1=3$.

综上,线段 $PQ$ 的长为 1 或 3.

6 思想方法 数形结合[较难]如图(1),点C在线段AB上,图中共有三条线段AB,AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍,则称点C是线段AB的“巧点”.
(1)线段的中点这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”);
(2)若AB=12 cm,点C是线段AB的“巧点”,则AC=cm;
(3)如图(2),已知AB=12 cm.动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;点Q从点B出发,以1 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.设移动的时间为t s.当t为何值时,A,P,Q三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的“巧点”?

6.【解】(1)当 $C$ 是线段 $AB$ 的中点时,$AB=2AC$,所以线段的中点是这条线段的“巧点”. 故答案为是.
(2)因为 $AB=12\ \mathrm{cm}$,点 $C$ 是线段 $AB$ 的“巧点”,所以 $AC=12× \dfrac{1}{3}=4(\mathrm{cm})$ 或 $AC=12× \dfrac{1}{2}=6(\mathrm{cm})$ 或 $AC=12× \dfrac{2}{3}=8(\mathrm{cm})$.
故答案为 4 或 6 或 8.
(3)$t$ 秒后,$AP=2t\ \mathrm{cm}$,$AQ=(12-t)\mathrm{cm}(0≤ t≤ 6)$.
①由题意可知 $A$ 不可能为线段 $PQ$ 的“巧点”,此种情况排除.
②当 $P$ 为线段 $AQ$ 的“巧点”时,
Ⅰ.$AP=\dfrac{1}{3}AQ$,即 $2t=\dfrac{1}{3}(12-t)$,解得 $t=\dfrac{12}{7}$;
Ⅱ.$AP=\dfrac{1}{2}AQ$,即 $2t=\dfrac{1}{2}(12-t)$,解得 $t=\dfrac{12}{5}$;
Ⅲ.$AP=\dfrac{2}{3}AQ$,即 $2t=\dfrac{2}{3}(12-t)$,解得 $t=3$.
③当 $Q$ 为线段 $AP$ 的“巧点”时,
Ⅰ.$AQ=\dfrac{1}{3}AP$,即 $12-t=2t× \dfrac{1}{3}$,解得 $t=\dfrac{36}{5}$(舍去);
Ⅱ.$AQ=\dfrac{1}{2}AP$,即 $12-t=2t× \dfrac{1}{2}$,解得 $t=6$;
Ⅲ.$AQ=\dfrac{2}{3}AP$,即 $12-t=2t× \dfrac{2}{3}$,解得 $t=\dfrac{36}{7}$.
综上,符合条件的 $t$ 值为 $\dfrac{12}{7}$ 或 $\dfrac{12}{5}$ 或 3 或 6 或 $\dfrac{36}{7}$.